Total Variation при отображении

[stiv1995]

Добрый день,

пусть есть две случайных величины $X$ и $Y$ определенные на одном вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal{F}, P)$. Нужно показать, что для любого отображения $T: \Omega \to \Omega$ справедливо

$$\sup\limits_{A \in \mathcal{F}} |P(T(X) \in A) - P(T(Y) \in A)| \le \sup\limits_{A \in \mathcal{F}} |P(X \in A) - P(Y \in A)|$$

Я думаю, что это можно показать так: предположим противное и обозначим правую часть неравенства за $f^{\ast}$. Тогда должно найтись множество $\tilde{A} \in \mathcal{F}$ и число $\varepsilon > 0$ такие что

$$|P(T(X) \in \tilde{A}) - P(T(Y) \in \tilde{A})| > f^{\ast} + \varepsilon$$

Предположим, что отображение $T$ измеримо. Тогда рассмотрим измеримое множество $B \in \mathcal{F}$ такое что $t \in B \Leftrightarrow T(t) \in \tilde{A}$. Таким образом,

$$|P(T(X) \in \tilde{A}) - P(T(Y) \in \tilde{A})| = |P(X \in B) - P(Y \in B)| = f^{\ast} + \varepsilon $$

Получили противоречие.

У меня два вопроса:
1) правильное ли мое рассуждение
2) можно ли доказать утверждения для произвольного (неизмеримого) отображения

Спасибо!

[Lia]

stiv1995 в сообщении #1287875 писал(а):

$P(X \in A)$

Извините, это как?

[mihaild]

Попробую себя в телепатии: $X$ и $Y$ - это отображения $\Omega \to \Omega$.

stiv1995 в сообщении #1287875 писал(а):

правильное ли мое рассуждение

Правильное, но можно упростить (слева - супремум от почти того же выражения, что и справа, но по возможно меньшему множеству).

stiv1995 в сообщении #1287875 писал(а):

можно ли доказать утверждения для произвольного (неизмеримого) отображения

Его даже сформулировать нельзя - $P(T(X) \in A)$ может быть не определено.

[Lia]

mihaild в сообщении #1287882 писал(а):

Попробую себя в телепатии: $X$ и $Y$ - это отображения $\Omega \to \Omega$.

Что-то сомневаюсь. Я как-то вовсе не уверена, что прообраз события обязательно будет событием.

[mihaild]

Lia в сообщении #1287883 писал(а):

Я как-то вовсе не уверена, что прообраз события обязательно будет событием.

Измеримые. Т.е. в определении случайной величины вместо $\mathbb{R}$ берем $\Omega$.
(по крайней мере это относительно небольшое изменение, при котором рассуждения становятся осмысленными; может быть подразумевалось и что-то другое)

[stiv1995]

mihaild в сообщении #1287884 писал(а):

Lia в сообщении #1287883 писал(а):

Я как-то вовсе не уверена, что прообраз события обязательно будет событием.

Измеримые. Т.е. в определении случайной величины вместо $\mathbb{R}$ берем $\Omega$.
(по крайней мере это относительно небольшое изменение, при котором рассуждения становятся осмысленными; может быть подразумевалось и что-то другое)

$X$ - случайная величина, разве что-то не правильно?

[mihaild]

stiv1995 в сообщении #1287889 писал(а):

$X$ - случайная величина

Определение случайной величины напишите.

[Lia]

mihaild в сообщении #1287884 писал(а):

Измеримые. Т.е. в определении случайной величины вместо $\mathbb{R}$ берем $\Omega$.

Да это-то понятно, что Вы хотели сказать.
Интересно, что подразумевалось на самом деле.
Поскольку $(X\in A)$ событием все же будет, но вообще говоря, на другой сигма-алгебре событий, не $\mathcal F$, а вероятность $P$ определена именно на последней.

[mihaild]

Lia в сообщении #1287891 писал(а):

Поскольку $(X\in A)$ событием все же будет, но вообще говоря, на другой сигма-алгебре событий, не $\mathcal F$, а вероятность $P$ определена именно на последней.

Не очень понял. Если $X$ - измеримое отображение $\Omega \to \Omega$, то $X \in A$ - это ровно событие $X^{-1}(A) \in \mathcal{F}$.

[stiv1995]

mihaild в сообщении #1287890 писал(а):

stiv1995 в сообщении #1287889 писал(а):

$X$ - случайная величина

Определение случайной величины напишите.

Измеримое отображение из $\Omega$ в $\mathcal{X}$. Здесь $\mathcal{X} = \Omega$. Я для просты так написал, чтобы не определять еще одну алгебру.

[mihaild]

Ну т.е. я правильно угадал (обычно случайной величиной называется измеримое отображение в $\mathbb{R}$). По существу ответил в post1287882.html#p1287882

[Lia]

mihaild
А, ну если в таком смысле, то конечно. Я несколько иначе это поняла.

[stiv1995]

mihaild в сообщении #1287899 писал(а):

Ну т.е. я правильно угадал (обычно случайной величиной называется измеримое отображение в $\mathbb{R}$). По существу ответил в post1287882.html#p1287882

Да, большое вам спасибо!