2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Total Variation при отображении
Сообщение27.01.2018, 23:43 


07/09/17
34
Добрый день,

пусть есть две случайных величины $X$ и $Y$ определенные на одном вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal{F}, P)$. Нужно показать, что для любого отображения $T: \Omega \to \Omega$ справедливо $$\sup\limits_{A \in \mathcal{F}} |P(T(X) \in A) - P(T(Y) \in A)| \le \sup\limits_{A \in \mathcal{F}} |P(X \in A) - P(Y \in A)|$$

Я думаю, что это можно показать так: предположим противное и обозначим правую часть неравенства за $f^{\ast}$. Тогда должно найтись множество $\tilde{A} \in \mathcal{F}$ и число $\varepsilon > 0$ такие что
$$|P(T(X) \in \tilde{A}) - P(T(Y) \in \tilde{A})| > f^{\ast} + \varepsilon$$

Предположим, что отображение $T$ измеримо. Тогда рассмотрим измеримое множество $B \in \mathcal{F}$ такое что $t \in B \Leftrightarrow T(t) \in \tilde{A}$. Таким образом,
$$|P(T(X) \in \tilde{A}) - P(T(Y) \in \tilde{A})| = |P(X \in B) - P(Y \in B)| = f^{\ast} + \varepsilon $$

Получили противоречие.

У меня два вопроса:
1) правильное ли мое рассуждение
2) можно ли доказать утверждения для произвольного (неизмеримого) отображения

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Total Variation при отображении
Сообщение27.01.2018, 23:52 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
10803
stiv1995 в сообщении #1287875 писал(а):
$P(X \in A)$

Извините, это как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Total Variation при отображении
Сообщение28.01.2018, 00:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
4293
Москва
Попробую себя в телепатии: $X$ и $Y$ - это отображения $\Omega \to \Omega$.
stiv1995 в сообщении #1287875 писал(а):
правильное ли мое рассуждение
Правильное, но можно упростить (слева - супремум от почти того же выражения, что и справа, но по возможно меньшему множеству).
stiv1995 в сообщении #1287875 писал(а):
можно ли доказать утверждения для произвольного (неизмеримого) отображения
Его даже сформулировать нельзя - $P(T(X) \in A)$ может быть не определено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Total Variation при отображении
Сообщение28.01.2018, 00:09 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
10803
mihaild в сообщении #1287882 писал(а):
Попробую себя в телепатии: $X$ и $Y$ - это отображения $\Omega \to \Omega$.

Что-то сомневаюсь. Я как-то вовсе не уверена, что прообраз события обязательно будет событием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Total Variation при отображении
Сообщение28.01.2018, 00:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
4293
Москва
Lia в сообщении #1287883 писал(а):
Я как-то вовсе не уверена, что прообраз события обязательно будет событием.
Измеримые. Т.е. в определении случайной величины вместо $\mathbb{R}$ берем $\Omega$.
(по крайней мере это относительно небольшое изменение, при котором рассуждения становятся осмысленными; может быть подразумевалось и что-то другое)

 Профиль  
                  
 
 Re: Total Variation при отображении
Сообщение28.01.2018, 00:23 


07/09/17
34
mihaild в сообщении #1287884 писал(а):
Lia в сообщении #1287883 писал(а):
Я как-то вовсе не уверена, что прообраз события обязательно будет событием.
Измеримые. Т.е. в определении случайной величины вместо $\mathbb{R}$ берем $\Omega$.
(по крайней мере это относительно небольшое изменение, при котором рассуждения становятся осмысленными; может быть подразумевалось и что-то другое)


$X$ - случайная величина, разве что-то не правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Total Variation при отображении
Сообщение28.01.2018, 00:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
4293
Москва
stiv1995 в сообщении #1287889 писал(а):
$X$ - случайная величина
Определение случайной величины напишите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Total Variation при отображении
Сообщение28.01.2018, 00:27 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
10803
mihaild в сообщении #1287884 писал(а):
Измеримые. Т.е. в определении случайной величины вместо $\mathbb{R}$ берем $\Omega$.

Да это-то понятно, что Вы хотели сказать.
Интересно, что подразумевалось на самом деле.
Поскольку $(X\in A)$ событием все же будет, но вообще говоря, на другой сигма-алгебре событий, не $\mathcal F$, а вероятность $P$ определена именно на последней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Total Variation при отображении
Сообщение28.01.2018, 00:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
4293
Москва
Lia в сообщении #1287891 писал(а):
Поскольку $(X\in A)$ событием все же будет, но вообще говоря, на другой сигма-алгебре событий, не $\mathcal F$, а вероятность $P$ определена именно на последней.
Не очень понял. Если $X$ - измеримое отображение $\Omega \to \Omega$, то $X \in A$ - это ровно событие $X^{-1}(A) \in \mathcal{F}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Total Variation при отображении
Сообщение28.01.2018, 00:40 


07/09/17
34
mihaild в сообщении #1287890 писал(а):
stiv1995 в сообщении #1287889 писал(а):
$X$ - случайная величина
Определение случайной величины напишите.


Измеримое отображение из $\Omega$ в $\mathcal{X}$. Здесь $\mathcal{X} = \Omega$. Я для просты так написал, чтобы не определять еще одну алгебру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Total Variation при отображении
Сообщение28.01.2018, 00:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
4293
Москва
Ну т.е. я правильно угадал (обычно случайной величиной называется измеримое отображение в $\mathbb{R}$). По существу ответил в post1287882.html#p1287882

 Профиль  
                  
 
 Re: Total Variation при отображении
Сообщение28.01.2018, 00:47 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
10803
mihaild
А, ну если в таком смысле, то конечно. Я несколько иначе это поняла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Total Variation при отображении
Сообщение28.01.2018, 01:06 


07/09/17
34
mihaild в сообщении #1287899 писал(а):
Ну т.е. я правильно угадал (обычно случайной величиной называется измеримое отображение в $\mathbb{R}$). По существу ответил в post1287882.html#p1287882


Да, большое вам спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group