теорема Лиувилля

[hidden swosd]

Пусть функция $m$ дифференцируемая в $R^3$, неотрицательна в односвязной области $\Upsilon$ и равна нулю вне $\Upsilon$.
Покажем что функция (1) от $p$ удовлетворяет уравнению Лапласа в $p$

$ \int_\Upsilon \frac{m(q)-m(p)}{r(p,q)} d\Upsilon_q = u(p) , p\in\Upsilon , (1)$
$r(p,q)$ - расстояние между точками $p$ и $q$.

Рассмотрим сначала интеграл:

$\int_{\Upsilon\backslash \phi} \frac{m(q)-m(p)}{r(p,q)} d\Upsilon_q , p\in\Upsilon , (2)$ как функцию от $p$, где $\phi$ - шар малого радиуса $R_\phi$ с центром в точке $p$. (То есть из расчетной области "вырезается" шар радиуса $R_\phi$ с центром в $p$.) Очевидно, что источники $m(q)-m(p)$ задают функцию (2), удовлетворяющую внутри шара $\phi$ уравнению Лапласа, в частности в точке центра шара $p$.
Предел (2) при $R_\phi \to 0$ существует, и равен левой части (1), значит она - гармоническая в $p$ функция. Повторяя рассуждения параграфа 3 главы 2 книги [1], придем к выводу: плотность объемных масс $m(q)-m(p)$ дифференцируема и равна нулю в точке $p$, значит в формуле 4 на странице 85 $\rho^0=0$, левая часть (1) как функция от $p$ удовлетворяет в $p$ уравнению Лапласа.

Функция (1) удовлетворяет уравнению Лапласа в $\Upsilon$, но она также удовлетворяет ему и вне $\Upsilon$. Значит (1) - гармоническая в $R^3$. Функция (1) удовлетворяет условию излучения
на бесконечно удаленной границе, значит, ограничена снизу, она конечна в $\Upsilon$, значит ограничена сверху. Но тогда она нарушает теорему Лиувилля [2, c.37], [3, c.374].

[1] Сретенский Л.Н. Теория ньютоновского потенциала.---М.Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1946.
[2] Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, ---М.: Наука,
1989.
[3] Владимиров В.С. Уравнения математической физики,---М.: Наука, 1981.

[Slav-27]

Вы для каждой точки $p$ из $\Upsilon$ рассматриваете свою плотность $\rho_p(x)=m(x)-m(p)$, а потом сворачиваете её с фундаментальным решением оператора Лапласа, получая функцию $\varphi_p(x)=\rho_p(x)*\dfrac1{|x|}$. Теория говорит, что эта функция будет решением уравнения Пуассона для плотности $\rho_p(x)$, то есть $\Delta\varphi_p(x)=-4\pi\rho_p(x)$ (где $\Delta$ дифференцирует по $x$). В частности, в точке $x=p$ будет $(\Delta\varphi_p(x))|_{x=p}=0$. Но это не значит, что можно было дифференцировать сразу по $p$.

[hidden swosd]

Функция (1) от $p$ удовлетворяет в $p$ уравнению Лапласа. Не вижу противоречия.

[Slav-27]

А я не вижу доказательства.

-- 22.01.2018, 16:11 --

hidden swosd в сообщении #1286366 писал(а):

Очевидно, что источники
$m(q)-m(p)$ задают функцию (2), удовлетворяющую внутри шара
$\phi$ уравнению Лапласа

"Источник" $m(q)-m(p)$ (как функция от $q$ при фиксированном параметре $p$) задаёт НЕ функцию (2), а функцию

$$\varphi_p(x)=\int \frac{m(q)-m(p)}{r(x,q)} dq.$$

Вот у неё-то в точке $x=p$ лапласиан будет $0$ (лапласиан по переменным $x$!). А почему вы считаете, что ваша функция $u(x)=\varphi_x(x)$ будет гармонической -- этого я не понимаю.

[hidden swosd]

Функция (2) удовлетворяет по $x$ уравнению Лапласа внутри шара
$\phi$, в том числе когда $x=p$, радиус шара $\phi$ можно
устремить к нулю, - предел от (2) существует и равен (1). То есть
был второй интеграл по шару $\phi$, который вычитался из интеграла
по $\Upsilon$, при стремлении радиуса шара $\phi$ к нулю второй
интеграл стремиться к нулю, остается только интеграл по
$\Upsilon$. Функция (2) как удовлетворяла уравнению Лапласа при
$x=p$, так и продолжала удовлетворять ему в процессе стремления, в
результате этого стремления второй интеграл исчез, (2)
превратилась в (1). Значит (1) "как бывшая (2)" удовлетворяет по
$x$ уравнению Лапласа в $x=p$, что справедливо для любого $p\in R^3$.

[Lia]

hidden swosd
Не надо принудительно строки разрывать, пожалуйста. Читать сложно. Жмите enter или в конце абзаца или при необходимости.

[hidden swosd]

Lia: Извините. (Текст набранный и отображающийся нормально в редакторе LaTeX переносится таким образом. Было бы
проще, если бы процесс автоматизировали.)

Slav-27: "Теория говорит" - Теория это [1]. Предвосхищая вопрос: Вычисление Лапласиана от (2) внутри шара $\phi$
с последующим устремлением радиуса шара $\phi$ к нулю проделано в [1] формула 4 на странице 85.

-- 23.01.2018, 07:50 --

(Если предпросмотр отличается от того как выглядит в форуме, зачем он нужен?)

[Slav-27]

hidden swosd
К сожалению, вы меня не понимаете.

Уравнение Пуассона вы решили неправильно (причём неправильно уже для $\Upsilon\setminus\phi$): решением будет не функция

$$\int \frac{m(q)-m(x)}{r(x,q)} dq,$$

которую вы предлагаете, а функция

$$ \varphi_p(x)=\int \frac{m(q)-m(p)}{r(x,q)} dq$$

-- причём для разных выборов параметра $p$ получаются разные решения $\varphi_p$.

Функция $\varphi_p$ будет гармонической в точке $p$ (если дифференцировать по $x$). Ваша же функция (хоть (1), хоть (2)) не имеет никакого отношения к уравнению Пуассона и гармонической быть не обязана.

Я не знаю, как ещё вам это объяснить. Ну возьмём например функцию $f(x,p)=(x-p)^3+p^{3}$. Применим к ней $\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}$: получим $\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,p)=6(x-p)$, и если теперь подставить $x=p$, то получится нуль. Однако отсюда никак не следует, что 2-я производная функции $f(p,p)$ переменной $p$ равна нулю тождественно: $\dfrac{\partial^2}{\partial p^2}f(p,p)=6p$.

[Pphantom]

(hidden swosd)

hidden swosd в сообщении #1286698 писал(а):

Текст набранный и отображающийся нормально в редакторе LaTeX переносится таким образом. Было бы
проще, если бы процесс автоматизировали.

Во-первых, это Вам надо настраивать собственный редактор, который вставляет лишние переносы. Во-вторых, процитированный выше текст Вы тоже в редакторе $\LaTeX$ набирали? Ведь в нем лишний перенос также есть.

[Someone]

(hidden swosd)

А зачем вообще здесь нужен какой-то посторонний текстовый редактор? Что мешает набирать текст прямо в окне браузера?

[hidden swosd]

Slav-27:
Ньютоновские источники распределенные по трехмерной области вне области удовлетворяют уравнению Лапласа.

$u(p)=\int_{\Upsilon\backslash \phi} \frac{m(q)-m(p)}{r(p,q)} d\Upsilon_q . (2)$
Внутри шара $\phi$ (источники - вне $\phi$) (2) удовлетворяет уравнению Лапласа по $p$. Лапласиан по $p$ от (2) внутри $\phi$ равен нулю, в центре шара лапласиан равен нулю. Предельные выражения в точке $p$, - центр шара, от (2) и лапласиана в точке $p$, - центр шара, от (2) при стремлении радиуса $\phi$ к нулю существуют, как показано ниже. Предельным выражением от (2) является (1).

Пусть точки задаются координатами $p(z_1, z_2, z_3)$ , $q(y_1,y_2,y_3)$ . Уменьшим радиус $\phi$ с $B_1$ до $B_2$ и рассмотрим "добавку" в выражении двойной производной по одной из трех декартовых осей в точке $p$, - центр шара, от сферического слоя, ограниченного радиусами $B_1$, $B_2$, $B_2<B_1$. Разложим плотность $m(q)-m(p)$ в ряд Тейлора в $p$, - центр шара.

$\displaystyle{\frac{\partial^2}{\partial^2 z_1}}\displaystyle{\frac{1}{r(p,q)}}=\displaystyle{\frac{3}{2}}\displaystyle{\frac{(z_1-y_1)^2}{r(p,q)^5}}-\displaystyle{\frac{1}{r(p,q)^3}}.(3)$

Интеграл по сферическому слою от произведения (3) на первый член разложения равен нулю, так как сам член равен нулю, от второго члена, соответствующего производной, равен нулю, так как (3) - четная функция относительно $(z_1-y_1)$, а второй член - нечетная (сумма интегралов от "половин" сферического слоя, разделенного плоскостью "косой симметрии" второго члена, равна нулю). Интегралы от произведения третьего и последующих членов (или от остатка, если этих членов нет), являются интегралами от ограниченных функций, пределы от них при $B_2\rightarrow0$ конечны. Аналогично по другим двум осям. Из сказанного следует, что пределельное выражение от лапласиана по $p$ от (2) в точке $p$, - центр шара, равного нулю, при стремлении радиуса шара к нулю существует и соответствует выражению лапласиана от (1) по $p$. Следовательно, (1) - гармоническая в $p\in\Upsilon$, значит - гармоническая в $R^3$.

[Slav-27]

hidden swosd в сообщении #1286977 писал(а):

$u(p)=\int_{\Upsilon\backslash \phi} \frac{m(q)-m(p)}{r(p,q)} d\Upsilon_q . (2)$
Внутри шара $\phi$ (источники - вне $\phi$) (2) удовлетворяет уравнению Лапласа по $p$.

Вы это не доказали. Я думаю, что это вообще неправда. И тогда дальнейшие рассуждения ничему не помогают.

Потенциал от источников $\rho(q)=m(q)-m(p)$ (расположенных вне шара $\phi$) не такой, как вы пишете! Он не совпадает с функцией (2), ни внутри шара, ни снаружи! Я писал уже 2 раза, какой будет потенциал от этих источников!

[hidden swosd]

Slav-27: Разобьем односвязную объемную область $\Upsilon$ на $N$ элементов одного характерного размера с постоянной плотностью $m_i$ и объемом $V_i$ в каждом. Пусть каждая точка $p_i$ расположена в "середине" $i$-го элемента, а плотность $m_i$ равна значениям в $p_i$ функции $m(p)\in C_1(R^3)$. Лапласиан по $p$ от выражения:

$\sum_{i=1}^N=\displaystyle{\frac{m_i-m_j}{r(p,p_i)}}V_i$, (4)

в точке $p_j$ равен нулю. Предел от (4) при $N\rightarrow\infty$ существует, соответствует определению объемного интеграла и равен (1). (1) - гармоническая в $\Upsilon$ и в $R^3$. ($m_j$ - константа, производная от нее - ноль. Лапласиан при предельном переходе остается нулем.)

[Slav-27]

Там если и будет предел, то будет то, что я писал, а не (1).

[hidden swosd]

Slav-27: Подинтегральная функция в (1) ограничена, производная подинтегральной функции (1) по $p$ - ограниченная функция, значит перестановка операций дифференцировния и интегрирования законна. Перестановка двойного дифференцирования и интегрирования законна.

Лапласиан - сумма вторых производных по трем осям, описанная в предидущем посте процедура соответствует сумме перестановок двойного дифференцирования и интегрирования для каждого из трех слагаемых, где двойное дифференцирование применяется отдельно к каждому члену суммы, задающей интеграл. (То есть двойной производной от (1) соответствуют три последовательных предела: два от производных, третий - от интегральной суммы, меняем их местами.)

Предел интеграла от лапласиана существует (можно расписать по типу "сферического слоя": произведение каждого из трех слагаемых лапласиана под интегралом на второй член разложения Тейлора от $m(q)$ вблизи $p$ - кососимметричная функция в шаре с центром в $p$, произведение на первый член исчезает из-за разности $m(q)-m(p)$, остальные члены соответствуют ограниченным функциям). Описанное - формальное вычисление Лапласиана. Следовательно, (1) и "то что Вы писали" - одно и то же. (То есть параметер $m(p)$ для каждой $p$ "свой", а не постоянен в $\Upsilon$.)

Лапласиан от (1) в каждой $p\in\Upsilon$ и $p\in R^3$ равен нулю. Гармоническая (1) нарушает теорему Лиувилля.