Пусть функция

дифференцируемая в

, неотрицательна в односвязной области

и равна нулю вне

.
Покажем что функция (1) от

удовлетворяет уравнению Лапласа в


- расстояние между точками

и

.
Рассмотрим сначала интеграл:

как функцию от

, где

- шар малого радиуса

с центром в точке

. (То есть из расчетной области "вырезается" шар радиуса

с центром в

.) Очевидно, что источники

задают функцию (2), удовлетворяющую внутри шара

уравнению Лапласа, в частности в точке центра шара

.
Предел (2) при

существует, и равен левой части (1), значит она - гармоническая в

функция. Повторяя рассуждения параграфа 3 главы 2 книги [1], придем к выводу: плотность объемных масс

дифференцируема и равна нулю в точке

, значит в формуле 4 на странице 85

, левая часть (1) как функция от

удовлетворяет в

уравнению Лапласа.
Функция (1) удовлетворяет уравнению Лапласа в

, но она также удовлетворяет ему и вне

. Значит (1) - гармоническая в

. Функция (1) удовлетворяет условию излучения
на бесконечно удаленной границе, значит, ограничена снизу, она конечна в

, значит ограничена сверху. Но тогда она нарушает теорему Лиувилля [2, c.37], [3, c.374].
[1] Сретенский Л.Н. Теория ньютоновского потенциала.---М.Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1946.
[2] Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, ---М.: Наука,
1989.
[3] Владимиров В.С. Уравнения математической физики,---М.: Наука, 1981.