2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 теорема Лиувилля
Сообщение22.01.2018, 10:15 


12/02/14
30
Пусть функция $m$ дифференцируемая в $R^3$, неотрицательна в односвязной области $\Upsilon$ и равна нулю вне $\Upsilon$.
Покажем что функция (1) от $p$ удовлетворяет уравнению Лапласа в $p$

$ \int_\Upsilon \frac{m(q)-m(p)}{r(p,q)} d\Upsilon_q =  u(p) ,   p\in\Upsilon ,  (1)$
$r(p,q)$ - расстояние между точками $p$ и $q$.

Рассмотрим сначала интеграл:

$\int_{\Upsilon\backslash \phi} \frac{m(q)-m(p)}{r(p,q)} d\Upsilon_q , p\in\Upsilon , (2)$ как функцию от $p$, где $\phi$ - шар малого радиуса $R_\phi$ с центром в точке $p$. (То есть из расчетной области "вырезается" шар радиуса $R_\phi$ с центром в $p$.) Очевидно, что источники $m(q)-m(p)$ задают функцию (2), удовлетворяющую внутри шара $\phi$ уравнению Лапласа, в частности в точке центра шара $p$.
Предел (2) при $R_\phi \to 0$ существует, и равен левой части (1), значит она - гармоническая в $p$ функция. Повторяя рассуждения параграфа 3 главы 2 книги [1], придем к выводу: плотность объемных масс $m(q)-m(p)$ дифференцируема и равна нулю в точке $p$, значит в формуле 4 на странице 85 $\rho^0=0$, левая часть (1) как функция от $p$ удовлетворяет в $p$ уравнению Лапласа.

Функция (1) удовлетворяет уравнению Лапласа в $\Upsilon$, но она также удовлетворяет ему и вне $\Upsilon$. Значит (1) - гармоническая в $R^3$. Функция (1) удовлетворяет условию излучения
на бесконечно удаленной границе, значит, ограничена снизу, она конечна в $\Upsilon$, значит ограничена сверху. Но тогда она нарушает теорему Лиувилля [2, c.37], [3, c.374].

[1] Сретенский Л.Н. Теория ньютоновского потенциала.---М.Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1946.
[2] Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, ---М.: Наука,
1989.
[3] Владимиров В.С. Уравнения математической физики,---М.: Наука, 1981.

 Профиль  
                  
 
 Re: теорема Лиувилля
Сообщение22.01.2018, 14:09 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Вы для каждой точки $p$ из $\Upsilon$ рассматриваете свою плотность $\rho_p(x)=m(x)-m(p)$, а потом сворачиваете её с фундаментальным решением оператора Лапласа, получая функцию $\varphi_p(x)=\rho_p(x)*\dfrac1{|x|}$. Теория говорит, что эта функция будет решением уравнения Пуассона для плотности $\rho_p(x)$, то есть $\Delta\varphi_p(x)=-4\pi\rho_p(x)$ (где $\Delta$ дифференцирует по $x$). В частности, в точке $x=p$ будет $(\Delta\varphi_p(x))|_{x=p}=0$. Но это не значит, что можно было дифференцировать сразу по $p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: теорема Лиувилля
Сообщение22.01.2018, 14:29 


12/02/14
30
Функция (1) от $p$ удовлетворяет в $p$ уравнению Лапласа. Не вижу противоречия.

 Профиль  
                  
 
 Re: теорема Лиувилля
Сообщение22.01.2018, 15:03 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
А я не вижу доказательства.

-- 22.01.2018, 16:11 --

hidden swosd в сообщении #1286366 писал(а):
Очевидно, что источники
$m(q)-m(p)$ задают функцию (2), удовлетворяющую внутри шара
$\phi$ уравнению Лапласа
"Источник" $m(q)-m(p)$ (как функция от $q$ при фиксированном параметре $p$) задаёт НЕ функцию (2), а функцию $$\varphi_p(x)=\int
 \frac{m(q)-m(p)}{r(x,q)} dq.$$ Вот у неё-то в точке $x=p$ лапласиан будет $0$ (лапласиан по переменным $x$!). А почему вы считаете, что ваша функция $u(x)=\varphi_x(x)$ будет гармонической -- этого я не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: теорема Лиувилля
Сообщение23.01.2018, 00:14 


12/02/14
30
Функция (2) удовлетворяет по $x$ уравнению Лапласа внутри шара
$\phi$, в том числе когда $x=p$, радиус шара $\phi$ можно
устремить к нулю, - предел от (2) существует и равен (1). То есть
был второй интеграл по шару $\phi$, который вычитался из интеграла
по $\Upsilon$, при стремлении радиуса шара $\phi$ к нулю второй
интеграл стремиться к нулю, остается только интеграл по
$\Upsilon$. Функция (2) как удовлетворяла уравнению Лапласа при
$x=p$, так и продолжала удовлетворять ему в процессе стремления, в
результате этого стремления второй интеграл исчез, (2)
превратилась в (1). Значит (1) "как бывшая (2)" удовлетворяет по
$x$ уравнению Лапласа в $x=p$, что справедливо для любого $p\in R^3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: теорема Лиувилля
Сообщение23.01.2018, 05:19 


20/03/14
12041
hidden swosd
Не надо принудительно строки разрывать, пожалуйста. Читать сложно. Жмите enter или в конце абзаца или при необходимости.

 Профиль  
                  
 
 Re: теорема Лиувилля
Сообщение23.01.2018, 07:37 


12/02/14
30
Lia: Извините. (Текст набранный и отображающийся нормально в редакторе LaTeX переносится таким образом. Было бы
проще, если бы процесс автоматизировали.)

Slav-27: "Теория говорит" - Теория это [1]. Предвосхищая вопрос: Вычисление Лапласиана от (2) внутри шара $\phi$
с последующим устремлением радиуса шара $\phi$ к нулю проделано в [1] формула 4 на странице 85.

-- 23.01.2018, 07:50 --

(Если предпросмотр отличается от того как выглядит в форуме, зачем он нужен?)

 Профиль  
                  
 
 Re: теорема Лиувилля
Сообщение23.01.2018, 09:24 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
hidden swosd
К сожалению, вы меня не понимаете.

Уравнение Пуассона вы решили неправильно (причём неправильно уже для $\Upsilon\setminus\phi$): решением будет не функция $$\int
 \frac{m(q)-m(x)}{r(x,q)} dq,$$ которую вы предлагаете, а функция $$ \varphi_p(x)=\int
 \frac{m(q)-m(p)}{r(x,q)} dq$$ -- причём для разных выборов параметра $p$ получаются разные решения $\varphi_p$.

Функция $\varphi_p$ будет гармонической в точке $p$ (если дифференцировать по $x$). Ваша же функция (хоть (1), хоть (2)) не имеет никакого отношения к уравнению Пуассона и гармонической быть не обязана.

Я не знаю, как ещё вам это объяснить. Ну возьмём например функцию $f(x,p)=(x-p)^3+p^{3}$. Применим к ней $\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}$: получим $\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,p)=6(x-p)$, и если теперь подставить $x=p$, то получится нуль. Однако отсюда никак не следует, что 2-я производная функции $f(p,p)$ переменной $p$ равна нулю тождественно: $\dfrac{\partial^2}{\partial p^2}f(p,p)=6p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: теорема Лиувилля
Сообщение23.01.2018, 13:23 
Заслуженный участник


09/05/12
25179

(hidden swosd)

hidden swosd в сообщении #1286698 писал(а):
Текст набранный и отображающийся нормально в редакторе LaTeX переносится таким образом. Было бы
проще, если бы процесс автоматизировали.
Во-первых, это Вам надо настраивать собственный редактор, который вставляет лишние переносы. Во-вторых, процитированный выше текст Вы тоже в редакторе $\LaTeX$ набирали? Ведь в нем лишний перенос также есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: теорема Лиувилля
Сообщение23.01.2018, 15:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва

(hidden swosd)

А зачем вообще здесь нужен какой-то посторонний текстовый редактор? Что мешает набирать текст прямо в окне браузера?

 Профиль  
                  
 
 Re: теорема Лиувилля
Сообщение24.01.2018, 02:27 


12/02/14
30
Slav-27:
Ньютоновские источники распределенные по трехмерной области вне области удовлетворяют уравнению Лапласа.

$u(p)=\int_{\Upsilon\backslash \phi} \frac{m(q)-m(p)}{r(p,q)} d\Upsilon_q .    (2)$
Внутри шара $\phi$ (источники - вне $\phi$) (2) удовлетворяет уравнению Лапласа по $p$. Лапласиан по $p$ от (2) внутри $\phi$ равен нулю, в центре шара лапласиан равен нулю. Предельные выражения в точке $p$, - центр шара, от (2) и лапласиана в точке $p$, - центр шара, от (2) при стремлении радиуса $\phi$ к нулю существуют, как показано ниже. Предельным выражением от (2) является (1).

Пусть точки задаются координатами $p(z_1, z_2, z_3)$ , $q(y_1,y_2,y_3)$ . Уменьшим радиус $\phi$ с $B_1$ до $B_2$ и рассмотрим "добавку" в выражении двойной производной по одной из трех декартовых осей в точке $p$, - центр шара, от сферического слоя, ограниченного радиусами $B_1$, $B_2$, $B_2<B_1$. Разложим плотность $m(q)-m(p)$ в ряд Тейлора в $p$, - центр шара.

$\displaystyle{\frac{\partial^2}{\partial^2 z_1}}\displaystyle{\frac{1}{r(p,q)}}=\displaystyle{\frac{3}{2}}\displaystyle{\frac{(z_1-y_1)^2}{r(p,q)^5}}-\displaystyle{\frac{1}{r(p,q)^3}}.(3)$

Интеграл по сферическому слою от произведения (3) на первый член разложения равен нулю, так как сам член равен нулю, от второго члена, соответствующего производной, равен нулю, так как (3) - четная функция относительно $(z_1-y_1)$, а второй член - нечетная (сумма интегралов от "половин" сферического слоя, разделенного плоскостью "косой симметрии" второго члена, равна нулю). Интегралы от произведения третьего и последующих членов (или от остатка, если этих членов нет), являются интегралами от ограниченных функций, пределы от них при $B_2\rightarrow0$ конечны. Аналогично по другим двум осям. Из сказанного следует, что пределельное выражение от лапласиана по $p$ от (2) в точке $p$, - центр шара, равного нулю, при стремлении радиуса шара к нулю существует и соответствует выражению лапласиана от (1) по $p$. Следовательно, (1) - гармоническая в $p\in\Upsilon$, значит - гармоническая в $R^3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: теорема Лиувилля
Сообщение24.01.2018, 07:40 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
hidden swosd в сообщении #1286977 писал(а):
$u(p)=\int_{\Upsilon\backslash \phi} \frac{m(q)-m(p)}{r(p,q)} d\Upsilon_q .    (2)$
Внутри шара $\phi$ (источники - вне $\phi$) (2) удовлетворяет уравнению Лапласа по $p$.

Вы это не доказали. Я думаю, что это вообще неправда. И тогда дальнейшие рассуждения ничему не помогают.

Потенциал от источников $\rho(q)=m(q)-m(p)$ (расположенных вне шара $\phi$) не такой, как вы пишете! Он не совпадает с функцией (2), ни внутри шара, ни снаружи! Я писал уже 2 раза, какой будет потенциал от этих источников!

 Профиль  
                  
 
 Re: теорема Лиувилля
Сообщение25.01.2018, 19:42 


12/02/14
30
Slav-27: Разобьем односвязную объемную область $\Upsilon$ на $N$ элементов одного характерного размера с постоянной плотностью $m_i$ и объемом $V_i$ в каждом. Пусть каждая точка $p_i$ расположена в "середине" $i$-го элемента, а плотность $m_i$ равна значениям в $p_i$ функции $m(p)\in C_1(R^3)$. Лапласиан по $p$ от выражения:

$\sum_{i=1}^N=\displaystyle{\frac{m_i-m_j}{r(p,p_i)}}V_i$, (4)

в точке $p_j$ равен нулю. Предел от (4) при $N\rightarrow\infty$ существует, соответствует определению объемного интеграла и равен (1). (1) - гармоническая в $\Upsilon$ и в $R^3$. ($m_j$ - константа, производная от нее - ноль. Лапласиан при предельном переходе остается нулем.)

 Профиль  
                  
 
 Re: теорема Лиувилля
Сообщение25.01.2018, 20:45 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Там если и будет предел, то будет то, что я писал, а не (1).

 Профиль  
                  
 
 Re: теорема Лиувилля
Сообщение27.01.2018, 23:12 


12/02/14
30
Slav-27: Подинтегральная функция в (1) ограничена, производная подинтегральной функции (1) по $p$ - ограниченная функция, значит перестановка операций дифференцировния и интегрирования законна. Перестановка двойного дифференцирования и интегрирования законна.

Лапласиан - сумма вторых производных по трем осям, описанная в предидущем посте процедура соответствует сумме перестановок двойного дифференцирования и интегрирования для каждого из трех слагаемых, где двойное дифференцирование применяется отдельно к каждому члену суммы, задающей интеграл. (То есть двойной производной от (1) соответствуют три последовательных предела: два от производных, третий - от интегральной суммы, меняем их местами.)

Предел интеграла от лапласиана существует (можно расписать по типу "сферического слоя": произведение каждого из трех слагаемых лапласиана под интегралом на второй член разложения Тейлора от $m(q)$ вблизи $p$ - кососимметричная функция в шаре с центром в $p$, произведение на первый член исчезает из-за разности $m(q)-m(p)$, остальные члены соответствуют ограниченным функциям). Описанное - формальное вычисление Лапласиана. Следовательно, (1) и "то что Вы писали" - одно и то же. (То есть параметер $m(p)$ для каждой $p$ "свой", а не постоянен в $\Upsilon$.)

Лапласиан от (1) в каждой $p\in\Upsilon$ и $p\in R^3$ равен нулю. Гармоническая (1) нарушает теорему Лиувилля.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group