Решение рекуррентного соотношения

[Евгений Машеров]

Очевидно, у характеристического уравнения всегда есть действительное решение, похоже, оно максимальное по модулю и единственное (но доказательства не имею), и оно будет определять характер роста $C_N$
Найти его можно обычным Ньютоном. Остальные - не знаю как...

[SergeiSX]

Евгений Машеров Спасибо Вам огромное! Я тоже постараюсь подумать.

[mihiv]

Если переписать характеристическое уравнение в виде:

$$x=1+\frac s{x^{k-1}},\eqno (1)$$

то для действительных $x$ из графика понятно, что при нечетном $k$ уравнение (1) имеет один действительный (положительный) корень, при $k$ четном два действительных корня, положительный и отрицательный (положительный больше по модулю). Обозначим положительный корень уравнения (1) через $R$.
Для комплексных корней $z$ из уравнения (1) следует неравенство:

$$|z|\leqslant 1+\frac s{|z|^{k-1}}$$

Откуда следует, что $|z|\leqslant R$, причем равенство возможно, только если $z$ действительное.
Таким образом асимптотика определяется положительным корнем $R$ уравнения (1).

[SergeiSX]

mihiv Спасибо!