действительное решение уравнения четвертой степени

[Geen]

illuminates в сообщении #1285453 писал(а):

Я окончательно запутался.

Может быть Вы опишите исходную задачу?

[dmd]

Вроде получилось

(Оффтоп)

j^8-32 j^6 m5^2+256 j^4 m5^4-2 j^6 ma^2+32 j^4 m5^2 ma^2+j^4 ma^4-2 j^6 mp^2+32 j^4 m5^2 mp^2+4 j^4 ma^2 mp^2-32 j^2 m5^2 ma^2 mp^2-2 j^2 ma^4 mp^2+j^4 mp^4-2 j^2 ma^2 mp^4+ma^4 mp^4-8 j^6 p^2+96 j^4 m5^2 p^2-512 j^2 m5^4 p^2+8 j^4 ma^2 p^2-96 j^2 m5^2 ma^2 p^2-4 j^2 ma^4 p^2+8 j^4 mp^2 p^2-96 j^2 m5^2 mp^2 p^2-32 m5^2 ma^2 mp^2 p^2-4 j^2 mp^4 p^2+16 j^4 p^4-128 j^2 m5^2 p^4+256 m5^4 p^4-4 j^6 q^2+32 j^4 m5^2 q^2-512 j^2 m5^4 q^2+2 j^4 ma^2 q^2-64 j^2 m5^2 ma^2 q^2-2 j^2 ma^4 q^2+2 j^4 mp^2 q^2-64 j^2 m5^2 mp^2 q^2+8 j^2 ma^2 mp^2 q^2-32 m5^2 ma^2 mp^2 q^2-2 ma^4 mp^2 q^2-2 j^2 mp^4 q^2-2 ma^2 mp^4 q^2+16 j^4 p^2 q^2-64 j^2 m5^2 p^2 q^2+512 m5^4 p^2 q^2+8 j^2 ma^2 p^2 q^2+32 m5^2 ma^2 p^2 q^2+8 j^2 mp^2 p^2 q^2+32 m5^2 mp^2 p^2 q^2+6 j^4 q^4+32 j^2 m5^2 q^4+256 m5^4 q^4+2 j^2 ma^2 q^4+32 m5^2 ma^2 q^4+ma^4 q^4+2 j^2 mp^2 q^4+32 m5^2 mp^2 q^4+4 ma^2 mp^2 q^4+mp^4 q^4-8 j^2 p^2 q^4-32 m5^2 p^2 q^4-4 j^2 q^6-32 m5^2 q^6-2 ma^2 q^6-2 mp^2 q^6+q^8+8 j^6 p q Cos[\[Theta]]-64 j^4 m5^2 p q Cos[\[Theta]]+1024 j^2 m5^4 p q Cos[\[Theta]]-4 j^4 ma^2 p q Cos[\[Theta]]+128 j^2 m5^2 ma^2 p q Cos[\[Theta]]+4 j^2 ma^4 p q Cos[\[Theta]]-4 j^4 mp^2 p q Cos[\[Theta]]+128 j^2 m5^2 mp^2 p q Cos[\[Theta]]-16 j^2 ma^2 mp^2 p q Cos[\[Theta]]+64 m5^2 ma^2 mp^2 p q Cos[\[Theta]]+4 ma^4 mp^2 p q Cos[\[Theta]]+4 j^2 mp^4 p q Cos[\[Theta]]+4 ma^2 mp^4 p q Cos[\[Theta]]-32 j^4 p^3 q Cos[\[Theta]]+128 j^2 m5^2 p^3 q Cos[\[Theta]]-1024 m5^4 p^3 q Cos[\[Theta]]-16 j^2 ma^2 p^3 q Cos[\[Theta]]-64 m5^2 ma^2 p^3 q Cos[\[Theta]]-16 j^2 mp^2 p^3 q Cos[\[Theta]]-64 m5^2 mp^2 p^3 q Cos[\[Theta]]-24 j^4 p q^3 Cos[\[Theta]]-128 j^2 m5^2 p q^3 Cos[\[Theta]]-1024 m5^4 p q^3 Cos[\[Theta]]-8 j^2 ma^2 p q^3 Cos[\[Theta]]-128 m5^2 ma^2 p q^3 Cos[\[Theta]]-4 ma^4 p q^3 Cos[\[Theta]]-8 j^2 mp^2 p q^3 Cos[\[Theta]]-128 m5^2 mp^2 p q^3 Cos[\[Theta]]-16 ma^2 mp^2 p q^3 Cos[\[Theta]]-4 mp^4 p q^3 Cos[\[Theta]]+32 j^2 p^3 q^3 Cos[\[Theta]]+128 m5^2 p^3 q^3 Cos[\[Theta]]+24 j^2 p q^5 Cos[\[Theta]]+192 m5^2 p q^5 Cos[\[Theta]]+12 ma^2 p q^5 Cos[\[Theta]]+12 mp^2 p q^5 Cos[\[Theta]]-8 p q^7 Cos[\[Theta]]+24 j^4 p^2 q^2 Cos[\[Theta]]^2+128 j^2 m5^2 p^2 q^2 Cos[\[Theta]]^2+1024 m5^4 p^2 q^2 Cos[\[Theta]]^2+8 j^2 ma^2 p^2 q^2 Cos[\[Theta]]^2+128 m5^2 ma^2 p^2 q^2 Cos[\[Theta]]^2+4 ma^4 p^2 q^2 Cos[\[Theta]]^2+8 j^2 mp^2 p^2 q^2 Cos[\[Theta]]^2+128 m5^2 mp^2 p^2 q^2 Cos[\[Theta]]^2+16 ma^2 mp^2 p^2 q^2 Cos[\[Theta]]^2+4 mp^4 p^2 q^2 Cos[\[Theta]]^2-32 j^2 p^4 q^2 Cos[\[Theta]]^2-128 m5^2 p^4 q^2 Cos[\[Theta]]^2-48 j^2 p^2 q^4 Cos[\[Theta]]^2-384 m5^2 p^2 q^4 Cos[\[Theta]]^2-24 ma^2 p^2 q^4 Cos[\[Theta]]^2-24 mp^2 p^2 q^4 Cos[\[Theta]]^2+24 p^2 q^6 Cos[\[Theta]]^2+32 j^2 p^3 q^3 Cos[\[Theta]]^3+256 m5^2 p^3 q^3 Cos[\[Theta]]^3+16 ma^2 p^3 q^3 Cos[\[Theta]]^3+16 mp^2 p^3 q^3 Cos[\[Theta]]^3-32 p^3 q^5 Cos[\[Theta]]^3+16 p^4 q^4 Cos[\[Theta]]^4;

s=Solve[%==0,p];

P=p/.s/.{\[Theta] -> Pi/12, m -> 5.5, M -> 300, Nc -> 3, c ->-44687.4, b ->161594, k1 ->16.485, k2 ->-13.1313}/.{ma->Sqrt[712190.1893872134` +39.324150463678315` m5^2+7.173065809336481`*^12/(22656.3008291111` +m5^2)^2+4.98611658435348`*^7/Sqrt[45312.6016582222` +2 m5^2]],mp->1333.241163480936` Sqrt[1/(222191.5`/(22656.3008291111` +m5^2)+0.3861224588272863` Sqrt[45312.6016582222` +2 m5^2])],j->\[Sqrt](q^2+1/2 (712190.1893872134` +55.324150463678315` m5^2+7.173065809336481`*^12/(22656.3008291111` +m5^2)^2+4.98611658435348`*^7/Sqrt[45312.6016582222` +2 m5^2]+1.7775319999999998`*^6/(222191.5`/(22656.3008291111` +m5^2)+0.3861224588272863` Sqrt[45312.6016582222` +2 m5^2])+\[Sqrt]((712190.1893872134` +55.324150463678315` m5^2+7.173065809336481`*^12/(22656.3008291111` +m5^2)^2+4.98611658435348`*^7/Sqrt[45312.6016582222` +2 m5^2]+1.7775319999999998`*^6/(222191.5`/(22656.3008291111` +m5^2)+0.3861224588272863` Sqrt[45312.6016582222` +2 m5^2]))^2-4 ((1.7775319999999998`*^6 (712190.1893872134` +39.324150463678315` m5^2+7.173065809336481`*^12/(22656.3008291111` +m5^2)^2+4.98611658435348`*^7/Sqrt[45312.6016582222` +2 m5^2]))/(222191.5`/(22656.3008291111` +m5^2)+0.3861224588272863` Sqrt[45312.6016582222` +2 m5^2])-16 m5^2 q^2))))};

Plot3D[P,{q,0,1000},{m5,0,1000},WorkingPrecision->MachinePrecision]

Судя по всему в решении две пары кратных корней, потому что вместо 4-х поверхностей 2 построились

[dmd]

Хотя нет, на области {q, 0, 1000}, {m5, 0, 1000} поверхностей построилось на самом деле три. Действительные точки решения P[[3]] лежат за пределами этой области

[illuminates]

Dmitriy40 в сообщении #1285459 писал(а):

Может стоит подставить все 5 найденных решений в исходное уравнение и оценить точность решений? Может где какая погрешность исходных данных влияет на неустойчивость решений?

Спасибо, воспользовался вашей идеей.

dmd в сообщении #1285592 писал(а):

Хотя нет, на области {q, 0, 1000}, {m5, 0, 1000} поверхностей построилось на самом деле три. Действительные точки решения P[[3]] лежат за пределами этой области

Огромное вам спасибо. Ваши выкладки помогли мне разобраться. Собственно мой алгоритм в первом сообщении тоже правильный, но я так испугался комплексности, что думал что я где-то ошибаюсь.

Собственно результат таков. Решений действительно четыре. И они действительно комплексные. Но во всех этих решениях есть области где комплексности нет (она меньше чем 10^(-15)). Интересно, кто-нибудь знает физические примеры где допустимо откидывать столь малую комплексность? Одно решение комплексно всюду и поэтому его отметаем. Второе решение отрицательное. И оставшиеся два решения имеют части в которых комплексности нет, и части в которых наоборот комплексность существенна. Графики прилагаю.
dmd, выходит у вас как-раз и получилось совместить две действительные части с разрезом посередине. Правда забавно то, что я нигде не видел в физике что в одной области работает одно решение, а в другой другое.

(Оффтоп)

[Vince Diesel]

Меньше $10^{-15}$ может означать, что это машинная погрешность, а корни действительные. Для проверки можно увеличить WorkingPrecision.

[wrest]

illuminates в сообщении #1285744 писал(а):

Интересно, кто-нибудь знает физические примеры где допустимо откидывать столь малую комплексность?

Иногда бывает и что матпакет немножко врет.
Вот например если решать уравнение $x^3-5x^2+0,5=0$ вольфрамом ( https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... %2B0.5%3D0 ), то выдается три комплексных корня (у кубического уравнения, да), у которых мнимые части очень малы, порядка $10^{-15}$. А на самом деле там три действительных вещественных корня.

[Dmitriy40]

wrest в сообщении #1285750 писал(а):

Вот например если решать уравнение $x^3-5x^2+0,5=0$ вольфрамом ( https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... %2B0.5%3D0 ), то выдается три комплексных корня (у кубического уравнения, да), у которых мнимые части очень малы, порядка $10^{-15}$. А на самом деле там три действительных вещественных корня.

Характерно что убрав слово "solve" получим как раз 3 вещественных корня. Причину оставлю на совести вольфрама (может solve делает что-то сильно более умное чем решение уравнения, не знаю).

[dmd]

Так какой же физический процесс описывается зависимостью $p(q,m5)$? Если не секрет, конечно.

[illuminates]

dmd
Не секрет. Это поверхность трехмерного модуля импульса. А точнее, происходит распад одной элементарной частицы (с импульсом q) на две других (одна из которых имеет импульс p, а импульс второй частицы исключен благодаря закону сохранения). Что такое m5 объяснить уже сложнее, но это величина пропорциональна тэта-члену лагранжиана квантовой хромодинамики.

-- 19.01.2018, 23:10 --

Vince Diesel,wrest, Dmitriy40
Спасибо за наводку.

[dmd]

Интересно. А можете как-то объяснить, что происходит на границе рваного каньона?

[illuminates]

dmd
Хотел бы я знать... Есть одна догадка, но это пока что на уровне "фантастики". Именно на разрезе возникают устойчивые топологические решения, типа солитонов, и в эти солитоны перекачивается весь импульс $p$.

[dmd]

illuminates
Возникают ли там что-то типа $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$?

[illuminates]

dmd
Пока что затрудняюсь сказать.