2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обобщались ли идеи леммы из теоремы Виноградова о среднем?
Сообщение13.01.2018, 14:51 


08/09/13
185
В классическом доказательстве оценки интеграла Виноградова $\int \limits_{0}^{1} \dots \int \limits_{0}^{1} \Bigg\vert{ \sum  \limits_{x=1}^{p} e^{2 \pi (\alpha_1 x + \alpha_2 x^2 + \dots + \alpha_n x^n)} }\Bigg\vert^{2k} d \alpha_1 \dots d \alpha_n$ основную роль в понижении порядка оценки играет, как я понимаю, лемма о количестве сумм разных степеней чисел разных интервалов, которые (суммы) лежат в заданных не очень больших интервалов.
Строго это формулируется так (привожу чуть изменённое изложение Карацубы, но у Виноградова так же, только константы другие):
Цитата:
Пусть $n>2,\ P>(2n)^{4n},\ H=(2n)^4,\ R > \frac{P}{H}$ и пусть $v_1,\dots,v_n$ пробегают разные интервалы $v_i \in [X_i,Y_i]$, каждый длины $R$, которые отстоят друг от друга не менее чем на $R$, причём $\max \limits_{i} {Y_i} - \min \limits_{i} {X_i} \le P$. Тогда количество их наборов, при которых суммы $V_k={v_1}^{k}+\dots+{v_n}^{k},\ k=1,\dots,n$ лежат в заранее заданных интервалах длин $P^{k-1},\ k=1,\dots,n$ не превышает $C(n) H^{\frac{n(n-1)}{2}}$

Какая там $C(n)$ - не суть важно: главное, что от тривиальной оценки через степень неограниченно растущего $P$ мы переходим к оценке, зависимой уже только от $n$.

Доказательство теоремы проводится через конструирование СЛАУ и анализ возникающих из неё определителей Вандермонда, то есть существенно использует то, что мы работаем с последовательными степенями чисел.
При этом после всех технических преобразований, связанных с матрицей Вандермонда, оказывается, что главной сутью этого действа является зависимость вариабельности $v_s$ от значения $\frac{1}{(x_s-x_1)(x_s-x_2) \dots (x_s-x_{s-1})}$, где $x_i \in [X_i;Y_i]$. То есть важна именно отдалённость интервалов друг от друга.

И, действительно, задумавшись, я понял, что это очень интуитивно - если какая-то функция $f$ (в нашем случае $x^k$) выпукла (и сильно выпукла), а интервалы, в которых живут $x_1$ и $x_2$, сильно отдалены друг от друга, то система $x_1+x_2=\lambda; f(x_1)+f(x_2)=\mu$ имеет очень-очень мало решений (может быть, даже одно) - ведь одинаковые разнонаправленные подвижки переменных $x_1$ и $x_2$, сохраняющие первое уравнение, не сохранят второе, ввиду разницы производной $f$ на двух отдалённых участках.
То же рассуждение уместно для произвольного количества интервалов и функций.

В связи с этим возникает вопрос - а возможно ли заменить в изложенной в начале лемме обычные степени $v_i$ на произвольные выпуклые функции $f_1, \dots, f_n$ с каким-то строгим требованием выпуклости типа (например, просто обобщая) ${f_k}'(x) = \Omega({f_{k-1}}(x))$?

И возможно ли сделать это тем же способом через определители, то есть существуют ли общие методы оценки снизу определителей

$\begin{vmatrix} f_1(x_1) & f_1(x_2) & f_1(x_3) & \dots & f_1(x_n) \\  f_2(x_1) & f_2(x_2) & f_2(x_3) & \dots & f_2(x_n) \\ \hdotsfor{5} \\ f_n(x_1) & f_n(x_2) & f_n(x_3) & \dots & f_n(x_n) \end{vmatrix}$

если известно, что каждая $f_i$ намного (в каком-то смысле) выпуклее предыдущей и расстояние между любыми разными переменными $x_i, x_j$ превышает какое-то заранее заданное число?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщались ли идеи леммы из теоремы Виноградова о среднем?
Сообщение16.01.2018, 11:53 


23/02/12
1578
Может Вам поможет Лемма Хуа https://en.wikipedia.org/wiki/Hua%27s_lemma в сочетании с неравенствами Коши и Гельдера, как в этом сообщении на другую тему [quote="vicvolf в сообщении #1054567"]. Также посмотрите Круговой метод Харди-Литтлвуда http://www.iakovlev.org/zip/hyp1.pdf, обобщение многомерной проблемы Варинга - Karatsuba A. A. (1988). «Waring's problem in several dimension». Mathem. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht (42): 5–6

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group