Обобщались ли идеи леммы из теоремы Виноградова о среднем?

[fractalon]

В классическом доказательстве оценки интеграла Виноградова $\int \limits_{0}^{1} \dots \int \limits_{0}^{1} \Bigg\vert{ \sum \limits_{x=1}^{p} e^{2 \pi (\alpha_1 x + \alpha_2 x^2 + \dots + \alpha_n x^n)} }\Bigg\vert^{2k} d \alpha_1 \dots d \alpha_n$ основную роль в понижении порядка оценки играет, как я понимаю, лемма о количестве сумм разных степеней чисел разных интервалов, которые (суммы) лежат в заданных не очень больших интервалов.
Строго это формулируется так (привожу чуть изменённое изложение Карацубы, но у Виноградова так же, только константы другие):

Цитата:

Пусть $n>2,\ P>(2n)^{4n},\ H=(2n)^4,\ R > \frac{P}{H}$ и пусть $v_1,\dots,v_n$ пробегают разные интервалы $v_i \in [X_i,Y_i]$, каждый длины $R$, которые отстоят друг от друга не менее чем на $R$, причём $\max \limits_{i} {Y_i} - \min \limits_{i} {X_i} \le P$. Тогда количество их наборов, при которых суммы $V_k={v_1}^{k}+\dots+{v_n}^{k},\ k=1,\dots,n$ лежат в заранее заданных интервалах длин $P^{k-1},\ k=1,\dots,n$ не превышает $C(n) H^{\frac{n(n-1)}{2}}$

Какая там $C(n)$ - не суть важно: главное, что от тривиальной оценки через степень неограниченно растущего $P$ мы переходим к оценке, зависимой уже только от $n$.

Доказательство теоремы проводится через конструирование СЛАУ и анализ возникающих из неё определителей Вандермонда, то есть существенно использует то, что мы работаем с последовательными степенями чисел.
При этом после всех технических преобразований, связанных с матрицей Вандермонда, оказывается, что главной сутью этого действа является зависимость вариабельности $v_s$ от значения $\frac{1}{(x_s-x_1)(x_s-x_2) \dots (x_s-x_{s-1})}$, где $x_i \in [X_i;Y_i]$. То есть важна именно отдалённость интервалов друг от друга.

И, действительно, задумавшись, я понял, что это очень интуитивно - если какая-то функция $f$ (в нашем случае $x^k$) выпукла (и сильно выпукла), а интервалы, в которых живут $x_1$ и $x_2$, сильно отдалены друг от друга, то система $x_1+x_2=\lambda; f(x_1)+f(x_2)=\mu$ имеет очень-очень мало решений (может быть, даже одно) - ведь одинаковые разнонаправленные подвижки переменных $x_1$ и $x_2$, сохраняющие первое уравнение, не сохранят второе, ввиду разницы производной $f$ на двух отдалённых участках.
То же рассуждение уместно для произвольного количества интервалов и функций.

В связи с этим возникает вопрос - а возможно ли заменить в изложенной в начале лемме обычные степени $v_i$ на произвольные выпуклые функции $f_1, \dots, f_n$ с каким-то строгим требованием выпуклости типа (например, просто обобщая) ${f_k}'(x) = \Omega({f_{k-1}}(x))$?

И возможно ли сделать это тем же способом через определители, то есть существуют ли общие методы оценки снизу определителей

$\begin{vmatrix} f_1(x_1) & f_1(x_2) & f_1(x_3) & \dots & f_1(x_n) \\ f_2(x_1) & f_2(x_2) & f_2(x_3) & \dots & f_2(x_n) \\ \hdotsfor{5} \\ f_n(x_1) & f_n(x_2) & f_n(x_3) & \dots & f_n(x_n) \end{vmatrix}$

если известно, что каждая $f_i$ намного (в каком-то смысле) выпуклее предыдущей и расстояние между любыми разными переменными $x_i, x_j$ превышает какое-то заранее заданное число?

[vicvolf]

Может Вам поможет Лемма Хуа https://en.wikipedia.org/wiki/Hua%27s_lemma в сочетании с неравенствами Коши и Гельдера, как в этом сообщении на другую тему [quote="vicvolf в сообщении #1054567"]. Также посмотрите Круговой метод Харди-Литтлвуда http://www.iakovlev.org/zip/hyp1.pdf, обобщение многомерной проблемы Варинга - Karatsuba A. A. (1988). «Waring's problem in several dimension». Mathem. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht (42): 5–6