2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Disjoint union
Сообщение08.01.2018, 04:29 


03/04/14
303
Someone в сообщении #1282138 писал(а):
??? Это Вы о чём? До сих пор такие множества не упоминались.


Это я к тому, что вы писали, что:
Someone в сообщении #1281710 писал(а):
В теориях множеств типа ZFC или NBG нет никаких "элементов произвольной природы", кроме множеств, и это очень удобно.


То есть, если нет никаких элементов произвольной природы, то и "атомов" как таковых нет?
Например, множество $A = \{1, 2, 3\}$, тогда 1, 2, 3 тоже должны быть множествами в этом смысле? Как же они тогда должны быть определены, подумал я и в англоязычной Википедии нашел вот такое:
Цитата:
An alternative approach to urelements is to consider them, instead of as a type of object other than sets, as a particular type of set. Quine atoms are sets that only contain themselves, that is, sets that satisfy the formula $x = \{x\}$


То есть в случае приведенным множеством $A$, элемент $1$ это множество $\{1\}$, то есть $\{\{1\}\}$, то есть $\{\{\{1\}\}\}$... То есть бесконечно вложенное само в себя множество?
Но я так понял это какое-то альтернативное определение "атомов"? Так как тогда определяются "атомы" в общепринятом варианте (это ZFC?) аксиоматизации теории множеств?

 Профиль  
                  
 
 Re: Disjoint union
Сообщение08.01.2018, 05:04 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
(Цитаты у вас получились не с теми авторами; обычно это происходит от нажатия кнопки Изображение не на том посте.)

bayah в сообщении #1282222 писал(а):
Но я так понял это какое-то альтернативное определение "атомов"? Так как тогда определяются "атомы" в общепринятом варианте (это ZFC?) аксиоматизации теории множеств?
Никак, там (в ZFC) их нет (как выше и писали :wink:). Кроме того, обычно включаемая в ZF аксиома регулярности исключает из рассмотрения и атомы Куайна (что, кстати, дальше и написано в цитируемой вами https://en.wikipedia.org/wiki/Urelement). Хоть они, конечно, и не атомы в смысле Someone — теория, где с ними аккуратно обошлись, будет эквивалентна теории с атомами (и тоже не всякой).

Но зачем вам атомы в ZFC? Она и без них прекрасно способна определить упомянутые выше 1, 2, 3 (ну и про пары, с которых всё началось, все помним). Конечно, толк разбираться в различных теориях множеств: с атомами и без, с классами и без, разных по силе и т. д. имеется, но в основном ради теории множеств — ничего особо нового про те же пары или там моноиды и гладкие многообразия это не даст.

 Профиль  
                  
 
 Re: Disjoint union
Сообщение08.01.2018, 05:45 


03/04/14
303
arseniiv в сообщении #1282224 писал(а):
(Цитаты у вас получились не с теми авторами; обычно это происходит от нажатия кнопки Изображение не на том посте.)

Ох блин, спасибо, исправил)

arseniiv в сообщении #1282224 писал(а):
Никак, там (в ZFC) их нет (как выше и писали :wink:).

arseniiv в сообщении #1282224 писал(а):
Но зачем вам атомы в ZFC? Она и без них прекрасно способна определить упомянутые выше 1, 2, 3 (ну и про пары, с которых всё началось, все помним).


Чего-то я запутался, так как что тогда такое, эти самые $1, 2, 3$ в ZFC?
Если это не атомы Куайна и не urelementы, то что тогда?
Все начиналось с пар, и если пары нужно определить как множества, то и все прочее, и эти $1, 2, 3$ должны быть определены как множеста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Disjoint union
Сообщение08.01.2018, 13:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
bayah в сообщении #1282225 писал(а):
Чего-то я запутался, так как что тогда такое, эти самые $1, 2, 3$ в ZFC?
В ZFC, разумеется, нет натуральных чисел как первичных объектов. Поэтому в ZFC строится некая стандартная модель арифметики Пеано, носителем которой является минимальное индуктивное множество. При этом все аксиомы арифметики Пеано оказываются теоремами ZFC. А натуральные числа изображаются множествами: $0=\varnothing$, $1=\{0\}=\{\varnothing\}$, $2=\{0,1\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$, $3=\{0,1,2\}=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}$,…

bayah в сообщении #1282225 писал(а):
Все начиналось с пар, и если пары нужно определить как множества, то и все прочее, и эти $1, 2, 3$ должны быть определены как множеста.
Ну, ZFC оказалась весьма сильной теорией, хорошо приспособленной к построению моделей. В ней можно формализовать практически всю математику. Вместо ZFC можно использовать NBG, в которой исходным понятием является не множество, а класс. Она ещё немного сильнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Disjoint union
Сообщение08.01.2018, 18:13 


03/04/14
303
Someone в сообщении #1282332 писал(а):
А натуральные числа изображаются множествами: $0=\varnothing$, $1=\{0\}=\{\varnothing\}$, $2=\{0,1\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$, $3=\{0,1,2\}=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}$,…


А как если в множестве $A = \{a, b, c\}$, под $a,b,c$ я хочу иметь ввиду какие-то "атомы", то мне нужно их как-то определить обязательно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Disjoint union
Сообщение08.01.2018, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
bayah в сообщении #1282432 писал(а):
А как если в множестве $A = \{a, b, c\}$, под $a,b,c$ я хочу иметь ввиду какие-то "атомы", то мне нужно их как-то определить обязательно?
А нафиг Вам атомы? В системе аксиом наличие атомов должно как-то отражаться. Иначе никаких атомов не будет. В аксиоматических теориях действует принцип "что не разрешено, то запрещено". Я, к сожалению, никогда не видел аксиоматики теории множеств с атомами, знаю только, что такие бывают. Особой надобности в них нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Disjoint union
Сообщение08.01.2018, 19:11 


03/04/14
303
Someone в сообщении #1282444 писал(а):
А нафиг Вам атомы?

А, нет, я имел ввиду, что этим $a, b, c$ так же нужно дать определения, что это за множества? Или просто они считаются какими-то произвольными множествами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Disjoint union
Сообщение08.01.2018, 20:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
bayah в сообщении #1282451 писал(а):
этим $a, b, c$ так же нужно дать определения, что это за множества?
Если Вы имеете в виду какие-то конкретные элементы, то, разумеется, Вы должны объяснить, что это такое. В противном случае это просто переменные, которые могут обозначать любые элементы (не обязательно различные). Но Вы задаёте тривиальные вопросы. Постарайтесь в таких вещах разбираться самостоятельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Disjoint union
Сообщение08.01.2018, 23:35 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
bayah
Тут дело такое, метаматематическое, от теории множеств никак специально не зависящее. Значение выражения $\{a,b,c\}$ зависит от значений $a,b,c$ (и смысла скобочек с запятыми, но его будем считать известным), так что если мы определяем $A$ как $\{a,b,c\}$, $A$ зависит от того же самого. Если мы уже определили, что такое $a,b,c$ (и каждая из букв обозначает что-то единственное), под $A$ будет пониматься что-то ровно одно. Если нет, нет (если только мы отдельно не показали, что изменение значений тех букв, которые остались переменными, никак не сказывается на значении $A$). Если значения $a,b,c$ сами зависят от чего-то, от этого будет зависеть и значение $A$.

Пример 1: мы обсуждаем целочисленную арифметику и определяем $A = 2 + 3$. Всё в порядке, это число, не зависящее ни от какого выбора (и равно оно 5). Скажем, что $B = A + 1$, тогда $B$ тоже фиксированное число (и равно 6).
Пример 2: то же, но $A = x + 3$. Понятное дело, теперь если мы хотим говорить о каком-то фиксированном числе $A$, мы сначала должны зафиксировать $x$. Скажем, что $B = A + 1$. Тогда $B$ «наследует» зависимость от $x$ и обозначает разные числа в зависимости от того, что обозначает $x$ — то же самое, что и с $A$.
Пример 3: то же, но $A = x - x$. Формально $A$ зависит от $x$, но можно доказать, что оно при любом значении $x$ будет одним и тем же нулём, про $x$ можно забыть, как будто его и не было. Скажем, что $B = A + 1$, и тут опять верно, что фактически $B = 1$.

Погрузим это всё в теорию множеств (или что-то другое, где мы можем говорить о функциях и целых числах одновременно); теперь в примерах 2 и 3 мы можем определить функцию $C\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$, положив $C(x) = B$. Здесь от $x$ зависит значение выражения $C(x)$, но не выражения $C$ (притом для третьего примера $C$, понятное дело, постоянная функция).

 Профиль  
                  
 
 Re: Disjoint union
Сообщение09.01.2018, 06:45 


03/04/14
303
arseniiv в сообщении #1282520 писал(а):
Если Вы имеете в виду какие-то конкретные элементы, то, разумеется, Вы должны объяснить, что это такое.

arseniiv в сообщении #1282520 писал(а):
Тут дело такое, метаматематическое, от теории множеств никак специально не зависящее.


Спасибо за объяснение, ребята, понял.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group