Disjoint union

[bayah]

Речь идет об этом disjoint union (из википедии):

Цитата:

In set theory, the disjoint union (or discriminated union) of a family of sets is a modified union operation that indexes the elements according to which set they originated in.

Disjoint union of sets $A_{0} = \{1, 2, 3\}$ and $A_{1} = \{1, 2\}$ can be computed by finding:
$ \\ A^*_0 & = \{(1, 0), (2, 0), (3, 0)\} \\ A^*_1 & = \{(1, 1), (2, 1)\}$
so
$A_0 \sqcup A_1 = A^*_0 \cup A^*_1 = \{(1, 0), (2, 0), (3, 0), (1, 1), (2, 1)\}$

Далее в книжке:
From this egalitarian standpoint, the result of the operation $A \sqcup B$ is not ‘well-defined’ as a set in the sense specified above. However, it is easy to see (Exercise 2.9) that $A \sqcup B$ is well-defined up to isomorphism: that is, that any two choices for the copies $A^*$ , $B^*$ lead to isomorphic candidates for $A \sqcup B$.

Вопрос:
В чем собвственно не well-defind этой операции? В каком месте возникает неоднозначность этой операции? В используемом множестве для индексации, что ли?
Типа не $ \\ A^*_0 & = \{(1, 0), (2, 0), (3, 0)\} \\ A^*_1 & = \{(1, 1), (2, 1)\}$, а скажем $ \\ A^*_0 & = \{(1, 3), (2, 3), (3, 3)\} \\ A^*_1 & = \{(1, 4), (2, 4)\}$
?

[Xaositect]

В книжке (Aluffi "Algebra. Chapter 0") определение другое.

[arseniiv]

bayah в сообщении #1279912 писал(а):

В используемом множестве для индексации, что ли?

В том числе. Кроме того, мы вообще вольны определить $A\sqcup B$ как душа пожелает, лишь бы у нас всегда (для любых $A, B$) были канонические инъекции $\mathrm{inl}\colon A\to A\sqcup B$, $\mathrm{inr}\colon B\to A\sqcup B$, для всевозможных $f_A\colon A\to C$, $f_B\colon B\to C$ существовала $f_A + f_B\colon A\sqcup B\to C$, и всё это было совместимо: $f\circ\mathrm{inl} + f\circ\mathrm{inr} = f$ для любой подходящей $f$. Теория категорий эти требования и ситуацию описывает яснее.

То же самое творится с декартовым произведением (вспомните, что упорядоченную пару можно определить не единственным образом), притом творится даже в точности двойственная ситуация.

[svv]

arseniiv в сообщении #1279925 писал(а):

как душа пожелает

Теперь понятно. А то я не мог разрешить противоречие: копия должна содержать такие же элементы, чтобы быть копией, но она не может содержать те же элементы, иначе будет тем же множеством (и не будет гарантии, что $A'\cap B'$ пусто).

[arseniiv]

Тут в ЛС постучали по голове, что я не привёл красивую диаграмму вместо длинного описания. Исправлюсь (благо набирать её с нуля не придётся). Итак, в общем случае (в любой категории, не обязательно Set) суммой (ко-произведением) объектов $A, B$ некоторой категории называется объект $A\sqcup B$ такой, что существуют морфизмы $\mathrm{inl}\colon A\to A\sqcup B$, $\mathrm{inr}\colon B\to A\sqcup B$ такие, что для любых (подходящих) $f_A, f_B$ существует единственный морфизм $f_A\uplus f_B$ и диаграмма

$$\xymatrix{ A\sqcup B \ar@{-->}[rd]^{f_A\uplus f_B} & A \ar[l]_-{\mathrm{inl}} \ar[d]^{f_A} \\ B \ar[u]^-{\mathrm{inr}} \ar[r]_{f_B} & C }$$

коммутативна. Последнее значит, что все пути дают одну и ту же композицию (здесь это даёт два требования $(f_A\uplus f_B)\circ\mathrm{inl} = f_A$ и $(f_A\uplus f_B)\circ\mathrm{inr} = f_B$), а штрихованность стрелки на диаграмме обозначает единственность (так что обычно много слов сокращается).

В категории Set объекты — множества, а морфизмы — функции, вот и получаем.

(На самом деле я не привожу диаграммы, потому что их долго рисовать, вспоминать и пояснять для некатегорной публики с учётом того, что я и сам собак на категориях ещё не ел. Так что всем будет лучше без(?).)

[bayah]

Xaositect в сообщении #1279923 писал(а):

В книжке (Aluffi "Algebra. Chapter 0") определение другое.

Ну там где я читаю вообще еще не дошло до строгого определения, пока только:

Цитата:

Roughly speaking, the disjoint union of two sets S and T is a set $S \sqcup T$ obtained by first producing ‘copies’ $S'$ and $T'$ of the sets $S$ and $T$ , with the property that $S' \cup T'= \emptyset$, and then taking the (ordinary) union of $S'$ and $T'$. The careful reader will feel uneasy, since this ‘recipe’ does not define one set: whatever it means to produce a ‘copy’ of a set, surely there are many ways to do so. This ambiguity will be clarified below.

Дальше соббственно что и в википедии.

arseniiv в сообщении #1279925 писал(а):

Кроме того, мы вообще вольны определить $A\sqcup B$ как душа пожелает, лишь бы у нас всегда (для любых $A, B$) были канонические инъекции

Кононические инъекции и натуральные инъекции это одно и то же?

arseniiv в сообщении #1279925 писал(а):

То же самое творится с декартовым произведением (вспомните, что упорядоченную пару можно определить не единственным образом), притом творится даже в точности двойственная ситуация.

Всмысле записать пару $(a, b)$ или $(b, a)$? Ну это вроде бы определятся в каком порядке записаны множества $A \times B$ или $B \times A$?

arseniiv в сообщении #1279934 писал(а):

Тут в ЛС постучали по голове, что я не привёл красивую диаграмму вместо длинного описания.

Спасибо.
Примерно понятно.
Но видимо, мне еще нужно до категорий дочитать.
О морфизмах и вообще для чего эти конструкции.)

[Someone]

bayah в сообщении #1280028 писал(а):

Всмысле записать пару $(a, b)$ или $(b, a)$?

Нет. Речь идёт о том, что в языке теории множеств нет понятия "упорядоченная пара", и если нам такое понятие понадобилось, то мы должны его определить. От упорядоченной пары нам требуется, чтобы выполнялось свойство

$$(a,b)=(c,d)\Leftrightarrow(a=c\wedge b=d).$$

Добиться этого можно многими разными способами. Простейшее определение принадлежит К. Куратовскому:

$$(a,b)=\{a,\{a,b\}\},$$

но можно придумать много других. Конкретное множество $A\times B$ зависит не только от множеств $A$ и $B$, но и от выбора определения упорядоченной пары.

[arseniiv]

bayah в сообщении #1280028 писал(а):

Кононические инъекции и натуральные инъекции это одно и то же?

В принципе да, хотя могут быть нюансы словоупотребления. Например, не видел, чтобы естественное вложение $\mathbb N \hookrightarrow\mathbb Z$ где-то называлось канонической инъекцией.

bayah в сообщении #1280028 писал(а):

Но видимо, мне еще нужно до категорий дочитать.
О морфизмах и вообще для чего эти конструкции.)

О категориях не обязательно. Теория категорий — это просто большое обобщение множества разных вещей, и к изучению её самой по себе надо быть морально готовым (хотя вру: есть, например, книга Lawvere, Shanuel Conceptual mathematics: a first introduction to categories, которую можно читать очень рано). От диаграмм больше пользы, когда там больше объектов и морфизмов, и больше возможных путей: тогда выписывать равенства будет уже менее удобно. Кроме того, есть способ доказательства «хождением по диаграмме», тут где-то был пример, но не помню точно какой, но если найду, прибавлю. (Опять же, этот способ требует сначала нарисовать диаграмму побольше, чтобы было где разойтись.)

-- Сб дек 30, 2017 18:16:30 --

Ага, это кусочек обсуждения начиная вот отсюда.

-- Сб дек 30, 2017 18:17:46 --

Наматывание кругов там не нарисовано, но описано ниже в виде аннотированных равенств. По ним можно восстановить хождение.

[bayah]

Someone в сообщении #1280083 писал(а):

Нет. Речь идёт о том, что в языке теории множеств нет понятия "упорядоченная пара", и если нам такое понятие понадобилось, то мы должны его определить.

А почему нам обязательно иметь его определенным на языке теории множеств? Мы же используем в утверждении о множествах логические операции например. Или почему мы не можем считать "упорядоченную пару" каким-то черным ящиком и просто использовать как обычный элемент множества. Мы же понимаем, что есть упорядоченная пара. Ну вот хотя бы этого самого определения

Someone в сообщении #1280083 писал(а):

$$(a,b)=(c,d)\Leftrightarrow(a=c\wedge b=d).$$

разве не достаточно?

Someone в сообщении #1280083 писал(а):

Конкретное множество $A\times B$ зависит не только от множеств $A$ и $B$, но и от выбора определения упорядоченной пары.

А как это множество $A\times B$ изменится в зависимости от того как мы определим "упорядоченную пару"? Это коснется только обозначения и записи самой "упорядоченной пары". Все внешние свойства будут ведь теми же?

[arseniiv]

bayah в сообщении #1281491 писал(а):

Ну вот хотя бы этого самого определения <…> разве не достаточно?

Так можно, но придётся всё равно менять достаточно много, так что это будет уже не ZFC, а другая теория множеств, в частности, содержащая не-множества (вот эти пары). Аксиому экстенсиональности потому придётся переделать, учтя и последние; надо будет ввести предикатный символ, отделяющий множества от пар, и функциональные для выделения компонент и самого конструктора пары $(,)$. И на этом ещё не всё кончится. С обычным же подходом получается тоже достаточно технических деталей, но на его стороне традиция и, возможно, он действительно будет чуть проще.

bayah в сообщении #1281491 писал(а):

Все внешние свойства будут ведь теми же?

Будут теми, какие мы определим — это да; и теми, которые нам интересны от упорядоченных пар — тоже да. А совсем целиком теми же — уже нет (потому что это не будут множества), но этого нам как раз тоже не нужно.

Если же мы подразумеваем, что $(a, b)$ для множеств $a, b$ — тоже множество (а не особый объект иной природы), но просто не определено, какое именно, то это какое-то неустойчивое промежуточное положение — всё равно придётся каким-то образом доказать существование множеств с постулированными свойствами.

[bayah]

arseniiv в сообщении #1281563 писал(а):

Если же мы подразумеваем, что $(a, b)$ для множеств $a, b$ — тоже множество

А если просто $(a, b)$ это не множество, а какой-то элемент. Ну множество же может содержать элементы произвольной природы? Ну и пусть это $(a, b)$ содержится в множестве $A\times B$ как элемент. А понимание, что это за элемент такой мы оставим за скобками, для себя. И дальше просто работать как с обычным множеством, не касаясь сути этих элементов-пар. Какие тут проблемы с теорией множеств?

[Someone]

bayah в сообщении #1281655 писал(а):

А если просто $(a, b)$ это не множество, а какой-то элемент. Ну множество же может содержать элементы произвольной природы?

В теориях множеств типа ZFC или NBG нет никаких "элементов произвольной природы", кроме множеств, и это очень удобно. Есть варианты теорий множеств с атомами. Атомы не являются множествами, хотя могут быть элементами множества, но упорядоченными парами они тоже не являются.

"Внутренняя структура" упорядоченной пары нас действительно не интересует, нас интересует только свойство $(a,b)=(c,d)\Longleftrightarrow(a=c\wedge b=d)$. Дальше можно определить упорядоченную тройку, например, как $(a,b,c)=((a,b),c)$, упорядоченную четвёрку как $(a,b,c,d)=((a,b,c),d)$ и так далее (естественно, не обязательно именно так). Но крайне желательно, чтобы эти штуки были множествами, так как введение дополнительных сущностей без необходимости является усложнением теории, а не упрощением, как Вам почему-то представляется. Мы ведь должны и аксиомы для этих сущностей ввести. Об этом Вам и arseniiv пишет.

bayah в сообщении #1281491 писал(а):

А как это множество $A\times B$ изменится в зависимости от того как мы определим "упорядоченную пару"? Это коснется только обозначения и записи самой "упорядоченной пары". Все внешние свойства будут ведь теми же?

"Внешние свойства" — да. Но конкретные элементы произведения $A\times B$ зависят от того, как мы определили упорядоченную пару.

[bayah]

Someone в сообщении #1281710 писал(а):

В теориях множеств типа ZFC или NBG нет никаких "элементов произвольной природы"

Я просто еще в наивной теории множеств пребываю и вопросов аксиоматизации не касался. А там элементы множества просто какие угодно объекты. Почему бы и не пары тогда.

Someone в сообщении #1281710 писал(а):

кроме множеств, и это очень удобно.

Это там, где есть так называемые "Quine atoms" - множества содержащие в качестве элемента самое себя?
А эта вложенность не пораждает никаких жутких парадоксов? Такое чувство, что следовало бы ожидать)

Someone в сообщении #1281710 писал(а):

Есть варианты теорий множеств с атомами. Атомы не являются множествами, хотя могут быть элементами множества, но упорядоченными парами они тоже не являются.

А в этом случае это аксиоматизация, где есть "urelement'ы"? Но почему они в таком случае не могут яыляться в том числе и парами? Типа потому что они не доллжны содержать в себе никакие элементы, а пара содержит хоть и в отличном от понятия множества смысле?

[Someone]

bayah в сообщении #1282053 писал(а):

Я просто еще в наивной теории множеств пребываю и вопросов аксиоматизации не касался. А там элементы множества просто какие угодно объекты. Почему бы и не пары тогда.

Это не важно. Мы ведь всё равно должны по двум элементам (может быть, совпадающим), из которых один называется "первым", а другой — "вторым", найти соответствующую упорядоченную пару, а по упорядоченной паре — соответствующие элементы. Для этого удобно, чтобы упорядоченные пары были множествами со структурой, позволяющей это сделать. Если же упорядоченные пары — это не множества, а какие-то особые объекты, то нам придётся делать далеко идущие предположения об этих объектах.

bayah в сообщении #1282053 писал(а):

Это там, где есть так называемые "Quine atoms" - множества содержащие в качестве элемента самое себя?

??? Это Вы о чём? До сих пор такие множества не упоминались.

Нет, предположение о существовании таких множеств само по себе ни к каким парадоксам не ведёт. В стандартных аксиоматизациях имеется аксиома регулярности, которая такие множества запрещает. Однако Вы можете взять учебник К. Куратовского и А. Мостовского "Теория множеств" ("Мир", Москва, 1970), и там, после формулировки всех нужных аксиом, обнаружите формулировку этой аксиомы. Авторы дают краткое обсуждение аксиомы регулярности, смысл которого сводится к тому, что "это утверждение интуитивно очевидно, но мы им пользоваться не будем".

bayah в сообщении #1282053 писал(а):

А эта вложенность не пораждает никаких жутких парадоксов? Такое чувство, что следовало бы ожидать

Ну, парадокс Рассела построен на таких множествах, однако это не означает, что в противоречиях виноваты именно эти множества. Виновато предположение, что существует множество всех множеств (точнее — неограниченная аксиома свёртывания, которая утверждает, что всякое свойство, выраженное в языке теории, порождает множество элементов, обладающих этим свойством; в ZFC вместо этой аксиомы присутствует аксиома выделения). Дело в том, что если парадоксы в аксиоматической теории есть, то добавлением новых аксиом избавиться от них не удастся: новая аксиома — это дополнительное средство доказательства, и если мы смогли доказать два противоречащих друг другу утверждения без этой аксиомы, то с ней тем более докажем.

bayah в сообщении #1282053 писал(а):

А в этом случае это аксиоматизация, где есть "urelement'ы"? Но почему они в таком случае не могут яыляться в том числе и парами?

Наверное, могут, но это надо явным образом описать соответствующими аксиомами. То есть, вместо одного маленького определения и кратко доказываемой теоремы у нас будут дополнительные понятия и дополнительные аксиомы. Зачем плодить сущности без явной нужды? О бритве Оккама слышали?

[arseniiv]

bayah в сообщении #1281655 писал(а):

А понимание, что это за элемент такой мы оставим за скобками, для себя.

Нет, как я выше описал, это надо будет ввести в аксиоматику. Если мы собираемся ей пользоваться.

bayah в сообщении #1282053 писал(а):

Типа потому что они не доллжны содержать в себе никакие элементы, а пара содержит хоть и в отличном от понятия множества смысле?

Не, это действительно не важно: в теории множеств «содержать в качестве элемента» — это $\in$ и только $\in$, а «содержание» элемента в паре получается просто омонимом, называющим другое понятие. Так-то от urelement’ов, как понимаю, не требуется ничего кроме того, что они могут входить в множества, но сами не множества, а всё остальное — это уже детали конкретной теории множеств; в том числе будем ли мы определять пары как особый вид таких элементов.