Disjoint union

[bayah]

Someone в сообщении #1282138 писал(а):

??? Это Вы о чём? До сих пор такие множества не упоминались.

Это я к тому, что вы писали, что:

Someone в сообщении #1281710 писал(а):

В теориях множеств типа ZFC или NBG нет никаких "элементов произвольной природы", кроме множеств, и это очень удобно.

То есть, если нет никаких элементов произвольной природы, то и "атомов" как таковых нет?
Например, множество $A = \{1, 2, 3\}$, тогда 1, 2, 3 тоже должны быть множествами в этом смысле? Как же они тогда должны быть определены, подумал я и в англоязычной Википедии нашел вот такое:

Цитата:

An alternative approach to urelements is to consider them, instead of as a type of object other than sets, as a particular type of set. Quine atoms are sets that only contain themselves, that is, sets that satisfy the formula $x = \{x\}$

То есть в случае приведенным множеством $A$, элемент $1$ это множество $\{1\}$, то есть $\{\{1\}\}$, то есть $\{\{\{1\}\}\}$... То есть бесконечно вложенное само в себя множество?
Но я так понял это какое-то альтернативное определение "атомов"? Так как тогда определяются "атомы" в общепринятом варианте (это ZFC?) аксиоматизации теории множеств?

[arseniiv]

(Цитаты у вас получились не с теми авторами; обычно это происходит от нажатия кнопки не на том посте.)

bayah в сообщении #1282222 писал(а):

Но я так понял это какое-то альтернативное определение "атомов"? Так как тогда определяются "атомы" в общепринятом варианте (это ZFC?) аксиоматизации теории множеств?

Никак, там (в ZFC) их нет (как выше и писали ). Кроме того, обычно включаемая в ZF аксиома регулярности исключает из рассмотрения и атомы Куайна (что, кстати, дальше и написано в цитируемой вами https://en.wikipedia.org/wiki/Urelement). Хоть они, конечно, и не атомы в смысле Someone — теория, где с ними аккуратно обошлись, будет эквивалентна теории с атомами (и тоже не всякой).

Но зачем вам атомы в ZFC? Она и без них прекрасно способна определить упомянутые выше 1, 2, 3 (ну и про пары, с которых всё началось, все помним). Конечно, толк разбираться в различных теориях множеств: с атомами и без, с классами и без, разных по силе и т. д. имеется, но в основном ради теории множеств — ничего особо нового про те же пары или там моноиды и гладкие многообразия это не даст.

[bayah]

arseniiv в сообщении #1282224 писал(а):

(Цитаты у вас получились не с теми авторами; обычно это происходит от нажатия кнопки Изображение не на том посте.)

Ох блин, спасибо, исправил)

arseniiv в сообщении #1282224 писал(а):

Никак, там (в ZFC) их нет (как выше и писали ).

arseniiv в сообщении #1282224 писал(а):

Но зачем вам атомы в ZFC? Она и без них прекрасно способна определить упомянутые выше 1, 2, 3 (ну и про пары, с которых всё началось, все помним).

Чего-то я запутался, так как что тогда такое, эти самые $1, 2, 3$ в ZFC?
Если это не атомы Куайна и не urelementы, то что тогда?
Все начиналось с пар, и если пары нужно определить как множества, то и все прочее, и эти $1, 2, 3$ должны быть определены как множеста.

[Someone]

bayah в сообщении #1282225 писал(а):

Чего-то я запутался, так как что тогда такое, эти самые $1, 2, 3$ в ZFC?

В ZFC, разумеется, нет натуральных чисел как первичных объектов. Поэтому в ZFC строится некая стандартная модель арифметики Пеано, носителем которой является минимальное индуктивное множество. При этом все аксиомы арифметики Пеано оказываются теоремами ZFC. А натуральные числа изображаются множествами: $0=\varnothing$, $1=\{0\}=\{\varnothing\}$, $2=\{0,1\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$, $3=\{0,1,2\}=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}$,…

bayah в сообщении #1282225 писал(а):

Все начиналось с пар, и если пары нужно определить как множества, то и все прочее, и эти $1, 2, 3$ должны быть определены как множеста.

Ну, ZFC оказалась весьма сильной теорией, хорошо приспособленной к построению моделей. В ней можно формализовать практически всю математику. Вместо ZFC можно использовать NBG, в которой исходным понятием является не множество, а класс. Она ещё немного сильнее.

[bayah]

Someone в сообщении #1282332 писал(а):

А натуральные числа изображаются множествами: $0=\varnothing$, $1=\{0\}=\{\varnothing\}$, $2=\{0,1\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$, $3=\{0,1,2\}=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}$,…

А как если в множестве $A = \{a, b, c\}$, под $a,b,c$ я хочу иметь ввиду какие-то "атомы", то мне нужно их как-то определить обязательно?

[Someone]

bayah в сообщении #1282432 писал(а):

А как если в множестве $A = \{a, b, c\}$, под $a,b,c$ я хочу иметь ввиду какие-то "атомы", то мне нужно их как-то определить обязательно?

А нафиг Вам атомы? В системе аксиом наличие атомов должно как-то отражаться. Иначе никаких атомов не будет. В аксиоматических теориях действует принцип "что не разрешено, то запрещено". Я, к сожалению, никогда не видел аксиоматики теории множеств с атомами, знаю только, что такие бывают. Особой надобности в них нет.

[bayah]

Someone в сообщении #1282444 писал(а):

А нафиг Вам атомы?

А, нет, я имел ввиду, что этим $a, b, c$ так же нужно дать определения, что это за множества? Или просто они считаются какими-то произвольными множествами?

[Someone]

bayah в сообщении #1282451 писал(а):

этим $a, b, c$ так же нужно дать определения, что это за множества?

Если Вы имеете в виду какие-то конкретные элементы, то, разумеется, Вы должны объяснить, что это такое. В противном случае это просто переменные, которые могут обозначать любые элементы (не обязательно различные). Но Вы задаёте тривиальные вопросы. Постарайтесь в таких вещах разбираться самостоятельно.

[arseniiv]

bayah
Тут дело такое, метаматематическое, от теории множеств никак специально не зависящее. Значение выражения $\{a,b,c\}$ зависит от значений $a,b,c$ (и смысла скобочек с запятыми, но его будем считать известным), так что если мы определяем $A$ как $\{a,b,c\}$, $A$ зависит от того же самого. Если мы уже определили, что такое $a,b,c$ (и каждая из букв обозначает что-то единственное), под $A$ будет пониматься что-то ровно одно. Если нет, нет (если только мы отдельно не показали, что изменение значений тех букв, которые остались переменными, никак не сказывается на значении $A$). Если значения $a,b,c$ сами зависят от чего-то, от этого будет зависеть и значение $A$.

Пример 1: мы обсуждаем целочисленную арифметику и определяем $A = 2 + 3$. Всё в порядке, это число, не зависящее ни от какого выбора (и равно оно 5). Скажем, что $B = A + 1$, тогда $B$ тоже фиксированное число (и равно 6).
Пример 2: то же, но $A = x + 3$. Понятное дело, теперь если мы хотим говорить о каком-то фиксированном числе $A$, мы сначала должны зафиксировать $x$. Скажем, что $B = A + 1$. Тогда $B$ «наследует» зависимость от $x$ и обозначает разные числа в зависимости от того, что обозначает $x$ — то же самое, что и с $A$.
Пример 3: то же, но $A = x - x$. Формально $A$ зависит от $x$, но можно доказать, что оно при любом значении $x$ будет одним и тем же нулём, про $x$ можно забыть, как будто его и не было. Скажем, что $B = A + 1$, и тут опять верно, что фактически $B = 1$.

Погрузим это всё в теорию множеств (или что-то другое, где мы можем говорить о функциях и целых числах одновременно); теперь в примерах 2 и 3 мы можем определить функцию $C\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$, положив $C(x) = B$. Здесь от $x$ зависит значение выражения $C(x)$, но не выражения $C$ (притом для третьего примера $C$, понятное дело, постоянная функция).

[bayah]

arseniiv в сообщении #1282520 писал(а):

Если Вы имеете в виду какие-то конкретные элементы, то, разумеется, Вы должны объяснить, что это такое.

arseniiv в сообщении #1282520 писал(а):

Тут дело такое, метаматематическое, от теории множеств никак специально не зависящее.

Спасибо за объяснение, ребята, понял.