2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Многолистные функции, римановы поверхности
Сообщение08.01.2018, 04:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Цитата:
Задача 1. Выяснить, при каких значениях $z$ значения $w(z)$ на всех листах её римановой поверхности над плоскостью $z$ одинаковы, если:
A. $w = (z^2 - 9) \sqrt z.$
Б. $w = \sin z + (z^2 + 4) \operatorname{Ln} z.$
В. $w = \sin z + (z^2 + 4)^2 \operatorname{Ln} z.$


А.
Риманова поверхность функции $w$ строится следующим образом: в $\mathbb C$ делается разрез по отрицательному действительному лучу так, что верхнему берегу разреза назначается аргумент $\pi$, нижнему $-\pi$. Берётся второй экземпляр $\mathbb C$ с таким же разрезом, но на верхнем берегу аргумент будет $3 \pi$, на нижнем $\pi$ и листы $\mathbb C$ склеиваются.

На первом листе
$$
w(z) = (z^2 - 9) \sqrt{|z|} \exp \left( \dfrac{i \varphi}{2} \right), \varphi \in [-\pi, \pi) \ \text{(главная ветвь аргумента)}
$$
и таким образом аргумент $w$ лежит в $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$. На втором листе
$$
w(z) = (z^2 - 9) \sqrt{|z|} \exp \left( \dfrac{i \varphi}{2} \right), \varphi \in [\pi, 3\pi)
$$
и таким образом аргумент $w$ лежит в $\left[\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2}\right)$, здесь $\varphi$ — соответствующие однозначные ветви $\operatorname{Arg} z$.

Судя по формулировке, я должен найти такие точки $z$ со, скажем, первого листа, что $w(z) = w(z')$, где $z'$ — точка второго листа, расположенная точно над $z$ (то есть к аргументу добавляем $2 \pi$). Очевидно, что $\sqrt{z'} = - \sqrt z$. Значит, тогда нужно $z^2 - 9 = -((z')^2 - 9)$, чтобы минусы уничтожились. Стало быть, такие точки — решения уравнения $z^2 - 9 = 0$, $z_1 = 3$, $z_2 = -3$.

Проверьте, пожалуйста, рассуждение. Остальные два с учетом замечаний сделаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многолистные функции, римановы поверхности
Сообщение08.01.2018, 07:22 


11/07/16
801
Ваши рассуждения частично правильны. В пункте А это точки ветвления функции $\sqrt z$. В пунктах А и Б - рещения уравнения $\sin(z_1)+(z_1^2+4)\operatorname{Ln}(z_1)=\sin(z_2)+(z_2^2+4)\operatorname{Ln}(z_2)$ и аналогичного уравнения в Б. Уравнения трансцендентны и решаются только численными методами. Ответ - логарифмические точки ветвления функции $\operatorname{Ln}(z)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многолистные функции, римановы поверхности
Сообщение08.01.2018, 07:43 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Markiyan Hirnyk в сообщении #1282233 писал(а):
рещения уравнения $\sin(z_1)+(z_1^2+4)\operatorname{Ln}(z_1)=\sin(z_2)+(z_2^2+4)\operatorname{Ln}(z_2)$ и

Вот только Вы забыли добавить здесь, что эти две точки - это одна и та же точка....
И тогда уравнения вполне себе решаются....
Кажется, произошла путаница в понятиях "инъективность" и "однолистность (в точке?)".
И ответ, конечно, не такой...

 Профиль  
                  
 
 Re: Многолистные функции, римановы поверхности
Сообщение08.01.2018, 07:47 


20/03/14
12041
Уважаемые участники, ТС еще не решал 2 и 3 задачи и хотел это сделать сам. Оставьте ему такой шанс, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многолистные функции, римановы поверхности
Сообщение08.01.2018, 07:51 


11/07/16
801
DeBill
Цитата:
Вот только Вы забыли добавить здесь, что эти две точки - это одна и та же точка....
И тогда уравнения вполне себе решаются....
Кажется, произошла путаница в понятиях "инъективность" и "однолистность (в точке?)".
И ответ, конечно, не такой...

Насколько я помню, функция $\operatorname{Ln}(z)$ имеет две точки ветвления $z=0$ и $z=\infty$ над $\overline{\mathbb{C}} $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многолистные функции, римановы поверхности
Сообщение08.01.2018, 08:06 


20/03/14
12041
Markiyan Hirnyk
Это все помнят. Речь шла не об этом, а о процитированном уравнении.
StaticZero
Мне кажется, или Вы $z=0$ забыли? А так вроде все честно, хоть и немножко длинно, но это не беда.

Я бы так рассуждала. На одном листе над точкой $z$ лежит $\sqrt z$, который при обходе точки ветвления переходит в $- \sqrt z$ над той же точкой, но уже на другом листе. Значит, должны совпасть $(z^2-9)\sqrt z= -(z^2-9)\sqrt z$. Решаем, получаем три точки.

Но если пока еще нужно тщательно по каким-то причинам (например, для себя), вычислять, почему "$\sqrt z$ при обходе точки ветвления переходит в $- \sqrt z$", то конечно, лучше вычислить.

Ну и с логарифмами так же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многолистные функции, римановы поверхности
Сообщение08.01.2018, 10:20 


11/07/16
801
Уточнение:
мое предположение
Цитата:
Ответ - логарифмические точки ветвления функции $\operatorname{Ln}(z)$

неверно. Приношу извинения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многолистные функции, римановы поверхности
Сообщение08.01.2018, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Lia в сообщении #1282247 писал(а):
Мне кажется, или Вы $z=0$ забыли? А так вроде все честно, хоть и немножко длинно, но это не беда.

А, да. Ноль с любого листа пойдёт.

Б.
Мы рассматриваем бесконечнолистную риманову поверхность $\operatorname{Ln} z$, образованную склейкой листа $n$ с пределами изменения аргумента $\left[\pi (n - 1), \pi (n + 1) \right)$ с разрезом по отрицательному действительному лучу и такого же листа $n+1$ с пределами изменения аргумента $\left[\pi (n + 1), \pi (n + 3) \right)$, где верхний берег младшего листа склеивается с нижним старшего.

Рассмотрим точки $z$ и $z'$ друг под другом на расстоянии $n$ листов друг от друга. В таком случае $\operatorname{Ln} z' = \operatorname{Ln} z + 2 i \pi n$, $\sin z' = \sin z$ в силу однолистности, $z^2 = (z')^2$ по той же причине и получаем
$$
w(z') - w(z) = (z^2 + 4) \cdot 2 i \pi n.
$$
Ответ: $z \in \lbrace -2i, 2i \rbrace$.

В.
То же рассуждение, решать будем уравнение $(z^2 + 4)^2 = 0$. Корни те же, но двукратные. Ответ: $z \in \lbrace -2i, 2i \rbrace$.

Ноль не включается ввиду того, что $w(0)$ не определено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многолистные функции, римановы поверхности
Сообщение08.01.2018, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Цитата:
Задача 2. Исследовать отображения, построить римановы поверхности $R$ над плоскостью $w$ и разбить $z$-плоскость на области, соответствующие листам или полулистам $R$.
А. $w = \left(1 + \dfrac{z}{n}\right)^n,$ исследовать случай $n \to \infty$
Б. $w = \left(\dfrac{z - a}{z - b}\right)^n,$
В. $w = \dfrac{1}{2} \left( z + \dfrac{1}{z} \right),$
Г. $w = \dfrac{z}{(1 - z)^2},$
Д. $w = \dfrac{1}{2} \left(z^n + \dfrac{1}{z^n} \right),$
Е. $w = \dfrac{z}{(1 + z^n)^2},$
Ж. $w = z - \dfrac{z^n}{n},$
З. $w = \dfrac{1}{z} + \dfrac{z^n}{n},$
И. $w = 2^{1 - n} \cos(n \arccos z), \quad n \geqslant 1.$


Здесь просят уже римановы поверхности строить над $w$, то есть это римановы поверхности обратной функции $z = z^{-1}(w)$, как я понимаю. (Что такое полулист?)

А.
$z = n\left(\sqrt[n]{w} - 1 \right)$, функция $n$-листная. Возьмём один лист с разрезом по отрицательной полуоси, на котором аргумент лежит в $[\pi (2k - 1), \pi (2k+1))$ ($k$-лист). На плоскости $z$ этот лист превращается в сектор $\left[ \pi \dfrac{2k - 1}{n}, \pi \dfrac{2k + 1}{n}\right)$, $k = 0, \ldots, n - 1$, при отображении $\sqrt[n]{w}$. Дальше точки сдвигаются на единицу влево и расстояние до них потом растягивается в $n$ раз. Это растяжение не влияет на угол раствора сектора, сдвиг тоже, поэтому на плоскость $z$ каждый лист отображается в сектор, центр всех секторов лежит в точке $z = -n$. При $n \to \infty$ понятно, что $w = e^z$, но увидеть структуру $w$ и $z$-плоскостей при $z = \operatorname{Ln} w$ из прямого рассуждения выше не получается (точнее, ожидать полосы можно, поскольку центр сектора уехал в бесконечность по действительной оси, но куда переходят внутренности секторов не понятно).

Б.
Имеем $\dfrac{z - a}{z - b} = 1 + \dfrac{b - a}{z - b} = \sqrt[n]{w}$, откуда $z = b + \dfrac{b - a}{\sqrt[n]{w} - 1}$. Вот здесь уже не видно так сразу, где какие области, кроме того, что $z(w)$$n$-листная функция.

В.
Получаем уравнение $z^2 + 1 = 2 z w$, откуда $z^2 - 2 z w + w^2 + 1 - w^2 = 0$, $z = w + \sqrt{w^2 - 1}$. Функция двухлистная с двумя конечными точками ветвления $\pm 1$.

Пишем $w - 1 = r_1 e^{i \varphi_1}$ и $w + 1 = r_2 e^{i \varphi_2}$. Разрезаем плоскость по лучам $(-\infty, -1]$ и $[+1, +\infty)$. Назначаем первому аргументу область изменения $[0, 2 \pi)$, второму $[-\pi, \pi)$. Напишем
$$
\sqrt{w^2 - 1} = \sqrt{r_1 r_2} \exp i \cdot \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2}.
$$

На первом листе верхний берег правого разреза $\varphi_1 = 0$, $\varphi_2 = 0$, нижний $\varphi_1 = 2 \pi$, $\varphi_2 = 0$.
Верхний берег левого разреза $\varphi_1 = \pi$, $\varphi_2 = \pi$, нижний берег $\varphi_1 = \pi$, $\varphi_2 = -\pi$.

Приклеиваем второй лист с такими же разрезами, назначая область изменения аргументов $\varphi_1 \in [0, 2 \pi)$, $\varphi_2 \in [\pi, 3 \pi)$.
Верхний берег левого разреза $\varphi_1 = \pi$, $\varphi_2 = 3\pi$, нижний берег $\varphi_1 = \pi$, $\varphi_2 = \pi$.
Верхний берег правого разреза $\varphi_1 = 0$, $\varphi_2 = 2\pi$, нижний берег $\varphi_1 = 2\pi$, $\varphi_2 = 2\pi$.

Получается следующее для аргументов корня:
$$\begin{align*}
\text{Лист 1}\\
\begin{vmatrix}
\pi & 0 \\
0 & \pi
\end{vmatrix} 
\\
\text{Лист 2}\\
\begin{vmatrix}
2\pi & \pi \\
\pi & 2\pi
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
0 & \pi \\
\pi & 0
\end{vmatrix}
\end{align*}$$
Склеиваем берега соответствующих сторон верхний с нижним и получаем риманову поверхность $\sqrt{w^2 - 1}$. Функция $w$ однолистная, поэтому структура римановой поверхности от прибавления её не поменяется.

Прошу проверить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group