Многолистные функции, римановы поверхности

[StaticZero]

Цитата:

Задача 1. Выяснить, при каких значениях $z$ значения $w(z)$ на всех листах её римановой поверхности над плоскостью $z$ одинаковы, если:
A. $w = (z^2 - 9) \sqrt z.$
Б. $w = \sin z + (z^2 + 4) \operatorname{Ln} z.$
В. $w = \sin z + (z^2 + 4)^2 \operatorname{Ln} z.$

А.
Риманова поверхность функции $w$ строится следующим образом: в $\mathbb C$ делается разрез по отрицательному действительному лучу так, что верхнему берегу разреза назначается аргумент $\pi$, нижнему $-\pi$. Берётся второй экземпляр $\mathbb C$ с таким же разрезом, но на верхнем берегу аргумент будет $3 \pi$, на нижнем $\pi$ и листы $\mathbb C$ склеиваются.

На первом листе

$$ w(z) = (z^2 - 9) \sqrt{|z|} \exp \left( \dfrac{i \varphi}{2} \right), \varphi \in [-\pi, \pi) \ \text{(главная ветвь аргумента)} $$

и таким образом аргумент $w$ лежит в $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$. На втором листе

$$ w(z) = (z^2 - 9) \sqrt{|z|} \exp \left( \dfrac{i \varphi}{2} \right), \varphi \in [\pi, 3\pi) $$

и таким образом аргумент $w$ лежит в $\left[\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2}\right)$, здесь $\varphi$ — соответствующие однозначные ветви $\operatorname{Arg} z$.

Судя по формулировке, я должен найти такие точки $z$ со, скажем, первого листа, что $w(z) = w(z')$, где $z'$ — точка второго листа, расположенная точно над $z$ (то есть к аргументу добавляем $2 \pi$). Очевидно, что $\sqrt{z'} = - \sqrt z$. Значит, тогда нужно $z^2 - 9 = -((z')^2 - 9)$, чтобы минусы уничтожились. Стало быть, такие точки — решения уравнения $z^2 - 9 = 0$, $z_1 = 3$, $z_2 = -3$.

Проверьте, пожалуйста, рассуждение. Остальные два с учетом замечаний сделаю.

[Markiyan Hirnyk]

Ваши рассуждения частично правильны. В пункте А это точки ветвления функции $\sqrt z$. В пунктах А и Б - рещения уравнения $\sin(z_1)+(z_1^2+4)\operatorname{Ln}(z_1)=\sin(z_2)+(z_2^2+4)\operatorname{Ln}(z_2)$ и аналогичного уравнения в Б. Уравнения трансцендентны и решаются только численными методами. Ответ - логарифмические точки ветвления функции $\operatorname{Ln}(z)$.

[DeBill]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1282233 писал(а):

рещения уравнения $\sin(z_1)+(z_1^2+4)\operatorname{Ln}(z_1)=\sin(z_2)+(z_2^2+4)\operatorname{Ln}(z_2)$ и

Вот только Вы забыли добавить здесь, что эти две точки - это одна и та же точка....
И тогда уравнения вполне себе решаются....
Кажется, произошла путаница в понятиях "инъективность" и "однолистность (в точке?)".
И ответ, конечно, не такой...

[Lia]

Уважаемые участники, ТС еще не решал 2 и 3 задачи и хотел это сделать сам. Оставьте ему такой шанс, пожалуйста.

[Markiyan Hirnyk]

DeBill

Цитата:

Вот только Вы забыли добавить здесь, что эти две точки - это одна и та же точка....
И тогда уравнения вполне себе решаются....
Кажется, произошла путаница в понятиях "инъективность" и "однолистность (в точке?)".
И ответ, конечно, не такой...

Насколько я помню, функция $\operatorname{Ln}(z)$ имеет две точки ветвления $z=0$ и $z=\infty$ над $\overline{\mathbb{C}} $.

[Lia]

Markiyan Hirnyk
Это все помнят. Речь шла не об этом, а о процитированном уравнении.
StaticZero
Мне кажется, или Вы $z=0$ забыли? А так вроде все честно, хоть и немножко длинно, но это не беда.

Я бы так рассуждала. На одном листе над точкой $z$ лежит $\sqrt z$, который при обходе точки ветвления переходит в $- \sqrt z$ над той же точкой, но уже на другом листе. Значит, должны совпасть $(z^2-9)\sqrt z= -(z^2-9)\sqrt z$. Решаем, получаем три точки.

Но если пока еще нужно тщательно по каким-то причинам (например, для себя), вычислять, почему "$\sqrt z$ при обходе точки ветвления переходит в $- \sqrt z$", то конечно, лучше вычислить.

Ну и с логарифмами так же.

[Markiyan Hirnyk]

Уточнение:
мое предположение

Цитата:

Ответ - логарифмические точки ветвления функции $\operatorname{Ln}(z)$ 

неверно. Приношу извинения.

[StaticZero]

Lia в сообщении #1282247 писал(а):

Мне кажется, или Вы $z=0$ забыли? А так вроде все честно, хоть и немножко длинно, но это не беда.

А, да. Ноль с любого листа пойдёт.

Б.
Мы рассматриваем бесконечнолистную риманову поверхность $\operatorname{Ln} z$, образованную склейкой листа $n$ с пределами изменения аргумента $\left[\pi (n - 1), \pi (n + 1) \right)$ с разрезом по отрицательному действительному лучу и такого же листа $n+1$ с пределами изменения аргумента $\left[\pi (n + 1), \pi (n + 3) \right)$, где верхний берег младшего листа склеивается с нижним старшего.

Рассмотрим точки $z$ и $z'$ друг под другом на расстоянии $n$ листов друг от друга. В таком случае $\operatorname{Ln} z' = \operatorname{Ln} z + 2 i \pi n$, $\sin z' = \sin z$ в силу однолистности, $z^2 = (z')^2$ по той же причине и получаем

$$ w(z') - w(z) = (z^2 + 4) \cdot 2 i \pi n. $$

Ответ: $z \in \lbrace -2i, 2i \rbrace$.

В.
То же рассуждение, решать будем уравнение $(z^2 + 4)^2 = 0$. Корни те же, но двукратные. Ответ: $z \in \lbrace -2i, 2i \rbrace$.

Ноль не включается ввиду того, что $w(0)$ не определено.

[StaticZero]

Цитата:

Задача 2. Исследовать отображения, построить римановы поверхности $R$ над плоскостью $w$ и разбить $z$-плоскость на области, соответствующие листам или полулистам $R$.
А. $w = \left(1 + \dfrac{z}{n}\right)^n,$ исследовать случай $n \to \infty$
Б. $w = \left(\dfrac{z - a}{z - b}\right)^n,$
В. $w = \dfrac{1}{2} \left( z + \dfrac{1}{z} \right),$
Г. $w = \dfrac{z}{(1 - z)^2},$
Д. $w = \dfrac{1}{2} \left(z^n + \dfrac{1}{z^n} \right),$
Е. $w = \dfrac{z}{(1 + z^n)^2},$
Ж. $w = z - \dfrac{z^n}{n},$
З. $w = \dfrac{1}{z} + \dfrac{z^n}{n},$
И. $w = 2^{1 - n} \cos(n \arccos z), \quad n \geqslant 1.$

Здесь просят уже римановы поверхности строить над $w$, то есть это римановы поверхности обратной функции $z = z^{-1}(w)$, как я понимаю. (Что такое полулист?)

А.
$z = n\left(\sqrt[n]{w} - 1 \right)$, функция $n$-листная. Возьмём один лист с разрезом по отрицательной полуоси, на котором аргумент лежит в $[\pi (2k - 1), \pi (2k+1))$ ($k$-лист). На плоскости $z$ этот лист превращается в сектор $\left[ \pi \dfrac{2k - 1}{n}, \pi \dfrac{2k + 1}{n}\right)$, $k = 0, \ldots, n - 1$, при отображении $\sqrt[n]{w}$. Дальше точки сдвигаются на единицу влево и расстояние до них потом растягивается в $n$ раз. Это растяжение не влияет на угол раствора сектора, сдвиг тоже, поэтому на плоскость $z$ каждый лист отображается в сектор, центр всех секторов лежит в точке $z = -n$. При $n \to \infty$ понятно, что $w = e^z$, но увидеть структуру $w$ и $z$-плоскостей при $z = \operatorname{Ln} w$ из прямого рассуждения выше не получается (точнее, ожидать полосы можно, поскольку центр сектора уехал в бесконечность по действительной оси, но куда переходят внутренности секторов не понятно).

Б.
Имеем $\dfrac{z - a}{z - b} = 1 + \dfrac{b - a}{z - b} = \sqrt[n]{w}$, откуда $z = b + \dfrac{b - a}{\sqrt[n]{w} - 1}$. Вот здесь уже не видно так сразу, где какие области, кроме того, что $z(w)$ — $n$-листная функция.

В.
Получаем уравнение $z^2 + 1 = 2 z w$, откуда $z^2 - 2 z w + w^2 + 1 - w^2 = 0$, $z = w + \sqrt{w^2 - 1}$. Функция двухлистная с двумя конечными точками ветвления $\pm 1$.

Пишем $w - 1 = r_1 e^{i \varphi_1}$ и $w + 1 = r_2 e^{i \varphi_2}$. Разрезаем плоскость по лучам $(-\infty, -1]$ и $[+1, +\infty)$. Назначаем первому аргументу область изменения $[0, 2 \pi)$, второму $[-\pi, \pi)$. Напишем

$$ \sqrt{w^2 - 1} = \sqrt{r_1 r_2} \exp i \cdot \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2}. $$

На первом листе верхний берег правого разреза $\varphi_1 = 0$, $\varphi_2 = 0$, нижний $\varphi_1 = 2 \pi$, $\varphi_2 = 0$.
Верхний берег левого разреза $\varphi_1 = \pi$, $\varphi_2 = \pi$, нижний берег $\varphi_1 = \pi$, $\varphi_2 = -\pi$.

Приклеиваем второй лист с такими же разрезами, назначая область изменения аргументов $\varphi_1 \in [0, 2 \pi)$, $\varphi_2 \in [\pi, 3 \pi)$.
Верхний берег левого разреза $\varphi_1 = \pi$, $\varphi_2 = 3\pi$, нижний берег $\varphi_1 = \pi$, $\varphi_2 = \pi$.
Верхний берег правого разреза $\varphi_1 = 0$, $\varphi_2 = 2\pi$, нижний берег $\varphi_1 = 2\pi$, $\varphi_2 = 2\pi$.

Получается следующее для аргументов корня:

$$\begin{align*} \text{Лист 1}\\ \begin{vmatrix} \pi & 0 \\ 0 & \pi \end{vmatrix} \\ \text{Лист 2}\\ \begin{vmatrix} 2\pi & \pi \\ \pi & 2\pi \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & \pi \\ \pi & 0 \end{vmatrix} \end{align*}$$

Склеиваем берега соответствующих сторон верхний с нижним и получаем риманову поверхность $\sqrt{w^2 - 1}$. Функция $w$ однолистная, поэтому структура римановой поверхности от прибавления её не поменяется.

Прошу проверить.