Планиметрия, циркуль и линейка, вписанная-описан. трапеция

[nds]

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1278360 писал(а):

Это не убедительно, Вы должны понимать. Ставлю 3 очка репутации, что Вы ошиблись.

Конечно я ошибся. Я написал, что сравнивал углы, а длина хорды определяется синусом половины центрального угла.

[vpb]

ctdr в сообщении #1278136 писал(а):

Напишу сюда, корни уравнения из 2-го поста, может кому поможет

Нет, явный вид в данном случае не помогает решить, выражается ли эта величина через квадратные корни.

ctdr в сообщении #1278136 писал(а):

А с Галуа... :) Я лучше помолчу

Я, скажем, кусочек из теории Галуа узнал, когда мне было 15, еще кусочек --- в 23, еще один --- уже за 40... Постепенно, помаленьку... Дело наживное, у Вас еще все впереди, даст бог!

[fred1996]

vpb

(Оффтоп)

Наверное задача достаточно пограничная.
Ну а насчет олимпиадности - по-моему там не обязательно иметь решение задачи. Можно например, придумать свою задачу без конкретного решения, где есть только наметки.
Я поперву такие задачи тоже засовывал в физическом разделе в ПРР(Ф), но модераторы сразу переносили их в Олимпиадный раздел. С чем я в общем-то согласен. И эта задачка тоже на мой взгляд из таких. Так что ей здесь, на мой взгляд, самое место.

[mihiv]

При $a=\frac 1{\sqrt 2}$ трапеция превращается в квадрат , так что в этом случае построить можно.

[mihiv]

DeBill отметил, что при $a=\frac {\sqrt 3}2$ задача сводится к решению уравнения:

$$z^4+12z^2-12z-9=0\eqno (1)$$

где $z=\sqrt {1-x^2}+\sqrt {1-a^2}.$
Покажем , что корни уравнения (1) нельзя построить. Доказываем аналогично тому, как это сделано в книге Р. Курант, Г. Роббинс "Что такое математика?" Гл.3, §3. Сначала убеждаемся, что уравнение (1) не имеет рациональных корней. Затем предположим, что корень построить можно. Тогда этот корень должен принадлежать некоторому полю $F_k$, полученному из поля $F_0$ рациональных чисел последовательным присоединением квадратных корней. То есть корень имеет вид $z_1=p+q\sqrt w$, где $p,q,w$ принадлежат полю $F_{k-1}$, но $\sqrt w$ не принадлежит $F_{k-1}$. Тогда оказывается, что и $z_2=p-q\sqrt w$ является корнем уравнения (1) и принадлежит полю $F_k$. Уравнение (1) имеет два действительных и два комплексно сопряженных корня. Представим многочлен в левой части уравнения (1) в виде произведения двух многочленов второй степени с действительными коэффициентами:

$$z^4+12z^2-12z-9=(z^2+p_1z+q_1)(z^2+p_2z+q_2)$$

Пусть указанные выше $z_1,z_2$ это корни уравнения $z^2+p_1z+q_1=0$.Для коэффициентов получим систему уравнений:

$$p_1+p_2=0, p_1p_2+q_1+q_2=12, p_1q_2+p_2q_1=-12, q_1q_2=-9\eqno (2)$$

Из системы (2) получим:

$$p_1^6+24p_1^4+180p_1^2-144=0\eqno (3)$$

Обозначим $y=p_1^2$ и получим:

$$y^3+24y^2+180y-144=0\eqno (4)$$

Кубическое уравнение (4) не имеет рациональных корней, следовательно, согласно Р. Курант, Г. Роббинс его корни, а с ними и корни уравнения (3) не могут быть построены. Но $p_1=-(z_1+z_2)$ и может быть построено по предположению. Противоречие.

[ctdr]

Спасибо! Можно ещё вопрос: как можно догадаться рассмотреть многочлен от суммы "парных" корней исходного (не зная Вашего решения)?

[mihiv]

ctdr
Не совсем понятен вопрос. Уравнение (3) можно в любом случае получить методом неопределенных коэффициентов. А что с ним делать дальше?

[ctdr]

mihiv
Я читаю Ваше решение, и думаю... а смог бы я до такого догадаться? Книжку Куранта-Роббинса я не знал, но предположим, что ту теорему о кубических уравнениях я знаю, ок. Ну может и попробовал бы я написать то разложение, которое между (1) и (2). А как дальше быть - я бы вот не догадался бы. Поэтому вопрос -- как догадаться до рассмотрения многочлена от $p_1$?

Я что-то такое у Кострикина видел, он рассматривает числа вида $u_i u_j+a(u_i+u_j)$ (Введение в алгебру, том 1, гл. 6, пар. 3, пункт 3, другое доказательство основной теоремы алгебры, формула (2)). Ещё более хитрая конструкция, но тоже есть сумма корней (всех пар). Так что может это у Вас опыт уже наработался, интуиция, от знаний алгебры?

А по выкладкам -- получению уравнения (3) -- вопросов нет. Как и по применению к нему теоремы из Куранта-Роббинса.

[grizzly]

Хорошая задача получилась. Помню, что сразу интуиция меня обманула -- казалось, решение должно быть и даже не сложнее, чем в той задаче, с которой развилась эта тема. Но DeBill мою интуицию быстро подлечил :)
И хорошо, что mihiv надёжно закрыл вопрос.