2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Планиметрия, циркуль и линейка, вписанная-описан. трапеция
Сообщение22.12.2017, 16:03 
Аватара пользователя


10/11/17
61
Даны окружность и на ней 2 точки A, B. Построить на окружности правильную трапецию (CD $\parallel$ AB), в которую можно вписать окружность. (по мотивам соседней темы topic123616.html).
Изображение

Я решил громоздко, "алгебраически". Обозначим верхнее основание $2a$, нижнее $2x$. Получим в итоге условие описанности в виде $\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-x^2}=2\sqrt{ax}$. Дальше строим параболу, и берём её точку пересечения с окружностью.

Господа Умные, укажите пожалуйста на простое и красивое решение. Думал, ничего не придумал. (задача - из любопытства; долго над ней думать не нужно; нет - так нет)

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, циркуль и линейка, вписанная-описан. трапеция
Сообщение22.12.2017, 17:34 
Заслуженный участник


10/01/16
1896
ctdr в сообщении #1277640 писал(а):
Я решил громоздко,

Вообще то, решения пока нет, потому что
ctdr в сообщении #1277640 писал(а):
Дальше строим параболу

парабола циркулем и линейкой не строится.
Уравнение правильное, но, боюсь, решение его не удастся получить в "квадратичных" радикалах - а, значит, циркулем и линейкой оно в принципе не строится....

-- 22.12.2017, 19:54 --

Например, для $a=\frac{\sqrt{3}}{2}$, Ваше уравнение приводит к уравнению
$z^4+12z^2-12z-9=0$ относительно переменной $z=\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-a^2}$. Это уравнение можно явно решить - по Феррари, или там, Кардано. И, (не проверял), скорее всего, кубические радикалы в ответе будут...

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, циркуль и линейка, вписанная-описан. трапеция
Сообщение22.12.2017, 19:16 
Аватара пользователя


10/11/17
61
Спасибо!

DeBill в сообщении #1277667 писал(а):
парабола циркулем и линейкой не строится.
Это я не подумал, просто тут есть кнопочка такая - коника по 5-и точкам :) Тогда да, решения нет.

Можно придумать/увидеть некий вспомогательный объект (нетривиальный, который поначалу кажется, сбоку-припёку), который очень удачно расщепит задачу. И либо начинать построение с этого объекта (и оно в итоге получится), либо ввести какой-нибудь удачный параметр на основе этого объекта, относительно которого сильно упростятся уравнения. Я думал, может и здесь такое возможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, циркуль и линейка, вписанная-описан. трапеция
Сообщение22.12.2017, 19:17 
Заслуженный участник


18/01/15
1172
А вот у меня такое соображение. Пусть $a$ --- "свободная переменная" (трансцендентный над $\mathbb Q$ элемент), и рассмотрим минимальное расширение полей $E\supset {\mathbb Q}$, которое содержит $a$ и замкнуто относительно взятия квадратных корней. Тогда $E$ --- это в точности множество всех отрезков, которые можно построить, если дан единичный отрезок и отрезок длины $a$. Теперь рассмотрим величины $u=\sqrt{1-x^2}$ и $v=\sqrt{x}$. Они, во-первых, связаны линейным условием, коэффициенты которого лежат в $E$ (это и есть само уравнение). Во-вторых, удовлетворяют соотношению $u^2+v^2=1$. Значит, каждая из них удовлетворяет квадратному уравнению над $E$, а потому и лежит в $E$, т.е. построима. Значит и $x$ тоже построимо.

А насчет изящного элементарного решения ... в общем, в школьной планиметрии я не силен.

Я, правда, не уверен, что ctdr быстро поймет вышенаписанное, но в общем ничего сложного там нет, теория геометрических построений --- это такая классическая вещь, по которой есть много популярной литературы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, циркуль и линейка, вписанная-описан. трапеция
Сообщение22.12.2017, 19:56 


05/09/16
6011
Кстати, для любой пары точек можно построить существуют две искомых трапеции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, циркуль и линейка, вписанная-описан. трапеция
Сообщение22.12.2017, 19:57 
Заслуженный участник


10/01/16
1896
vpb в сообщении #1277705 писал(а):
удовлетворяют соотношению $u^2+v^2=1$.

$u^2 +v^4=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, циркуль и линейка, вписанная-описан. трапеция
Сообщение22.12.2017, 20:03 
Заслуженный участник


18/01/15
1172
Да, в самом деле, небольшой заскок! Я неправ! (Как это я так ?! ...) Бывают ошибки на пустом месте...

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, циркуль и линейка, вписанная-описан. трапеция
Сообщение22.12.2017, 22:38 


21/12/17
18
Задача элементарно решается как частный случай задачи Аполлония.

1. Из точек А и В строите ортогональные прямые.
2. Строим 2 окружности с центрами в т. А и т. В, радиусом АВ.
4. Вписываем окружности которые касаются окружности из п (2) и прямой из п. (1), при этом центр окружности находится на заданной окружности.

С ходу построить можно используя инверсию. Доступ к моему чертежному приложению я буду иметь в следующий вторник, но используя инверсию вы самостоятельно построите как нефиг делать.

(Оффтоп)

Если что необязательно строить одновременно две окружности. Сначала строите 1... Потом вторую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, циркуль и линейка, вписанная-описан. трапеция
Сообщение22.12.2017, 23:06 


05/09/16
6011
Race
Понять можно только пункт 2 :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, циркуль и линейка, вписанная-описан. трапеция
Сообщение22.12.2017, 23:19 


21/12/17
18
Упс, приношу извинения... В построенном четырехугольнике не выполняется равенство противоположных сторон. :oops:
Рассмотрим равенство противоположных сторон:
1. $BC=DA=x$
2. $2x=BC+DA=AB+CD \implies CD=2x-AB$
3. $DC/2=x-АВ/2$

Значит, если я снова не ошибаюсь то построение нашей трапеции будет выглядеть таким образом
1. Строим отрогональнве прямые через точки $A$ и $B$, относительно прямой $AB$.
2. Из точек $A$ и $B$ строим две окружности радиусом $AB$.
4. Вписываем 2 окружности таким образом чтобы они касались окружностей из п. (2) и прямых из пункта (1) (соответственно для каждой точки и прямой таких окружностей будет 2, необходимо выбрать подходящую, а именно для прямой $A$, окружность будет косаться прямой ортогональной $B$ и наоборот).

Так должно быть правильно.
Еще раз извиняюсь за невнимательность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, циркуль и линейка, вписанная-описан. трапеция
Сообщение23.12.2017, 00:02 
Аватара пользователя


10/11/17
61
Как мне кажется, ответ DeBill означает, что если в каком-нибудь алгебраическом решении (при какой-либо параметризации задачи) мы встретили кубические корни - то с циркулем-линейкой построить невозможно. Я правильно понял?

Race
Если Вас не затруднит, не могли бы Вы кратко описать идеи (а не шаги построений)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, циркуль и линейка, вписанная-описан. трапеция
Сообщение23.12.2017, 00:47 
Модератор


13/07/17
112
 !  Race, замечание за неоформление формул в TeX и использование русского алфавита под видом английского. На первый раз исправил сам. Просьба также не пытаться полностью решать задачу за ТС.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, циркуль и линейка, вписанная-описан. трапеция
Сообщение23.12.2017, 00:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6104
Race в сообщении #1277824 писал(а):
1. Строим отрогональнве прямые через точки А и В, относительно прямой АВ.
Назовём их прямыми $m_1$ и $m_2$, соответственно.
Race в сообщении #1277824 писал(а):
2. Из точек А и В строим две окружности радиусом АВ.
Назовём их окружностями $O_1$ и $O_2$, соответственно.
Race в сообщении #1277824 писал(а):
4. Вписываем 2 окружности таким образом чтобы они касались окружностей из п. (2) и прямых из пункта (1) (соответственно для каждой точки и прямой таких окружностей будет 2, необходимо выбрать подходящую, а именно для прямой А, окружность будет косаться прямой ортогональной В и наоборот).
А теперь скажите, пожалуйста, аккуратнее, что чего касается в введённых обозначениях. (Можете ссылаться для определённости на чертёж в начале темы.)

И проверьте, пожалуйста, не пропустили ли Вы п.п.3 и 5.

PS. Но ничего страшного, если это потерпит и до вторника (на случай, если словами объяснять сложно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, циркуль и линейка, вписанная-описан. трапеция
Сообщение23.12.2017, 01:21 


05/09/16
6011
Race в сообщении #1277807 писал(а):
Доступ к моему чертежному приложению я буду иметь в следующий вторник

К вашим услугам geogebra.org к которой у вас есть доступ каждый раз когда есть браузер и доступ в Интернет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, циркуль и линейка, вписанная-описан. трапеция
Сообщение23.12.2017, 10:40 


21/12/17
18
Modest,
приношу извинения, постараюсь впредь не нарушать.

ctdr,
ок, изложу идеи.
1. Условием возможности описать четырехугольник вокруг окружности будет равенство суммы его противоположных сторон. В данном случае нам известно одно из оснований трапеции: $AB$, так как трапеция равнобокая то боковые стороны равны между собой, пусть $BC=DA=x$, нам остается вычислить величину второго основания: $CD=2x-AB \Rightarrow \frac{CD}{2}=x-\frac{AB}{2}$.
2. В трапеции основания параллельны между собой, а так же перпендикулярны высотам.

Построим половину нашей трапеции, из точки $B$ построим прямую $b$ перпендикулярную $AB$,
Теперь если мы впишем окружность $ w_1$ таким образом что она пройдет через точку $A$ и коснется прямой $b$, а при этом центр окружности $ w_1$ будет принадлежать заданной окружности, мы получим половину искомой трапеции соединим точку касания $E$ окружности $ w_1$ с ее центром в точке $D$, найдя вторую точку пересечения прямой $DE$ заданной окружности мы определим последнюю точку четырехугольника $C$.

3. Проверим, имеем четырехугольник, в котором 2 стороны параллельны между собой, а вторые равны.
Условием вписания окружности в него будет:
$2x=AB+2(x-\frac{AB}{2})=2x$

wrest,
есть у меня и геогебра, но к сожалению нормально оформлять в ней чертежи не выходит... За много лет к автокаду привык.

Вписать окружность $ w_1$ можно как используя гомотетию (громоздко):

(Оффтоп)

неработает мой способ
либо используя инверсию.
Вторую окружность можно не вписывать, 4 точку четырехугольника мы получим автоматически.


(Оффтоп)

Следует заметить что для каждого выбранного отрезка $AB$ в заданную окружность возможно вписать 2 трапеции удовлетворяющих условию.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 69 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group