Падающая пружина, если кому интересно...

[miflin]

Вот gif-ка с интересной демонстрацией.
Здесь - решение.
Интересует корректность решения.
Самому оценить слабО - давненько (более 40 лет) не брал я в руки шашек
аналитическую механику. Некоторые очевидные следствия из решения получаются -
неподвижность нижнего конца пружины и движение ц.м. с ускорением $g$.
Т.е. автор решал задачу вроде по-честному.
Может кто-то прокомментирует решение. Ну, если кому интересно.

[realeugene]

Думаю, это решение некорректно. На гифке видно, что не только нижний конец пружины остаётся неподвижным, но и все остальные части пружины остаются неподвижными до того момента, пока к ним не долетит верхний край пружины (почти не долетит). Верхние витки при этом схлопываются и далее не распрямляются, при этом, при схлопывании должна диссипировать энергия. То есть, лагнранжианом такую систему не описать.

Мне кажется, всё гораздо проще. Смещение витков такой пружины от состояния равновесия в растянутом состоянии описывается волновым уравнением. Соответственно, существует конечная (и для такой пружины небольшая) скорость распространения волны смещения витков. После отпускания верхнего конца витки остаются неподвижными пока к ним не добежит эта волна (так как действующие на них силы исходно уравновешены). Но очень быстро скорость падающих вниз верхних витков пружины превышает эту небольшую скорость распространения волны вдоль пружины, т. е. падение схлопнувшихся верхних витков становится в этой пружине сверхзвуковым. Соответственно, нижние витки ничего и не чувствуют пока до них не долетает ударная волна.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1282371 писал(а):

Но очень быстро скорость падающих вниз верхних витков пружины превышает эту небольшую скорость распространения волны вдоль пружины, т. е. падение схлопнувшихся верхних витков становится в этой пружине сверхзвуковым. Соответственно, нижние витки ничего и не чувствуют пока до них не долетает ударная волна.

Ага, очень похоже, что жесткость пружины на картинке очень маленькая.

[realeugene]

DimaM в сообщении #1282401 писал(а):

Ага, очень похоже, что жесткость пружины на картинке очень маленькая.

На самом деле, нужно ещё доказать, что верхняя часть пружины обгонит волну, так как при растяжении пружины уменьшается погонная масса растянутой пружины и возрастает скорость звука, а слабая пружина растягивается сильно. Линейное волновое уравнение тут не очень применимо, так как удлинения большие. Аккуратное исследование динамики такой пружины может оказаться интересной студенческой задачей. Но качественно, судя по гифке, это правдоподобное предположение.

[wrest]

realeugene в сообщении #1282422 писал(а):

Аккуратное исследование динамики такой пружины может оказаться интересной студенческой задачей.

Да, было бы интересно почитать про то как могут вести себя такие пружины когда их держат за верхний конец а потом отпускают, и отчего это зависит.

[wrest]

realeugene в сообщении #1282371 писал(а):

На гифке видно, что не только нижний конец пружины остаётся неподвижным, но и все остальные части пружины остаются неподвижными до того момента, пока к ним не долетит верхний край пружины (почти не долетит).

Я тут дома провел эксперимент с такой пружиной (у меня пластиковая за 100 рублей).
Ведет себя именно так как на гифке, в точности с процитированным словесным описанием.

[pogulyat_vyshel]

можно попробовать промоделироать цепочкой из $N$ материальных точек, соединенных одинаковыми пружинами. Масса кажой точки $1/N$

[fred1996]

pogulyat_vyshel
Боюсь, что такая модель не сработает. Поскольку каждая пружинка обладает "дальнодействием". Как только смещается какая-то материальная точка, моментально изменяется сила на следующую материальную точку. И та тоже начинает смещаться. То есть в результате все материальные точки начинают двигаться одновременно. Так что еще потребуется предельный переход при N $\to$ $\infty$

[pogulyat_vyshel]

естессна

[AnTi3z]

Пусть у нас вместо пружины просто длинный стержень $l=1000$м. Стержень свободно подвешен в поле тяготения земли за верхний конец. Пусть это будет стержень из стали с продольной скоростью звука в нем $c=5000 $м/с. Отпустив верхний конец стержня, его нижний конец начнет свое движение через $t=\frac{l}{c}=0,2$сек. За это время, верхний конец в свободном падении успеет преодолеть за это время $s=\frac{gt^2}{2}=0,2$м.
Т.е. пока нижний конец стержня остается неподвижным, верхний конец стержня пролетает $20$см и длина стержня сокращается на эти же $20$см. Это верные соображения?

Если предыдущее верно, можно ли утверждать, что при подвесе стержня за один конец он удлинился на $20$см и для вычисления этого нам достаточно было знать только скорость звука в стержне?

[statistonline]

AnTi3z в сообщении #1299840 писал(а):

Это верные соображения?

Наверное, не совсем. Верхний конец будет двигаться ускоренно, но не с ускорением $g$, поскольку Вам придется рассмотреть упругую реакцию нижележащих участков стержня.

[AnTi3z]

statistonline в сообщении #1299848 писал(а):

AnTi3z в сообщении #1299840 писал(а):

Это верные соображения?

Наверное, не совсем. Верхний конец будет двигаться ускоренно, но не с ускорением $g$, поскольку Вам придется рассмотреть упругую реакцию нижележащих участков стержня.

Я исходил из соображения, что скорость звука много больше мгновенной скорости верхнего торца стержня. Т.е. звуковая волна(упругая реакция) убежит мгновенно далеко вниз.
Другой вопрос, что звуковая волна, отразившись от нижнего торца, вернется обратно вверх и ударит уже верхний торец в обратном направлении.

Пересмотрел видео с пружинкой, и обратил внимание, что действительно, в начальный момент ускорение верхней части больше $g$. Т.к. стержень изначально растянут на эти 20см, то нижележащие участки "подтянут" его к себе с дополнительным ускорением. Таким образом, что ускорение ЦМ стержня останется равным $g$.

[wrest]

AnTi3z в сообщении #1299840 писал(а):

что при подвесе стержня за один конец он удлинился на $20$см и для вычисления этого нам достаточно было знать только скорость звука в стержне?

Квадрат скорости звука (продольных волн) в однородных твердых телах равен
$c^2=\dfrac{E}{\rho}\cdot\dfrac{1-\nu}{1-\nu - 2\nu ^2}$ где $\nu$ - коэффициент Пуассона, $E$ - модуль Юнга, $\rho$ удельная плотность (формула взята в Википедии).
Пусть $k=\dfrac{1-\nu}{1-\nu - 2\nu ^2}$ некий коэффициент зависящий от материала, тогда
$c^2=k\dfrac{E}{\rho}$
Удлинение стержня под собственным весом равно
$\Delta l=\dfrac{\rho g l^2}{2E}$ где $l$ длина стержня, $g$ - ускорение свободного падения.
Теперь подставим одно в другое, получаем:
$\Delta l=\dfrac{gl^2}{2kc^2}$
Откуда видим, что удлиннение стержня под собтвенным весом можно выразить через скорость звука в нем и коэффициент Пуассона.
Коэффициенты Пуассона: алюминий $0,34$; медь $0,35$; сталь $0,28$, то есть для "твердых" металлов (мягкие это скажем олово и свинец у которых $\nu=0,44$) вышеуказанный коэффициент $k$ будет в диапазоне $1,3..1,6$
Удлинение, соответственно, будет в $k$ раз отличаться от вашей формулы. Ну скажем для стали $k=1,23$ и удлинение будет $16$ сантиметров а не $20$. Ну, плюс-минус лапоть, вполне себе сходится с вашей формулой.

-- 26.03.2018, 16:03 --

AnTi3z в сообщении #1299851 писал(а):

Пересмотрел видео с пружинкой, и обратил внимание, что действительно, в начальный момент ускорение верхней части больше $g$.

Ну это само собой, поскольку ускорение центра масс пружины, если на неё из внешних сил действует только сила тяжести, равно $g$ вне зависимости от того, как двигаются части пружины друг относительно друга, просто по теореме о движении центра масс.

[Sicker]

Я только одно не пойму, ведь можно исключить гравитацию, перейдя в ускоренную систему отсчета. Как ускорение концов пружины, которое зависит от коэффициента упругости, связано с гравитационной постоянной?

[wrest]

Sicker в сообщении #1299866 писал(а):

Как ускорение концов пружины, которое зависит от коэффициента упругости, связано с гравитационной постоянной?

Так, что пружина свободно падает в поле силы тяжести.