Что такое действие?

[Aleck]

Друзья, помогите разобраться в фундаментальных основах.

Есть такая физическая величина — действие S, которая является мерой движения физической системы. Я никак не могу уловить её физический смысл, т.е. не могу придумать пример, где эту величину можно было бы соотнести с некоей характеристикой или параметром.

S — это скалярная величина. Её размерность — джоуль-секунда. Т.е. работа или энергия — это изменение величины S во времени.

Можете ли вы привести пример простой физической (лучше механической) системы, где можно было бы наглядно показать, что именно является действием? Какой характеристике системы оно соответствует? По требованию модератора дополнительно уточняю: если это возможно, то хочется получить простое объяснение на уровне школьного курса.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- пожалуй, для ответа на вопрос необходимы сведения о Вашем уровне знаний математики и физики, поэтому уточните его (ответы для интересующегося школьника и для студента 4-го курса математического факультета, которому прочитали основы теоретической физики, будут очень сильно различаться).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Munin]

Понятие действия сильно "нешкольное", и надеяться получить объяснение на уровне школьного курса нельзя. Действие приобретает смысл и значение в теоретической механике, а именно в механике Лагранжа и Гамильтона.

Наиболее простое объяснение на уровне школьника, которое я могу вообразить, такое:
1. Нарисуем пространство-время, и в нём проведём линию, по которой движется частица ("мировую линию", траекторию в пространстве-времени).
2. Действие будет подобно оптической длине пути для этой линии.

Также крайне рекомендуется прочитать вот это объяснение от Фейнмана:
Фейнмановские лекции по физике. Выпуск 6. Глава 19. Принцип наименьшего действия.

(это отдельная глава (лекция) по механике, и не важно, что она в книге по электродинамике)

-- 20.09.2017 15:13:17 --

$$\text{Действие}=\int\limits_{t_1}^{t_2} (\text{кин. энергия}-\text{пот. энергия})\,dt$$

$$S=\int\limits_{t_1}^{t_2} (E_\text{к}-E_\text{п})\,dt$$

[Aleck]

Вот прям от души! За Фейнмана ))
Это как раз то, что я искал — доступно, на пальцах, Перельман 2.0
На самом деле мне просто нужно было почитать про механику Лагранжа, и всё стало бы понятно. Но я это узнал только после подсказки )

На уровне интуиции, наконец, понял, что это за величина. Большая часть старых вопросов отпала, но появились немножко новых. Я не рассчитываю, что смогу раскопать всё, что меня интересует, но вдруг кто-то что-то подскажет или поделится мнением — буду в любом случае благодарен )

1. У Фейнмана встречается такой вот абзац:
Кроме того, я должен отметить, что самые дотошные и педантичные люди не называют S действием. Его именуют «первой главной функцией Гамильтона». Но читать лекцию о «принципе наименьшей первой главной функции Гамильтона» было свыше моих сил. Я назвал это «действием». Да к тому же все больше и больше людей называют это «действием». Видите ли, исторически действием было названо нечто другое, не столь полезное для науки, но я думаю, что разумнее изменить определение. Теперь и вы начнете именовать новую функцию действием, а вскоре и все вообще станут называть ее этим простым именем.

Это что получается, такое название характеристике Фейнман придумал? А что же тогда понимали под действием в «принципе наименьшего действия» в новое время?

2. Кроме того, я только после объяснения Фейнмана понял, что речь идет о разности энергий, кинетической и потенциальной. Нигде более на этом факте внимание не заостряется, и объясняется в явном виде только, опять-таки, в механике Лагранжа. В других источниках говорится просто об энергии или энергопотоках (т.е., как я сейчас понимаю, о преобразованиях энергии из кинетической в потенциальную и наоборот). Я-то ошибочно предполагал, что речь идет о какой-то конкретной энергии или о полной энергии.

Возникает вопрос, а почему минимизируется именно разность кинетической и потенциальной энергий? Это просто постулат такой (ну вот типа есть такое свойство нашего мира и всё тут)? Или в этом есть какая-то логика, какой-то смысл? Т.е. можно ли это из чего-то вывести или додуматься до этого априорно? Впрочем, это вопрос больше философский и онтологический.

3. Вопрос скорее относится именно к лагранжевой механике. Фейнман упоминал, что наименьшее действие достигается не обязательно в минимуме:
Под «минимумом» мы на самом деле подразумеваем, что в первом порядке малости изменения величины S при отклонениях от пути должны быть равны нулю. И это не обязательно «минимум». В википедии говорится, что система движется по траектории, которая соответствует минимальному действию (хотя бы в некоторой малой окрестности множества возможных траекторий) и Нужно соблюдать осторожность и помнить, что из равенства нулю первой вариации действия следует лишь его стационарность, но не минимальность действия.

Если для наглядности представить искомую траекторию, как точку на условной функции, то чему соответствует реальная траектория? Минимуму или стационарному участку такой функции?

[Munin]

Aleck в сообщении #1249687 писал(а):

Это что получается, такое название характеристике Фейнман придумал? А что же тогда понимали под действием в «принципе наименьшего действия» в новое время?

Нет, не Фейнман. Просто есть несколько разных версий, что называть "действием", и что - "принципом наименьшего действия". В механике 18-19 века они конкурировали на равных, и поэтому надо было уточнять. Но в 20 веке, начиная с теорий относительности, а потом и в связи с квантовой теорией поля, одна версия стала наиболее популярной, а остальные забылись. Именно про это и говорит Фейнман. Он участвовал в таком распространении термина, но не он один: ещё до него это делали другие физики.

См.
Ландау, Лифшиц. Механика.
Маркеев. Теоретическая механика.

Aleck в сообщении #1249687 писал(а):

Возникает вопрос, а почему минимизируется именно разность кинетической и потенциальной энергий? Это просто постулат такой (ну вот типа есть такое свойство нашего мира и всё тут)? Или в этом есть какая-то логика, какой-то смысл? Т.е. можно ли это из чего-то вывести или додуматься до этого априорно? Впрочем, это вопрос больше философский и онтологический.

1. Вы можете относиться к этому как к постулату. Это лучше всего, пока вы изучаете механику. Сначала надо привыкнуть и научиться работать с этой величиной. (Кстати, минимизируется не разность, а интеграл. Это важно.)

2. Логика и смысл тут есть, и Фейнман их рассказывает (на примере свободного падения).

3. Конечно, это вывели и додумались. Исторически это результат длинного пути, на котором теория строилась постепенно. Здесь стоит упомянуть Ферма и Мопертюи. Ферма ввёл аналогичный принцип в геометрическую оптику - принцип Ферма, или принцип наименьшего пути. А Мопертюи построил механический принцип, более слабый, чем тот, который изложен у Фейнмана (и Ландау-Лифшица). Но от него уже можно было найти более полную форму.

Aleck в сообщении #1249687 писал(а):

Если для наглядности представить искомую траекторию, как точку на условной функции, то чему соответствует реальная траектория? Минимуму или стационарному участку такой функции?

Вообще говоря, стационарной точке. Не надо доверять Википедии, это часто недостаточно выверенный источник.

Нюанс в том, что если берётся достаточно короткий интервал времени $t_2-t_1,$ то стационарная точка всегда будет минимумом. Однако если брать более длинные интервалы, то это может нарушиться.

[Aleck]

Munin в сообщении #1249738 писал(а):

1. Вы можете относиться к этому как к постулату. Это лучше всего, пока вы изучаете механику. Сначала надо привыкнуть и научиться работать с этой величиной. (Кстати, минимизируется не разность, а интеграл. Это важно.)

Ну да, разумеется интеграл по времени. Я полагал в контексте обсуждения это само собой разумеется. Кстати, раз уж об этом зашла речь, могу я уточнить один момент? К сожалению мое владение дифференциальным и вариационным исчислением не позволяет мне проверить это самостоятельно )

Как мы уже разобрались, действие можно выразить, как произведение энергии на время и вывести законы классической механики, описывающие движение материальной точки, исходя из минимизации этого интеграла по времени. Но действие также можно выразить, как произведение импульса на пройденное расстояние. Справедливо ли будет сказать, что законы движения можно также выразить, исходя из минимизации интеграла произведения импульса на расстояние, интегрируя его по расстоянию?

Munin в сообщении #1249738 писал(а):

2. Логика и смысл тут есть, и Фейнман их рассказывает (на примере свободного падения).

Вероятно вы имеете в виду вот этот кусок?
«Предмет же, подброшенный в поле тяжести вверх, сперва поднимается быстро, а потом все медленнее. Происходит это потому, что он обладает и потенциальной энергией, а наименьшего значения должна достигать разность между кинетической и потенциальной энергиями.
Раз потенциальная энергия возрастает по мере подъема, то меньшая разность получится, если как можно быстрее достичь тех высот, где потенциальная энергия велика. Тогда, вычтя из кинетической энергии этот высокий потенциал, мы добьемся уменьшения среднего. Так что выгоднее такой путь, который идет вверх и поставляет добрый отрицательный кусок за счет потенциальной энергии.»

Если это так, то в своем вопросе я имел в виду нечто другое. В вышеприведенной цитате Фейнман лишь иллюстрирует справедливость описанного принципа, но это никак не раскрывает почему таким интересным свойством обладает именно разность кинетической и потенциальной энергии, а, скажем, не сумма, или произведение или еще что-то. Получается разность энергий отражает какое-то фундаментальное свойство движения вообще? Для меня это совершенно неинтуитивный момент. Поэтому и возник вопрос, следует ли это из каких-то априорных рассуждений, или это, как и большинство физических законов, просто математическая форма для описания обнаруженных закономерностей?

Если можно раскрою вопрос чуть глубже. Допустим я хочу описать колебания груза на эластичном подвесе. Возникает как минимум два вопроса:
1. Можно ли вообще применять принцип наименьшего действия для описания такой системы?
2. Если да, то что из чего вычитать в подынтегральном выражении? Суммарную потенциальную энергию эластичного подвеса и гравитационного поля из кинетической энергии движения? Или как? Чем это определяется вообще?

[Ms-dos4]

Aleck
1)Кто вам сказал, что действие можно выразить как произведение импульса на расстояние? Если вы про укороченное действие

$$\[\tilde S = \int {\sum\limits_k {{p_k}d{q_k}} } \]$$

так это немного другое. В частности, для стандартного лагранжиана $\[L = \frac{1}{2}\sum\limits_k {{a_{ik}}(q){{\dot q}_i}{{\dot q}_k}} - U(q)\]$ вы получите укороченное действие в виде

$$\[\tilde S = \int {\sqrt {2(E - U)\sum\limits_{i,k} {{a_{ik}}d{q_i}d{q_k}} } } \]$$

В таком виде вы можете находить траектории (принцип Мопертюи) без "временных" зависимостей.
2)Проще вам пока что принять это как постулат. Уравнения Ньютона тоже ниоткуда не следуют, кроме экспериментальных фактов.
3)По поводу груза на эластичной нити. Да, конечно он применим. Вам нужно найти потенциальную и кинетическую энергию системы при выводе её из состояния равновесия (там её положите равной нулю). Характеристики колебательной системы - угол отклонения $\[\varphi \]$ и удлинение $\[x\]$ и пусть в состоянии равновесия угол отклонения равен нулю и длина подвеса есть $\[l\]$. Тогда кинетическая энергия (разделяем её на тангенциальную и радиальную части)

$$\[K = \frac{1}{2}m{{\dot x}^2} + \frac{1}{2}m{(l + x)^2}{{\dot \varphi }^2}\]$$

а потенциальная энергия (тут несложная геометрия и закон Гука)

$$\[U = \frac{1}{2}k{x^2} - mg(l + x)\cos \varphi \]$$

Вам осталось записать уравнения Эйлера-Лагранжа и получить уравнения движения

[amon]

Aleck в сообщении #1250716 писал(а):

почему таким интересным свойством обладает именно разность кинетической и потенциальной энергии, а, скажем, не сумма, или произведение или еще что-то. Получается разность энергий отражает какое-то фундаментальное свойство движения вообще?

Пока Ваш собеседник вынужденно отдыхает, я могу попробовать что-нибудь объяснить со своей колокольни. Давайте ограничимся для простоты классической механикой потенциальных сил. Первично у нас уравнение Ньютона $m\ddot{x}=-\frac{\partial V}{\partial x}$. Хочется (зачем - другой вопрос) переформулировать задачу как задачу на нахождение экстремума. Если мы напишем такую штуку: $S=\int\limits_{0}^{t}\frac{m\dot{x}^2(t)}{2}-V(x(t))dt,$ то условием (необходимым, но не достаточным) того, что функция $x(t)$ обеспечивает экстремум $S$ будет то, что эта функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению

$$\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{x}}-\frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{m\dot{x}^2(t)}{2}-V(x(t))\right)=0$$

Элементарно проверяется, что получится аккурат уравнение Ньютона. То есть задача нахождения экстремума (на самом деле - экстремалей) функционала и задача нахождения решения уравнения Ньютона эквивалентны (для потенциальных сил). Здесь же ответ на Ваш вопрос про груз на подвесе.

Теперь, где здесь счастье. Во-первых, часто легче написать функционал нежели уравнения движения. Помогает то, что действие $S$ должно быть скалярной величиной, квадратичной по первым производным по времени. Во-вторых, в действии легче переходить к другим координатам. Кроме того, удается напустить на такой интеграл всякий могучий математический аппарат, который в применении к дифференциальным уравнениям становится очень громоздким, а к интегралам - вроде и ничего. И еще многое другое.

Aleck в сообщении #1250716 писал(а):

Справедливо ли будет сказать, что законы движения можно также выразить, исходя из минимизации интеграла произведения импульса на расстояние, интегрируя его по расстоянию?

Справедливо для независящих от времени потенциалов в отсутствии трения. Для систем с трением как правило написать соответствующее действие нельзя.

[pogulyat_vyshel]

Ms-dos4 в сообщении #1250782 писал(а):

тояние? Если вы про укороченное действие

$$\[\tilde S = \int {(\sum\limits_k {{p_k}d{q_k}} } )dt\]$$

что-то тут дифференциалов много
и вообще формулировка принципа укороченного действия требует большой аккуратности

[realeugene]

Aleck в сообщении #1249132 писал(а):

S — это скалярная величина.

Очень важно и полезно, что для нескольких невзаимодействующих систем действие - это аддитивная скалярная величина. Допустим, у нас есть две невзаимодействующие системы, для которых мы записали действия $S_1$ и $S_2$. Например, один мальчик кидает мячик, второй мальчик кидает кирпич. Рассматривая эти системы по отдельности, мы можем найти траектории движения каждой системы, минимизируя их действия независимо. Но что делать, если мы хотим рассмотреть движение этих систем одновременно (при этом системы остаются независимы и не взаимодействующими)? Оба мальчика одновременно кидают мячик и кирпич, и мы хотим узнать, при каких условиях они столкнутся? У каждой системы свои потенциальная и кинетическая энергия, законы сохранения полной энергии тут не помогут. Тут энергия сохраняется для каждой системы независимо, но мы хотели бы работать с двумя системами, как с одной, чтобы не запутаться, какие там уравнения для мячика, а какие для кирпича, и как их комбинировать. Тем более, это важно, когда у нас в системе количество мячиков и кирпичей сравнимо с числом Авогадро. Но выход есть! Пользуясь аддитивностью действия, мы, просто, суммируем действия для мячика и кирпича, получая одно общее действие $S=S_1+S_2$, и уже заранее знаем, что минимизировав стандартным образом это суммарное действие, мы автоматически получим уравнения движения для системы из нашего мячика и кирпича, летящих одновременно. Просто потому, что если $S_1$ и $S_2$ - это функции от разных параметров (кроме времени, конечно), то минимум их суммы равен сумме минимумов.

Следующий шаг, это посмотреть, что будет, если у нас мячик и кирпич взаимодействуют? Они уже не летают независимо, но связаны, например, резинкой. В этом случае, действие для комбинированной системы уже не является просто суммой действий для мячика и кирпича. Но, оказывается, что часто можно записать действие для комбинированной системы в виде $S=S_1+S_2+S_{12}$, где поправка взаимодействия $S_{12}$ тем меньше, чем слабее взаимодействие между подсистемами. Понятно, ведь, что если резинка, связывающая мячик и кирпич, слабая, то она должна и слабо влиять на их траектории, и, в пределе бесконечно слабой резинки, мы должны получить траектории летящих независимо кирпича и мячика. Если поправка слабая, тогда можно воспользоваться результатами теории возмущений для нахождения поправки для суммарного движения двух слабо взаимодействующих подсистем. Если взаимодействие сильное (в смысле, что взаимодействие сильно влияет на сами взаимодействующие подсистемы), то, тоже, рассчитывать движение комбинированной системы, уравнение движения которой записано в такой экстремальной форме, может оказаться проще. Или, даже, если и не удастся рассчитать движение комбинированной системы точно, но из каких-то симметрий комбинированного действия можно выводить полезные законы сохранения для комбинированной системы.

[Ms-dos4]

pogulyat_vyshel

(Оффтоп)

Спасибо, пофикшено

[Pulseofmalstrem]

Приведу одно очень компактное и наглядное пояснение почему берется именно разность из совсем детских соображений:
Вот представим себе одномерное движение в некотором потенциале $U(x)$, ясно что в точках где потенциальная энергия максимальная - кинетическая минимальна и наоборот, так как кинетическая энергия связана со скоростью, то можно утверждать, что в точках с минимальной потенциальной энергией "тело проводит времени меньше, чем в точках с максимальной потенциальной энергией". Наглядно можно (но лучше этим не увлекаться) представить себе это так: шарик на вершине горки катится медленнее, чем снизу горки, так как он терял скорость, карабкаясь вверх, и наоборот приобретал ее, скатываясь вниз. Поэтому логично предположить, что на реальной траектории разность между кинетической и потенциальной энергией будет экстремальна. Это сильно упрощенное пояснение школьного уровня, его придумал М. Г. Иванов, который читал мне лекции на аналитической механике.

[bpn]

Aleck в сообщении #1249687 писал(а):

Это что получается, такое название характеристике Фейнман придумал? А что же тогда понимали под действием в «принципе наименьшего действия» в новое время?

(Оффтоп)

"это всё придумал Черчилль в 18-ом году"

Лейбниц придумал, как произведение "живой силы" на время. Тогда тоже вроде споры были об искусственности понятия действия.

[Ascold]

Цитата:

Т.е. можно ли это из чего-то вывести или додуматься до этого априорно?

Я в своё время тоже был напряжён по поводу такого, откуда это "действие" взялось и как именно додумались до вариационных принципов в механике. Полегчало после того, как прочитал этот вопрос в книгах:
1. Полак, "Вариационные принципы физики" в главе про Мопертюи и пр. Очень рекомендую - там Вы узнаете про "нематериальную плоскость", которой "природа двигает предметы" и изначальную историю вопроса, причём не научпоп, а с формулами и рассуждениями.
2. Зоммерфельд, "Механика" - там есть вывод на страничку принципа стационарного действия в механике из второго закона Ньютона. Разновидности вариационных принципов прилагаются.
3. Ольховский, "Курс теор. механики для физиков" - там тоже есть этот вывод, а также доказательство, что при определённых условиях оно именно минимально.

(Оффтоп)

А вот за рамками класс. механики обоснование этого принципа обстоит чуть иначе, но не уверен, что обсуждать это здесь не будет офф-топом.