S — это скалярная величина.
Очень важно и полезно, что для нескольких невзаимодействующих систем действие - это
аддитивная скалярная величина. Допустим, у нас есть две невзаимодействующие системы, для которых мы записали действия
и
. Например, один мальчик кидает мячик, второй мальчик кидает кирпич. Рассматривая эти системы по отдельности, мы можем найти траектории движения каждой системы, минимизируя их действия независимо. Но что делать, если мы хотим рассмотреть движение этих систем
одновременно (при этом системы остаются независимы и не взаимодействующими)? Оба мальчика одновременно кидают мячик и кирпич, и мы хотим узнать, при каких условиях они столкнутся? У каждой системы свои потенциальная и кинетическая энергия, законы сохранения полной энергии тут не помогут. Тут энергия сохраняется для каждой системы независимо, но мы хотели бы работать с двумя системами, как с одной, чтобы не запутаться, какие там уравнения для мячика, а какие для кирпича, и как их комбинировать. Тем более, это важно, когда у нас в системе количество мячиков и кирпичей сравнимо с числом Авогадро. Но выход есть! Пользуясь аддитивностью действия, мы, просто, суммируем действия для мячика и кирпича, получая одно общее действие
, и уже заранее знаем, что минимизировав стандартным образом это суммарное действие, мы автоматически получим уравнения движения для системы из нашего мячика и кирпича, летящих одновременно. Просто потому, что если
и
- это функции от разных параметров (кроме времени, конечно), то минимум их суммы равен сумме минимумов.
Следующий шаг, это посмотреть, что будет, если у нас мячик и кирпич взаимодействуют? Они уже не летают независимо, но связаны, например, резинкой. В этом случае, действие для комбинированной системы уже не является просто суммой действий для мячика и кирпича. Но, оказывается, что часто можно записать действие для комбинированной системы в виде
, где поправка взаимодействия
тем меньше, чем слабее взаимодействие между подсистемами. Понятно, ведь, что если резинка, связывающая мячик и кирпич, слабая, то она должна и слабо влиять на их траектории, и, в пределе бесконечно слабой резинки, мы должны получить траектории летящих независимо кирпича и мячика. Если поправка слабая, тогда можно воспользоваться результатами теории возмущений для нахождения поправки для суммарного движения двух слабо взаимодействующих подсистем. Если взаимодействие сильное (в смысле, что взаимодействие сильно влияет на сами взаимодействующие подсистемы), то, тоже, рассчитывать движение комбинированной системы, уравнение движения которой записано в такой экстремальной форме, может оказаться проще. Или, даже, если и не удастся рассчитать движение комбинированной системы точно, но из каких-то симметрий комбинированного действия можно выводить полезные законы сохранения для комбинированной системы.