Возмущая группу SO(3).

[Pulseofmalstrem]

Добрый вечер.
Хочу поставить следующий абстрактный вопрос, который лично мне кажется довольно сложным.
Рассмотрим обычное трехмерное евклидово пространство: $R^3$ в котором определен обычный метрический тензор: $g_i_j$, так что норма вектора вычисляется по обычному правилу:
$|x|^2 = g_i_j x^i x^j$, и нашем пространстве действует обычное скалярное произведение:
$(x, y) = g_i_j x^i y^j$
Тогда группа $SO(3)$ может быть определена, как множество биективных преобразований множества $R^3$, которые сохраняют скалярное произведение.
Теперь возмутим метрику с помощью малой симметричной матрицы: $\tilde{g_i_j} = g_i_j + \Delta g_i_j$, где $| \Delta g_i_j| < \varepsilon$, где норма матрицы понимается в смысле какой-нибудь (например, евклидовой) нормы пространства $R^{n^2}$, и, конечно, возмущение симметрично с тем, чтобы сохранить симметричность скалярного произведения. Можно отдельно рассмотреть вариант когда возмущение сохраняет положительную определенность метрического тензора, а можно этого в целом не требовать.
Тогда интерес представляет группа $\tilde{SO(3)}$, которая определяется аналогично невозмущенной группе, только теперь надо оставить на месте не старое скалярное произведение, а новое возмущенное. Есть ли связь между $SO(3)$ и $\tilde{SO(3)}$, можно ли как-то сформулировать верное утверждение, что эти группы не слишком сильно отличаются друг от друга?

[g______d]

Попробуйте доказать, что существует матрица $V$, близкая к единичной, такая, что $A\mapsto VAV^{-1}$ является изоморфизмом между двумя указанными группами.

[Pulseofmalstrem]

g______d
Попробовать стоит, но мне кажется что группы не будут изоморфными между собой. Говоря еще сильней я чрезвычайно на это надеюсь, так как это будет отличной новостью.

[Slav-27]

Pulseofmalstrem
Там же надо просто сигнатуру не сломать. А можно малым шевелением метрики сломать её сигнатуру?..

[Pulseofmalstrem]

Slav-27

Ох! Какой же я глупец!