Равномерная сходимость степенного ряда

[hiraev]

Нашел следующие теоремы (теорема 1 и терема 3) в учебном пособии "Курс лекций по математическому анализу . Часть 2" В. И. Коляда, А. А. Кореновский. По-моему эти теоремы противоречат друг другу. Если же нет, то объясните пожалуйста как их правильно понимать.

[Xaositect]

Равномерная сходимость на интервале и равномерная сходимость на любом отрезке внутри интервала - это разные вещи.

[metelev]

Для равномерной сходимости нужно найти единое ограничение для всего интервала, на котором мы хотим установить равномерную сходимость. В теореме 3 не фиксируют заранее никакую точку внутри интервала $(-R,R)$, поэтому мы всегда можем подойти поближе к точке $R$, в которой ряд расходится, и преодолеть любое ограничение. В теореме 1 мы выбираем точку $r$ и дальше её не трогаем. Поэтому можно указать ограничение для всего интервала.

[hiraev]

Мы ведь можем приближать этот отрезок бесконечно близко к концам интервала, не нарушая условия $r<R$.
При этом будем находится левее от R (или правее от -R), а там ряд сходится абсолютно (по теореме Абеля ряд сходится в каждой точке $x$, такой, что $|x|<|R|$, и притом абсолютно), далее, исходя из док-ва теоремы 1, имеем, что ряд сходится равномерно внутри всего интервала $(-R, R)$

[metelev]

hiraev в сообщении #1280760 писал(а):

Мы ведь можем приближать этот отрезок бесконечно близко к концам интервала, не нарушая условия $r<R$.

Какое бы мы ни взяли $r$ всегда можно поместить между $r$ и $R$ ещё одну точку. Если мы уже выбрали интервал $[-r,r]$, то мы тем самым не рассматриваем точки из интервала $(r,R)$. А они способны всё испортить, как бы мало их не было.

[hiraev]

Допустим мы возьмем точку $x | r<x<R$. Эта точка все еще меньше R. Мы можем увеличить интервал так, чтобы наша точка вне интервала, оказалалась внутри этого интервала. Фиксируем этот интервал и возвращаемся к условию теоремы 1.

[metelev]

В том-то и смысл, что "перехаживать" нельзя. Нужно выбрать какую-то $r$ заранее, иначе не получится равномерной сходимости.

[Dan B-Yallay]

hiraev, Найдите ошибку в следующем рассуждении:

функция $\dfrac 1 {(x^2-1)}$ ограничена на любом отрезке $[-1+\alpha, 1-\alpha]$ , $0< \alpha< 0.5 , $ поэтому она ограничена на интервале $(-1,1)$

[hiraev]

Dan B-Yallay в сообщении #1280774 писал(а):

hiraev, Найдите ошибку в следующем рассуждении:

функция $\dfrac 1 {(x^2-1)}$ ограничена на любом отрезке $[-1+\alpha, 1-\alpha]$ , $0< \alpha< 0.5 , $ поэтому она ограничена на интервале $(-1,1)$

Не вижу здесь ошибки

[Dan B-Yallay]

hiraev в сообщении #1280777 писал(а):

Не вижу здесь ошибки

Тогда укaжите число, которым функция $\frac 1 {x^2-1}$ ограничена сверху.

-- Вт янв 02, 2018 12:31:19 --

... на интервале $(-1,1)$.

[hiraev]

Любое число, которое больше или равно 1, является верхней границей множества $(-1,1)$. А самое маленькое из этих чисел, то есть 1, является супремумом этого множества

[Xaositect]

hiraev в сообщении #1280787 писал(а):

Любое число, которое больше или равно 1, является верхней границей множества $(-1,1)$. А самое маленькое из этих чисел, то есть 1, является супремумом этого множества

Это верно. Но как это относится к функции $\frac1{x^2-1}$?

[hiraev]

Так, что функция не определена на границах этого множества. Ее предел, при x стремящемся к любой границе множества, равен минус бесконечности.

[Xaositect]

Значит является она ограниченной или нет?

[hiraev]

Нет, область значений функции не ограничена, ограничена лишь область определения функции.