2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Равномерная сходимость степенного ряда
Сообщение02.01.2018, 20:19 


08/03/17
40
Нашел следующие теоремы (теорема 1 и терема 3) в учебном пособии "Курс лекций по математическому анализу . Часть 2" В. И. Коляда, А. А. Кореновский. По-моему эти теоремы противоречат друг другу. Если же нет, то объясните пожалуйста как их правильно понимать.
Изображение

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость степенного ряда
Сообщение02.01.2018, 20:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Равномерная сходимость на интервале и равномерная сходимость на любом отрезке внутри интервала - это разные вещи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость степенного ряда
Сообщение02.01.2018, 20:37 
Аватара пользователя


20/03/12
267
СПб
Для равномерной сходимости нужно найти единое ограничение для всего интервала, на котором мы хотим установить равномерную сходимость. В теореме 3 не фиксируют заранее никакую точку внутри интервала $(-R,R)$, поэтому мы всегда можем подойти поближе к точке $R$, в которой ряд расходится, и преодолеть любое ограничение. В теореме 1 мы выбираем точку $r$ и дальше её не трогаем. Поэтому можно указать ограничение для всего интервала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость степенного ряда
Сообщение02.01.2018, 20:46 


08/03/17
40
Мы ведь можем приближать этот отрезок бесконечно близко к концам интервала, не нарушая условия $r<R$.
При этом будем находится левее от R (или правее от -R), а там ряд сходится абсолютно (по теореме Абеля ряд сходится в каждой точке $x$, такой, что $|x|<|R|$, и притом абсолютно), далее, исходя из док-ва теоремы 1, имеем, что ряд сходится равномерно внутри всего интервала $(-R, R)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость степенного ряда
Сообщение02.01.2018, 21:01 
Аватара пользователя


20/03/12
267
СПб
hiraev в сообщении #1280760 писал(а):
Мы ведь можем приближать этот отрезок бесконечно близко к концам интервала, не нарушая условия $r<R$.


Какое бы мы ни взяли $r$ всегда можно поместить между $r$ и $R$ ещё одну точку. Если мы уже выбрали интервал $[-r,r]$, то мы тем самым не рассматриваем точки из интервала $(r,R)$. А они способны всё испортить, как бы мало их не было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость степенного ряда
Сообщение02.01.2018, 21:08 


08/03/17
40
Допустим мы возьмем точку $x | r<x<R$. Эта точка все еще меньше R. Мы можем увеличить интервал так, чтобы наша точка вне интервала, оказалалась внутри этого интервала. Фиксируем этот интервал и возвращаемся к условию теоремы 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость степенного ряда
Сообщение02.01.2018, 21:13 
Аватара пользователя


20/03/12
267
СПб
В том-то и смысл, что "перехаживать" нельзя. Нужно выбрать какую-то $r$ заранее, иначе не получится равномерной сходимости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость степенного ряда
Сообщение02.01.2018, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
hiraev, Найдите ошибку в следующем рассуждении:

функция $\dfrac 1 {(x^2-1)}$ ограничена на любом отрезке $[-1+\alpha, 1-\alpha]$ , $0< \alpha< 0.5 , $ поэтому она ограничена на интервале $(-1,1)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость степенного ряда
Сообщение02.01.2018, 21:27 


08/03/17
40
Dan B-Yallay в сообщении #1280774 писал(а):
hiraev, Найдите ошибку в следующем рассуждении:

функция $\dfrac 1 {(x^2-1)}$ ограничена на любом отрезке $[-1+\alpha, 1-\alpha]$ , $0< \alpha< 0.5 , $ поэтому она ограничена на интервале $(-1,1)$

Не вижу здесь ошибки

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость степенного ряда
Сообщение02.01.2018, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
hiraev в сообщении #1280777 писал(а):
Не вижу здесь ошибки

Тогда укaжите число, которым функция $\frac 1 {x^2-1}$ ограничена сверху.

-- Вт янв 02, 2018 12:31:19 --

... на интервале $(-1,1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость степенного ряда
Сообщение02.01.2018, 21:41 


08/03/17
40
Любое число, которое больше или равно 1, является верхней границей множества $(-1,1)$. А самое маленькое из этих чисел, то есть 1, является супремумом этого множества

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость степенного ряда
Сообщение02.01.2018, 21:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
hiraev в сообщении #1280787 писал(а):
Любое число, которое больше или равно 1, является верхней границей множества $(-1,1)$. А самое маленькое из этих чисел, то есть 1, является супремумом этого множества
Это верно. Но как это относится к функции $\frac1{x^2-1}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость степенного ряда
Сообщение02.01.2018, 22:03 


08/03/17
40
Так, что функция не определена на границах этого множества. Ее предел, при x стремящемся к любой границе множества, равен минус бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость степенного ряда
Сообщение02.01.2018, 22:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Значит является она ограниченной или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость степенного ряда
Сообщение02.01.2018, 22:12 


08/03/17
40
Нет, область значений функции не ограничена, ограничена лишь область определения функции.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group