Непостижимая эффективность математики

[arseniiv]

Ну, на таком уровне можно что угодно утверждать, разницы никакой.

[Degen1103]

URSS. 2016. 256 с

[grizzly]

На русском в современном переводе это теперь звучит интереснее (издательство "Манн, Иванов и Фербер", ссылка 2 ведёт на ту самую работу Вигнера):

[beroal]

Someone в сообщении #1256747 писал(а):

beroal в сообщении #1256657 писал(а):

Проясняет ли она философские основания?

Аксиоматика теории множеств формализует основные "низкоуровневые" методы, используемые в математике. На "философские основания" начхать.

Мне интересно, истинна гипотеза континуума или ложна. Исходя из интуиции, не получается решить. Гипотеза континуума не кажется ни очевидно истинной, ни очевидно ложной. Насколько мне известно, гипотеза континуума независима от стандартной теории множеств. Так истинна или ложна? Как аксиоматика теории множеств помогает решить этот вопрос?

Degen1103 в сообщении #1263700 писал(а):

Свердлик А. Г. Как эмоции влияют на абстрактное мышление, и почему математика невероятно точна. URSS. 2016. 256 с.

Что там подразумевается под абстрактным мышлением?

Degen1103 в сообщении #1259340 писал(а):

что, если клятая неполнота есть необходимое условие существования и развития математики как сложной самоорганизующейся системы?

«Сложная самоорганизующаяся система» — это не из синергетики термин?

[Someone]

beroal в сообщении #1280195 писал(а):

Так истинна или ложна?

А Вам не всё равно? Что Вы хотите с этим знанием делать?

Ответ: как нравится, так и считайте. Только о своём выборе предупреждайте во всех теоремах, которые Вы будете доказывать с использованием своего выбора.

[mihaild]

beroal в сообщении #1280195 писал(а):

Так истинна или ложна?

Изучение оснований математики позволяет понять, что задавать вопрос "истинно или ложно абстрактное утверждение" не надо. Можно спрашивать, доказуемо ли оно, и опровержимо ли оно (в конкретной формальной системе).

Либо можно сказать, что мы "недоформализовали" теорию множеств, и чтобы получилось хорошо, нужно к ней добавить гипотезу континуума (или ее отрицание). Но тут проблема - почти вся математика прекрасно живет и без этого, так зачем добавлять еще что-то?

Представьте, что мы формализуем арифметику, но почему-то вместо PA взяли Q. При этом многие результаты всё равно доказать можно (в частности, любую истинную в стандартной модели $\Sigma_1$ формулу). Но тут кто-то приходит, и спрашивает "а бывает ли так, что $x + y \neq y + x$?".
Мы сидим, думаем, и обнаруживаем, что ответить на этот вопрос не получается - в некоторых моделях бывает, в некоторых нет. И что делать?
В случае с арифметикой мы можем залезть обратно в интуицию, обнаружить, что нам кажется, что сложение коммутативно, и добавить какую-нибудь подходящую аксиому. Или мы можем заметить, что интуиции у нас нет, но многие математики в более прикладных областях коммутативность сложения неявно используют, а вот некоммутативность - не используют; значит, добавив аксиому "сложение коммутативно" мы никому ничего не испортим, но зато сможем строго формализовать еще некоторые из уже существующих рассужденй.

В случае же с континуум-гипотезой у нас нет ни сильной интуиции за/против, ни широкого использования ее или ее отрицания), так что можно для большинства использований оставить ZF. А если кому-то понадобится континуум-гипотеза - ничего страшного, может явно написать, что его результат от нее зависит.

[Someone]

Использование в доказательстве континуум-гипотезы как дополнительной аксиомы часто связано с тем, что придуманная автором теоремы конструкция работает только для счётных множеств. Академик П. С. Александров называл это "паразитом счётности".

[george66]

Истинность континуум-гипотезы меня давно уже не волнует, а вот вопрос "что есть в реальности" меня ещё волнует. Есть ли в природе бесконечность и каким опытом это можно проверить? Есть ли в природе число $10^{10^{100}}$ и каким опытом это можно проверить? Математика такие вопросы не решает, превратившись в чисто инженерную деятельность (придумывание полезных механизмов).

[warlock66613]

george66 в сообщении #1280313 писал(а):

Есть ли в природе число $10^{10^{100}}$ и каким опытом это можно проверить?

А есть ли в природе число $2$, и каким опытом это можно проверить, вам не интересно?

[пианист]

Someone в сообщении #1280229 писал(а):

Использование в доказательстве континуум-гипотезы как дополнительной аксиомы часто связано с тем, что придуманная автором теоремы конструкция работает только для счётных множеств. Академик П. С. Александров называл это "паразитом счётности".

Это в том смысле, что никак без индукции?

-- Вс дек 31, 2017 13:42:04 --

(Оффтоп)

Меня сейчас побьют, но все равно скажу..

ЖЖ-юзер sowa@lj отнюдь не считает вопрос с континуум-гипотезой закрытым:
https://sowa.livejournal.com/92839.html ... 3#t3488423

-- Вс дек 31, 2017 13:51:16 --

Про индукцию глупость сказал (перепуталось с аксиомой выбора).

[grizzly]

пианист в сообщении #1280342 писал(а):

ЖЖ-юзер sowa@lj отнюдь не считает вопрос с континуум-гипотезой закрытым

Ну так он вообще считает праздным весь комплекс вопросов об аксиоматиках, считая заслуживающими внимания только "доказательства на естественном языке и даже при помощи картинок и размахивания руками". Интересно было бы узнать, как эволюционировали его взгляды на формализацию доказательств за прошедшие 10 лет. Всё же многое изменилось за это время, тот же Матиясевич, скажем, не менее авторитетен, чем Sowa, и настойчиво отстаивает противоположную точку зрения.

[george66]

Есть статья Яна Мыцельского "Analysis without actual infinity", где он предлагает теорию без аксиомы бесконечности, в которой можно практически развивать матанализ. То есть, натуральный ряд конечный. Потом ещё какой-то финн написал на эту тему диссертацию и дошёл до рядов Фурье.

[Someone]

пианист в сообщении #1280342 писал(а):

Это в том смысле, что никак без индукции?

Нет. В конце-концов, есть трансфинитная индукция, которая не ограничена натуральным рядом и даже счётными ординалами.
Типичная ситуация, когда возникает потребность в континуум-гипотезе, выглядит так. Доказательство использует трансфинитную индукцию. На каждом шаге "появляется" некоторое новое множество. Для доказательства теоремы нужно построить континуум таких множеств, однако конструкция, используемая на каждом шаге, работает только для счётного семейства множеств, поэтому её можно "дотянуть" только до первого несчётного ординала. Если континуум-гипотеза верна, то есть, $2^{\aleph_0}=\aleph_1$, то всё в порядке. Если же континуум-гипотеза неверна, то есть, $2^{\aleph_0}>\aleph_1$, то мы до континуума не дойдём.
Конечно, возможны всякие варианты.

-- Вс дек 31, 2017 15:42:30 --

george66 в сообщении #1280372 писал(а):

Есть статья Яна Мыцельского "Analysis without actual infinity", где он предлагает теорию без аксиомы бесконечности, в которой можно практически развивать матанализ.

Ага. Это статья 1981 года. Не похоже, что это кого-то вдохновляет.

-- Вс дек 31, 2017 15:54:21 --

george66 в сообщении #1280313 писал(а):

Истинность континуум-гипотезы меня давно уже не волнует, а вот вопрос "что есть в реальности" меня ещё волнует. Есть ли в природе бесконечность и каким опытом это можно проверить? Есть ли в природе число $10^{10^{100}}$ и каким опытом это можно проверить? Математика такие вопросы не решает, превратившись в чисто инженерную деятельность (придумывание полезных механизмов).

Математика занимается изучением логических конструкций, а не природы. В природе логических конструкций нет, они есть только в человеческой психике. В частности, и "бесконечность" в любых встречающихся в математике видах, и "число $10^{10^{100}}$" — это логические конструкции, и в природе их нет.

Другое дело, что многие логические конструкции используются в качестве моделей различных частей той самой "реальности", о которой Вы говорите.
Я всё это говорю потому, что, на мой взгляд, смешивание "реальности" с её математическими моделями ведёт к путанице и странным заблуждениям.

[beroal]

mihaild в сообщении #1280203 писал(а):

Изучение оснований математики позволяет понять, что задавать вопрос "истинно или ложно абстрактное утверждение" не надо. Можно спрашивать, доказуемо ли оно, и опровержимо ли оно (в конкретной формальной системе).

Я так и определяю истинность. Если \(\varphi\) доказано, то \(\varphi\) истинно.

(Оффтоп)

Но в большинстве учебников и учебных курсов начального уровня по логике \(\varphi\) истинно тогда и только тогда, когда \(\varphi\) имеет значение «истина». Наверное, это одна из причин проблемы.

То, что существует вариант ответа «независима», кроме «истинно» или «ложно», противоречит интуиции. Видимо, это беспокоит философов, судя по книге, на которую я сослался раньше.

mihaild в сообщении #1280203 писал(а):

Представьте, что мы формализуем арифметику, но почему-то вместо PA взяли Q. При этом многие результаты всё равно доказать можно (в частности, любую истинную в стандартной модели $\Sigma_1$ формулу). Но тут кто-то приходит, и спрашивает "а бывает ли так, что $x + y \neq y + x$?". Мы сидим, думаем, и обнаруживаем, что ответить на этот вопрос не получается - в некоторых моделях бывает, в некоторых нет.

Мне кажется, ваш пример не подходит. Я не знаю, что такое Q, но PA слишком маловыразительна, чтобы служить фундаментом математики. А теория множеств служит фундаментом математики, даже если кто-то изучает её модели. Я рассмотрю теорию групп. Коммутативность в некоторых моделях истинна, а в некоторых моделях ложна. Это не удивительно, потому что у теории групп много моделей. Она была придумана ради изучения моделей. Чем больше моделей, тем полезнее теория. Это специализированная или «модельная» теория. Теория множеств — фундаментальная теория. (Густав Шоке назвал специализированные теории «мультивалентными», и фундаментальные теории «унивалентными».) Специализированные и фундаментальные теории играют разные роли. От фундаментальных теорий мы ожидаем большей определённости.

Someone в сообщении #1280198 писал(а):

А Вам не всё равно? Что Вы хотите с этим знанием делать?

Это один из вариантов ответа. По большому счёту, истинность гипотезы континуума меня не волнует. Но на её месте может оказаться более важная гипотеза. На практике важно, что существует вариант ответа «независима». Если независима, то мы её никогда не докажем и не опровергнем. Если бы Кантор знал, что она независима, он бы не тратил время. Это практическая полезность оснований математики.

Пожалуй, для меня тема закрыта. (Тем более, что я hijack-нул чужую тему .) Я получил примерно тот ответ, которого ожидал.

[Someone]

beroal в сообщении #1280392 писал(а):

То, что существует вариант ответа «независима», кроме «истинно» или «ложно»

Вы заблуждаетесь.
Выводимость — это синтаксическое понятие, и означает наличие конечной последовательности формул, удовлетворяющей определённым требованиям.
Истинность же связана с понятием модели и зависит от выбранной модели. Вы же сами об этом говорите:

beroal в сообщении #1280392 писал(а):

Коммутативность в некоторых моделях истинна, а в некоторых моделях ложна.

Поэтому "независимость" — это не "третий вариант ответа".

beroal в сообщении #1280392 писал(а):

Я так и определяю истинность. Если \(\varphi\) доказано, то \(\varphi\) истинно.

Это не определение. Просто правила построения доказательств таковы, что они из истинных высказываний выводят истинные. Существует теорема типа такой: формула выводима тогда и только тогда, когда она истинна в любой модели (на точность формулировки не претендую, а искать уточнение сейчас лень). Поэтому независимые утверждения — это те, которые в одних моделях истинны, а в других ложны.