Почему сложение и умножение так похожи?

[vlad9486]

Всюду в той части математики, которую я изучал встречаются сложение и умножение. Я буду пока говорить о натуральных числах. Много думал над симметрией между ними, захотелось построить что-то, в чем эта симметрия будет явная. Я начал с таких уравнений:

$a + a = a$

и

$a \cdot a = a$

в целых, или действительных числах первое уравнение имеет одно решение, а второе - два. Что-бы исправить "несправедливость", положим

$0 \cdot 0 \ne 0 $

Пусть степени нуля будут все не равны между собой и не равны остальным (числам), для этого я определил операцию $a^*$ и множество $\mathbb{N}^*$, между $\mathbb{N}$ и $\mathbb{N}^*$ есть биекция $a^*$, еще

$(n^*)^* = n$

$(n \cdot m)^* = n^* + m^*$

$(n + m)^* = n^* \cdot m^*$

это аксиомы. С ними

$0 + 0 = 0$

но

$0 \cdot 0 = 2^* \ne 0$

где

$0 = 1^*$

Получается, просто поменялись местами сложение и умножение в каком-то "звездном" множестве, кроме того, в "звездном" множестве дистрибутивность наоборот. Непонятно как вводить сложение и умножение между обычными и звездными числами. Непонятно как обобщать на целые, рациональные, действительные числа.

Не изобретаю ли я велосипед? Есть ли где-то симметрия между сложением и умножением, кроме булевой алгебры?

Выходит, что простые "звездные" числа похожи на линейно независимые векторы, то есть, их нельзя представить как сумму остальных. А на натуральных числах есть что-то похожее на бесконечномерное пространство, где базисные вектора - простые числа, вот бы еще отнимание и деление определить.

[mihaild]

Почитайте про группы и кольца, там есть понятие изоморфизма, вы пытаетесь изобрести изоморфизм между $\mathbb{N}$ по сложению и по умножению.

К сожалению, такого изоморфизма не существует: $x^* = (0 + x)^* = 0^* \cdot x^*$, откуда $0^* = 1$ (либо $x^* = 0$ для любого $x$, но тогда $*$ это не инволюция). Но тогда $1 = 0^* = (0 \cdot 0)^* = 0^* + 0^* = 1 + 1 = 2$.

Зато есть очень простой изоморфизм между вещественными числами по сложению и положительными вещественными числами по умножению. Догадаетесь, какой?

vlad9486 в сообщении #1278935 писал(а):

положим $0 \cdot 0 \ne 0 $

Вот так говорить не надо. $\cdot$ уже определено, и если хотите вводить свою операцию, то надо вводить ее отдельно, а не использовать одно обозначение в двух смыслах.

[vlad9486]

mihaild в сообщении #1278955 писал(а):

Вот так говорить не надо

Согласен, не аккуратно написал, здесь у меня только натуральные числа (без нуля) и их "звездные" двойники $1 = 0^*$ и $1^* = 0$ это просто обозначения, для привычности.

mihaild в сообщении #1278955 писал(а):

Но тогда $1 = 0^* = (0 \cdot 0)^* = 0^* + 0^* = 1 + 1 = 2$.

Нет же, второе сравнение не верно, $0 \ne 0 \cdot 0$
Пока числа только натуральные, никакие правила для них не меняются, а остальные числа все равно не понятно как вводить, я решил переиспользовать ноль, согласен, не следует это делать, можно ноль везде заменить на другой символ.

mihaild в сообщении #1278955 писал(а):

Догадаетесь, какой?

Экспонента же, а назад - логарифм. Но это немного не то, хочу числа в которых все $+$ можно поменять на $\cdot$ и наоборот.

[arseniiv]

Ещё почитайте про (дистрибутивные) решётки. Там как раз две операции $\vee,\wedge$, полностью симметричные друг относительно друга. Решётки с дополнением $\neg$ имеют операцию дополнения, которая эту двойственность делает выразимой в самой решётке; ограниченные решётки имеют и нейтральные элементы $0,1$ для каждой. (А дистрибутивная ограниченная решётка с дополнением зовётся булевой алгеброй и, если конечна, изоморфна алгебре подмножеств некоторого множества $\Omega$ по $\cup,\cap,\Omega\setminus{}$; в случае бесконечной интереснее.)

[mihaild]

vlad9486, тогда совершенно непонятно, где у вас элементы $\mathbb{N}$, где $\mathbb{N}^*$, и какая между ними связь.

Вот у нас есть обычные натуральные числа $(\mathbb{N}, +, \cdot)$. Вы хотите рассмотреть какую-то структуру $(\mathbb{N}^*, +^*, \cdot^*)$ и отображение $*: \mathbb{N} \to \mathbb{N}^*$, так? Какие свойства вы хотите у этого отображения и операций $+^*, \cdot^*$?

[vlad9486]

Я хочу рассмотреть $\mathbb{N} \cup \mathbb{N}^*$ (может объединение с чем то еще) и ввести там $+$ и $\cdot$. Пока получилось ввести только на $\mathbb{N}^*$, ну и на $\mathbb{N}$ и так есть, попытки их смешать пока ничем хорошим не закончились.

[arseniiv]

Вы можете отталкиваться от

vlad9486 в сообщении #1278935 писал(а):

$$(n^*)^* = n$$

$$(n \cdot m)^* = n^* + m^*$$

$$(n + m)^* = n^* \cdot m^*$$

пытаясь добавить минимальное необходимое число новых элементов, чтобы удовлетворялись все нужные соотношения между $+$ и $\cdot$, которые работают и на $\mathbb N$ (последнее важно!). Или добавится что-то, или покажете, что нельзя. Кстати, можно совсем отказаться от нуля, например.

[lek]

В сущности, mihaild уже указал на недостатки этого подхода. Слишком жесткие требования. Однако, операции сложения и умножения можно "поменять местами", если их подходящим образом переопределить. Например, можно рассмотреть отображение $\varphi:\mathbb{R}(+,\cdot)\to \mathbb{R}^{+}(\cdot,\ast)$, где $\varphi(a)=2^{a}$ и произведение $a\ast b=a^{\log_{2}b}$. Ясно, что $\varphi$ - кольцевой изоморфизм, при котором пара $(0,1)\to(1,2)$.

[arseniiv]

Кстати, глядя на заголовок темы, ещё не читая её, подумал, что вопрос будет, откуда, собственно, похожесть. Тут можно было бы рассмотреть, откуда вообще берутся сложение и умножение целых чисел и дальше, и почему похожесть в общем случае так себе (привет, неассоциативные октонионы). vlad9486, если это всё-таки тоже интересует, скажите явно.

[vlad9486]

Да, интересует, я надеялся что разговор перейдет к этому.

-- 27.12.2017, 11:53 --

lek в сообщении #1279071 писал(а):

В сущности, mihaild уже указал на недостатки этого подхода. Слишком жесткие требования. Однако, операции сложения и умножения можно "поменять местами", если их подходящим образом переопределить. Например, можно рассмотреть отображение $\varphi:\mathbb{R}(+,\cdot)\to \mathbb{R}^{+}(\cdot,\ast)$, где $\varphi(a)=2^{a}$ и произведение $a\ast b=a^{\log_{2}b}$. Ясно, что $\varphi$ - кольцевой изоморфизм, при котором пара $(0,1)\to(1,2)$.

Я читал где-то, что есть цепочка бинарных операций, где

$a+_{n + 1}b=2^{\log_{2}a+_{n}\log_{2}b}$

Если $+_0$ это обычное сложение, то $+_1$ это умножение, но $+_2$ не степень и это огорчает. Все они ассоциативные и коммутативные.

[arseniiv]

vlad9486 в сообщении #1279129 писал(а):

но $+_2$ не степень и это огорчает

Возведение в степень вообще «плохая» операция.

vlad9486 в сообщении #1279129 писал(а):

Да, интересует, я надеялся что разговор перейдет к этому.

Хорошо. Что объединяет натуральные (без нуля и с нулём) и целые числа и делает их в какой-то степени простыми — это то, что это свободные объекты с одним порождающим элементом (обозначим его $u$), соответственно, полугруппа, моноид и группа. Тут нам ещё весьма везёт с тем, что операция (полугруппы, моноида или группы) будет некоммутативной, если взять хотя бы два порождающих; если взять ноль, ничего интересного у нас не будет (пустая полугруппа, моноид или группа из одного элемента).

Итак, возьмём сразу целые числа $\mathbb Z$. Мы их уже умеем складывать, т. к. упомянутая коммутативная операция — это сложение. Ассоциативная и имеющая нейтральный элемент 0 она у нас по определению — вроде, на этом и закончили. Рассмотрим теперь эндоморфизмы $(\mathbb Z,+)$ — это аддитивные ($f(m+n) = f(m) + f(n)$) целочисленные функции, каждую из которых можно задать её значением в $u$. Этим значением может быть любое целое число, так что у нас есть отображение $\varphi\colon\mathbb Z\to\mathrm{End}(\mathbb Z,+)$. Умножением назовём операцию $m\cdot n \equiv \varphi(m)(n)$. А вот теперь вам задача, покажите его свойства (и про нейтральный элемент не забудьте!).

[vlad9486]

$\varphi$ можно применять несколько раз, тогда уж $\varphi:\mathrm{End}(\mathbb Z,+) \to \mathrm{End}(\mathbb Z,+)$, различные эндоморфизмы и умножение нужно записывать $\varphi(m\cdot n) \equiv \varphi(m)(n)$. Если я правильно понял $\varphi$ возвращает элемент множества, в котором роль $u$ выполняет $f(u)$, где $f$ однозначно соответствует $\varphi$? C нейтральным элементом просто, это наверное такое $\varphi(1)$, в которого $f$ переводит $u$ в $u$ (себя). Тогда $\varphi(1 \cdot m) = \varphi(1)(m) = \varphi(m)$. Коммутативность как-то через аддитивность $f$ надо показывать, но я пока хочу что бы вы откорректировали мое, возможно неправильное, понимание того что есть, что бы не писать глупости раньше времени.

[mihaild]

vlad9486 в сообщении #1279171 писал(а):

$\varphi$ можно применять несколько раз, тогда уж $\varphi:\mathrm{End}(\mathbb Z,+) \to \mathrm{End}(\mathbb Z,+)$,

Нет, $\phi$ берет целое число и выдает по нему эндоморфизм, причем по целому числу $x$ она выдает эндоморфизм $f_x = \phi(x)$ такой что $f_x(u) = x$.
$\phi$ задается этим определением однозначно (кстати нужно доказать, что эндоморфизм однозначно задается своим значением в $u$).
Теперь мы вводим новую операцию $\cdot: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ следующим образом: $\cdot(x, y) = \phi(x)(y)$, для удобства будем записывать $\cdot(x, y)$ как $x \cdot y$.
Чтобы найти (левый) нейтральный элемент этой операции, вам надо найти такое $a$, что для всех $x$ будет $a \cdot x = x$. Или, что то же самое, найти значение в $u$ тождественного эндоморфизма (попробуйте расписать, почему это то же самое).

[vlad9486]

Так понятнее, пробую. То есть если применить $\phi$ к $x$ то получим эндоморфизм, а потом применив эндоморфизм к другому числу получается число, которое и есть результатом умножения?

[mihaild]

vlad9486 в сообщении #1279177 писал(а):

потом применив эндоморфизм к другому числу получается число, которое и есть результатом умножения?

Да, именно так (результат умножения этого другого числа на $x$).