2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Почему сложение и умножение так похожи?
Сообщение26.12.2017, 16:48 


09/09/15
79
Всюду в той части математики, которую я изучал встречаются сложение и умножение. Я буду пока говорить о натуральных числах. Много думал над симметрией между ними, захотелось построить что-то, в чем эта симметрия будет явная. Я начал с таких уравнений:

$a + a = a$


и

$a \cdot a = a$


в целых, или действительных числах первое уравнение имеет одно решение, а второе - два. Что-бы исправить "несправедливость", положим

$0 \cdot 0 \ne 0 $


Пусть степени нуля будут все не равны между собой и не равны остальным (числам), для этого я определил операцию $a^*$ и множество $\mathbb{N}^*$, между $\mathbb{N}$ и $\mathbb{N}^*$ есть биекция $a^*$, еще

$(n^*)^* = n$

$(n \cdot m)^* = n^* + m^*$

$(n + m)^* = n^* \cdot m^*$


это аксиомы. С ними
$0 + 0 = 0$

но
$0 \cdot 0 = 2^* \ne 0$

где
$0 = 1^*$


Получается, просто поменялись местами сложение и умножение в каком-то "звездном" множестве, кроме того, в "звездном" множестве дистрибутивность наоборот. Непонятно как вводить сложение и умножение между обычными и звездными числами. Непонятно как обобщать на целые, рациональные, действительные числа.

Не изобретаю ли я велосипед? Есть ли где-то симметрия между сложением и умножением, кроме булевой алгебры?

Выходит, что простые "звездные" числа похожи на линейно независимые векторы, то есть, их нельзя представить как сумму остальных. А на натуральных числах есть что-то похожее на бесконечномерное пространство, где базисные вектора - простые числа, вот бы еще отнимание и деление определить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему сложение и умножение так похожи?
Сообщение26.12.2017, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9208
Цюрих
Почитайте про группы и кольца, там есть понятие изоморфизма, вы пытаетесь изобрести изоморфизм между $\mathbb{N}$ по сложению и по умножению.

К сожалению, такого изоморфизма не существует: $x^* = (0 + x)^* = 0^* \cdot x^*$, откуда $0^* = 1$ (либо $x^* = 0$ для любого $x$, но тогда $*$ это не инволюция). Но тогда $1 = 0^* = (0 \cdot 0)^* = 0^* + 0^* = 1 + 1 = 2$.

Зато есть очень простой изоморфизм между вещественными числами по сложению и положительными вещественными числами по умножению. Догадаетесь, какой?
vlad9486 в сообщении #1278935 писал(а):
положим $0 \cdot 0 \ne 0 $
Вот так говорить не надо. $\cdot$ уже определено, и если хотите вводить свою операцию, то надо вводить ее отдельно, а не использовать одно обозначение в двух смыслах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему сложение и умножение так похожи?
Сообщение26.12.2017, 18:07 


09/09/15
79
mihaild в сообщении #1278955 писал(а):
Вот так говорить не надо

Согласен, не аккуратно написал, здесь у меня только натуральные числа (без нуля) и их "звездные" двойники $1 = 0^*$ и $1^* = 0$ это просто обозначения, для привычности.
mihaild в сообщении #1278955 писал(а):
Но тогда $1 = 0^* = (0 \cdot 0)^* = 0^* + 0^* = 1 + 1 = 2$.

Нет же, второе сравнение не верно, $0 \ne 0 \cdot 0$
Пока числа только натуральные, никакие правила для них не меняются, а остальные числа все равно не понятно как вводить, я решил переиспользовать ноль, согласен, не следует это делать, можно ноль везде заменить на другой символ.
mihaild в сообщении #1278955 писал(а):
Догадаетесь, какой?

Экспонента же, а назад - логарифм. Но это немного не то, хочу числа в которых все $+$ можно поменять на $\cdot$ и наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему сложение и умножение так похожи?
Сообщение26.12.2017, 18:46 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ещё почитайте про (дистрибутивные) решётки. Там как раз две операции $\vee,\wedge$, полностью симметричные друг относительно друга. Решётки с дополнением $\neg$ имеют операцию дополнения, которая эту двойственность делает выразимой в самой решётке; ограниченные решётки имеют и нейтральные элементы $0,1$ для каждой. (А дистрибутивная ограниченная решётка с дополнением зовётся булевой алгеброй и, если конечна, изоморфна алгебре подмножеств некоторого множества $\Omega$ по $\cup,\cap,\Omega\setminus{}$; в случае бесконечной интереснее.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему сложение и умножение так похожи?
Сообщение26.12.2017, 19:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9208
Цюрих
vlad9486, тогда совершенно непонятно, где у вас элементы $\mathbb{N}$, где $\mathbb{N}^*$, и какая между ними связь.

Вот у нас есть обычные натуральные числа $(\mathbb{N}, +, \cdot)$. Вы хотите рассмотреть какую-то структуру $(\mathbb{N}^*, +^*, \cdot^*)$ и отображение $*: \mathbb{N} \to \mathbb{N}^*$, так? Какие свойства вы хотите у этого отображения и операций $+^*, \cdot^*$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему сложение и умножение так похожи?
Сообщение26.12.2017, 19:40 


09/09/15
79
Я хочу рассмотреть $\mathbb{N} \cup \mathbb{N}^*$ (может объединение с чем то еще) и ввести там $+$ и $\cdot$. Пока получилось ввести только на $\mathbb{N}^*$, ну и на $\mathbb{N}$ и так есть, попытки их смешать пока ничем хорошим не закончились.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему сложение и умножение так похожи?
Сообщение26.12.2017, 20:34 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Вы можете отталкиваться от
vlad9486 в сообщении #1278935 писал(а):
$$(n^*)^* = n$$$$(n \cdot m)^* = n^* + m^*$$$$(n + m)^* = n^* \cdot m^*$$
пытаясь добавить минимальное необходимое число новых элементов, чтобы удовлетворялись все нужные соотношения между $+$ и $\cdot$, которые работают и на $\mathbb N$ (последнее важно!). Или добавится что-то, или покажете, что нельзя. Кстати, можно совсем отказаться от нуля, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему сложение и умножение так похожи?
Сообщение26.12.2017, 23:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
874
В сущности, mihaild уже указал на недостатки этого подхода. Слишком жесткие требования. Однако, операции сложения и умножения можно "поменять местами", если их подходящим образом переопределить. Например, можно рассмотреть отображение $\varphi:\mathbb{R}(+,\cdot)\to \mathbb{R}^{+}(\cdot,\ast)$, где $\varphi(a)=2^{a}$ и произведение $a\ast b=a^{\log_{2}b}$. Ясно, что $\varphi$ - кольцевой изоморфизм, при котором пара $(0,1)\to(1,2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему сложение и умножение так похожи?
Сообщение26.12.2017, 23:53 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Кстати, глядя на заголовок темы, ещё не читая её, подумал, что вопрос будет, откуда, собственно, похожесть. Тут можно было бы рассмотреть, откуда вообще берутся сложение и умножение целых чисел и дальше, и почему похожесть в общем случае так себе (привет, неассоциативные октонионы). vlad9486, если это всё-таки тоже интересует, скажите явно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему сложение и умножение так похожи?
Сообщение27.12.2017, 12:49 


09/09/15
79
Да, интересует, я надеялся что разговор перейдет к этому.

-- 27.12.2017, 11:53 --

lek в сообщении #1279071 писал(а):
В сущности, mihaild уже указал на недостатки этого подхода. Слишком жесткие требования. Однако, операции сложения и умножения можно "поменять местами", если их подходящим образом переопределить. Например, можно рассмотреть отображение $\varphi:\mathbb{R}(+,\cdot)\to \mathbb{R}^{+}(\cdot,\ast)$, где $\varphi(a)=2^{a}$ и произведение $a\ast b=a^{\log_{2}b}$. Ясно, что $\varphi$ - кольцевой изоморфизм, при котором пара $(0,1)\to(1,2)$.

Я читал где-то, что есть цепочка бинарных операций, где
$a+_{n + 1}b=2^{\log_{2}a+_{n}\log_{2}b}$

Если $+_0$ это обычное сложение, то $+_1$ это умножение, но $+_2$ не степень и это огорчает. Все они ассоциативные и коммутативные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему сложение и умножение так похожи?
Сообщение27.12.2017, 16:49 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
vlad9486 в сообщении #1279129 писал(а):
но $+_2$ не степень и это огорчает
Возведение в степень вообще «плохая» операция.

vlad9486 в сообщении #1279129 писал(а):
Да, интересует, я надеялся что разговор перейдет к этому.
Хорошо. Что объединяет натуральные (без нуля и с нулём) и целые числа и делает их в какой-то степени простыми — это то, что это свободные объекты с одним порождающим элементом (обозначим его $u$), соответственно, полугруппа, моноид и группа. Тут нам ещё весьма везёт с тем, что операция (полугруппы, моноида или группы) будет некоммутативной, если взять хотя бы два порождающих; если взять ноль, ничего интересного у нас не будет (пустая полугруппа, моноид или группа из одного элемента).

Итак, возьмём сразу целые числа $\mathbb Z$. Мы их уже умеем складывать, т. к. упомянутая коммутативная операция — это сложение. Ассоциативная и имеющая нейтральный элемент 0 она у нас по определению — вроде, на этом и закончили. Рассмотрим теперь эндоморфизмы $(\mathbb Z,+)$ — это аддитивные ($f(m+n) = f(m) + f(n)$) целочисленные функции, каждую из которых можно задать её значением в $u$. Этим значением может быть любое целое число, так что у нас есть отображение $\varphi\colon\mathbb Z\to\mathrm{End}(\mathbb Z,+)$. Умножением назовём операцию $m\cdot n \equiv \varphi(m)(n)$. А вот теперь вам задача, покажите его свойства (и про нейтральный элемент не забудьте!).

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему сложение и умножение так похожи?
Сообщение27.12.2017, 17:36 


09/09/15
79
$\varphi$ можно применять несколько раз, тогда уж $\varphi:\mathrm{End}(\mathbb Z,+) \to \mathrm{End}(\mathbb Z,+)$, различные эндоморфизмы и умножение нужно записывать $\varphi(m\cdot n) \equiv \varphi(m)(n)$. Если я правильно понял $\varphi$ возвращает элемент множества, в котором роль $u$ выполняет $f(u)$, где $f$ однозначно соответствует $\varphi$? C нейтральным элементом просто, это наверное такое $\varphi(1)$, в которого $f$ переводит $u$ в $u$ (себя). Тогда $\varphi(1 \cdot m) = \varphi(1)(m) = \varphi(m)$. Коммутативность как-то через аддитивность $f$ надо показывать, но я пока хочу что бы вы откорректировали мое, возможно неправильное, понимание того что есть, что бы не писать глупости раньше времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему сложение и умножение так похожи?
Сообщение27.12.2017, 17:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9208
Цюрих
vlad9486 в сообщении #1279171 писал(а):
$\varphi$ можно применять несколько раз, тогда уж $\varphi:\mathrm{End}(\mathbb Z,+) \to \mathrm{End}(\mathbb Z,+)$,
Нет, $\phi$ берет целое число и выдает по нему эндоморфизм, причем по целому числу $x$ она выдает эндоморфизм $f_x = \phi(x)$ такой что $f_x(u) = x$.
$\phi$ задается этим определением однозначно (кстати нужно доказать, что эндоморфизм однозначно задается своим значением в $u$).
Теперь мы вводим новую операцию $\cdot: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ следующим образом: $\cdot(x, y) = \phi(x)(y)$, для удобства будем записывать $\cdot(x, y)$ как $x \cdot y$.
Чтобы найти (левый) нейтральный элемент этой операции, вам надо найти такое $a$, что для всех $x$ будет $a \cdot x = x$. Или, что то же самое, найти значение в $u$ тождественного эндоморфизма (попробуйте расписать, почему это то же самое).

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему сложение и умножение так похожи?
Сообщение27.12.2017, 17:55 


09/09/15
79
Так понятнее, пробую. То есть если применить $\phi$ к $x$ то получим эндоморфизм, а потом применив эндоморфизм к другому числу получается число, которое и есть результатом умножения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему сложение и умножение так похожи?
Сообщение27.12.2017, 17:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9208
Цюрих
vlad9486 в сообщении #1279177 писал(а):
потом применив эндоморфизм к другому числу получается число, которое и есть результатом умножения?
Да, именно так (результат умножения этого другого числа на $x$).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group