проверка на дифференцируемость в точке

[Aiyyaa]

Помогите мне пожалуйста разобраться с заданием
Есть функционал
$f: R^5 \to R, f(x)=\sum\limits_{i=1}^{5}|x_i-i|$, и точка $x_0=(1,0,2,1,-2)$
Необходимо проверить существование в точке $x_0$ производной по направлению, вариацию по Лагранжу и производные по Гато и Фреше.
Проверяем существование функции по направлению:
$\lim\limits_{\lambda \to 0}\frac{f(x_0-\lambda \cdot h)-f(x_0)}{\lambda}=\frac{|x_1-1-\lambda \cdot h_1|+|x_2-0-\lambda \cdot h_2|+|x_3-2-\lambda \cdot h_3|+|x_4-1-\lambda \cdot h_4|+|x_5+2-\lambda \cdot h_5|}{\lambda}=\frac{\lambda \cdot h_1+2 \lambda \cdot h_2+1+\lambda \cdot h_3+3+\lambda \cdot h_4+7+\lambda \cdot h_5}{\lambda}=\frac{\lambda \cdot h_1+2+ \lambda \cdot h_2+1+\lambda \cdot h_3+3+\lambda \cdot h_4+7+\lambda \cdot h_5}{\lambda}=\frac{13+\lambda \cdot h_1+ \lambda \cdot h_2+\lambda \cdot h_3+\lambda \cdot h_4+\lambda \cdot h_5}{\lambda}=\frac{13+\lambda ( h_1+ h_2+ h_3+ h_4+ h_5)}{\lambda}$
мне не понятно, как дальше решать этот предел, подскажите пожалуйста как. Потому что если он равен бесконечности, то дальше проверять не нужно существование вариации по Лагранжу, Гато и Фреше.

[Lia]

Aiyyaa
По какому направлению? По какому-то, может, есть, а по другому нет. Как в задаче?

[Aiyyaa]

я не знаю, по какому направлению, всё что дано в условии задачи это
$f: R^5 \to R, f(x)=\sum\limits_{i=1}^{5}|x_i-i|$, и точка $x_0=(1,0,2,1,-2)$,
в которой нужно проверить существование производных.

[Markiyan Hirnyk]

Рассматриваемая функция $f(x_1,x_2,x_2,x_4,x_5):=|x_1-1|+|x_2-2|+|x_3-3|+|x_4-4|+|x_5-5|$ сепарабельна.
Ее частная производная по $x_1$ в точке $x_0$ не существует (Остальные частные производные в точке $x_0$ определены.). Следовательно, функция не дифференцируема в $x_0.$

[Aiyyaa]

а как это показать по определению, но есть через предел
$\lim\limits_{\lambda \to 0}\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{\lambda}$?

[Lia]

Aiyyaa в сообщении #1278748 писал(а):

а как это показать по определению, но есть через предел
$\lim\limits_{\lambda \to 0}\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{\lambda}$?

Aiyyaa
Никак. Во-первых, это вовсе ничье определение, во-вторых оно никак не относится к тому, что писал предыдущий оратор. В-третьих, Вы что сейчас делаете, производную по Гато или по Фреше? в какой точке? Тема точки не раскрыта.
Чтобы

Aiyyaa в сообщении #1278709 писал(а):

проверить существование в точке $x_0$ производной по направлению

, должно быть задано направление, иначе задание звучит... неполно, скажу так.

[Brukvalub]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1278740 писал(а):

Следовательно, функция не дифференцируема в $x_0.$

Самое забавное, что в задаче про дифференцируемость как раз и не спрашивалось.

[Aiyyaa]

точка $x_0 $ задана, а так как конкретное направление $h$ в условии задачи не задано, значит нужно проверять на наличие вариации по Лагранжу?
вот определение вариации по Лагранжу:
если для отображения $f$ в точке $x_0$ существует
$\lim\limits_{\lambda \to 0}\frac{f(x_0+\lambda h)-f(x_0)}{\lambda} $ для любого вектора $h$, то в точке $x_0$ существует вариация по Лагранжу.
как мне через это определение проверять наличие или отсутствие производной?

или тут нужно через производную по Фреше проверять, и если существует производная по Фреше, Если существует производная по Фреше, то и все остальные производные существуют.
определение производной по Фреше:
Отображение $f$ называется дифференцируемым по Фреше в точке $x_0$, если существует линейный непрерывный оператор $f'(x_0):X \to Y$ и отображение $r:X \to Y$ такие, что
$f(x_0+h)-f(x_0)=f'(x_0)[h]+r(h)$ и $f'(x_)$ и будет производной по Фреше.

[Lia]

Aiyyaa в сообщении #1278761 писал(а):

как мне через это определение проверять наличие или отсутствие производной?

Видимо, взять, все аккуратно подставить и посмотреть, существует ли этот предел для любого $h$.

[Someone]

Aiyyaa в сообщении #1278761 писал(а):

отображение $r:X \to Y$

Это что, совсем произвольное отображение? Или от него что-то требуется?

[Brukvalub]

Aiyyaa в сообщении #1278761 писал(а):

как мне через это определение проверять наличие или отсутствие производной?

Если есть производная по Лагранжу, то что можно сказать о частных производных?

[Markiyan Hirnyk]

Если обсуждать тему в конструктивном ключе, то производная функции $f(x)$ в направлении вектора $a=(a_1,\dots,a_5)$, нормированного условием $a_1^2+\cdots+a_5^2=1,$ в точке $x_0$ существует и равняется $a_1-a_2-a_3-a_4-a_5,$ если $a_1 >0$, $-a_1-a_2-a_3-a_4-a_5,$ если $a_1 < 0$ и $-a_2-a_3-a_4-a_5,$ если $a_1 =0$.

[DeBill]

Aiyyaa
В Вашем первом посте имеются следующие ошибки:
1. потеряно слагаемое $-f(x_0)$ (так что нехорошее 13 в числителе пропадет. И жить станет легко, но...)
2. Есть ошибка в знаке - исправленная Вами в Вашем посте 4 (но не в 3).
3. Надо $\left\lvert h_1\right\rvert$ вместо $h_1$, но -только здесь

[Karan]

Markiyan Hirnyk, предупреждение за решение простой учебной задачи

[Aiyyaa]

DeBill в сообщении #1278819 писал(а):

3. Надо $\left\lvert h_1\right\rvert$ вместо $h_1$, но -только здесь

почему тут нужен модуль?

Brukvalub в сообщении #1278794 писал(а):

Если есть производная по Лагранжу, то что можно сказать о частных производных?

то что все частные производные есть и они непрерывны

Markiyan Hirnyk в сообщении #1278805 писал(а):

то производная функции $f(x)$ в направлении вектора $a=(a_1,\dots,a_5)$, нормированного условием $a_1^2+\cdots+a_5^2=1,$

откуда тут берётся это условие? Почему сумма квадратов $h_i$ должна быть равна 1? И дальше мне не понятно

вот что получается после сокращений:
$\lim\limits_{\lambda \to 0}\frac{f(x_0+\lambda h)-f(x_0)}{\lambda} = \frac{\lambda (|h_1|+h_2+ h_3+ h_4+ h_5)}{\lambda}$
и этот предел равен:
$(|h_1|+h_2+h_3+h_4+h_5)$
что из этого решения этого предела следует? Тут есть дифференцируемость по Лагранжу? И если есть то как дальше проверять есть ли производная по Гато?