2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение25.12.2017, 21:47 


14/04/15
187
Помогите мне пожалуйста разобраться с заданием
Есть функционал
$f: R^5 \to R, f(x)=\sum\limits_{i=1}^{5}|x_i-i|$, и точка $x_0=(1,0,2,1,-2)$
Необходимо проверить существование в точке $x_0$ производной по направлению, вариацию по Лагранжу и производные по Гато и Фреше.
Проверяем существование функции по направлению:
$\lim\limits_{\lambda \to 0}\frac{f(x_0-\lambda \cdot h)-f(x_0)}{\lambda}=\frac{|x_1-1-\lambda \cdot h_1|+|x_2-0-\lambda \cdot h_2|+|x_3-2-\lambda \cdot h_3|+|x_4-1-\lambda \cdot h_4|+|x_5+2-\lambda \cdot h_5|}{\lambda}=\frac{\lambda \cdot h_1+2 \lambda \cdot h_2+1+\lambda \cdot h_3+3+\lambda \cdot h_4+7+\lambda \cdot h_5}{\lambda}=\frac{\lambda \cdot h_1+2+ \lambda \cdot h_2+1+\lambda \cdot h_3+3+\lambda \cdot h_4+7+\lambda \cdot h_5}{\lambda}=\frac{13+\lambda \cdot h_1+ \lambda \cdot h_2+\lambda \cdot h_3+\lambda \cdot h_4+\lambda \cdot h_5}{\lambda}=\frac{13+\lambda (  h_1+  h_2+  h_3+ h_4+  h_5)}{\lambda}$
мне не понятно, как дальше решать этот предел, подскажите пожалуйста как. Потому что если он равен бесконечности, то дальше проверять не нужно существование вариации по Лагранжу, Гато и Фреше.

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение25.12.2017, 22:00 


20/03/14
12041
Aiyyaa
По какому направлению? По какому-то, может, есть, а по другому нет. Как в задаче?

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение25.12.2017, 22:16 


14/04/15
187
я не знаю, по какому направлению, всё что дано в условии задачи это
$f: R^5 \to R, f(x)=\sum\limits_{i=1}^{5}|x_i-i|$, и точка $x_0=(1,0,2,1,-2)$,
в которой нужно проверить существование производных.

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение25.12.2017, 23:11 


11/07/16
801
Рассматриваемая функция $f(x_1,x_2,x_2,x_4,x_5):=|x_1-1|+|x_2-2|+|x_3-3|+|x_4-4|+|x_5-5|$ сепарабельна.
Ее частная производная по $x_1$ в точке $x_0$ не существует (Остальные частные производные в точке $x_0$ определены.). Следовательно, функция не дифференцируема в $x_0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение26.12.2017, 00:03 


14/04/15
187
а как это показать по определению, но есть через предел
$\lim\limits_{\lambda \to 0}\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{\lambda}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение26.12.2017, 00:09 


20/03/14
12041
Aiyyaa в сообщении #1278748 писал(а):
а как это показать по определению, но есть через предел
$\lim\limits_{\lambda \to 0}\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{\lambda}$?

Aiyyaa
Никак. Во-первых, это вовсе ничье определение, во-вторых оно никак не относится к тому, что писал предыдущий оратор. В-третьих, Вы что сейчас делаете, производную по Гато или по Фреше? в какой точке? Тема точки не раскрыта.
Чтобы
Aiyyaa в сообщении #1278709 писал(а):
проверить существование в точке $x_0$ производной по направлению
, должно быть задано направление, иначе задание звучит... неполно, скажу так.

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение26.12.2017, 00:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Markiyan Hirnyk в сообщении #1278740 писал(а):
Следовательно, функция не дифференцируема в $x_0.$
Самое забавное, что в задаче про дифференцируемость как раз и не спрашивалось. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение26.12.2017, 01:07 


14/04/15
187
точка $x_0 $ задана, а так как конкретное направление $h$ в условии задачи не задано, значит нужно проверять на наличие вариации по Лагранжу?
вот определение вариации по Лагранжу:
если для отображения $f$ в точке $x_0$ существует
$\lim\limits_{\lambda \to 0}\frac{f(x_0+\lambda h)-f(x_0)}{\lambda} $ для любого вектора $h$, то в точке $x_0$ существует вариация по Лагранжу.
как мне через это определение проверять наличие или отсутствие производной?

или тут нужно через производную по Фреше проверять, и если существует производная по Фреше, Если существует производная по Фреше, то и все остальные производные существуют.
определение производной по Фреше:
Отображение $f$ называется дифференцируемым по Фреше в точке $x_0$, если существует линейный непрерывный оператор $f'(x_0):X \to Y$ и отображение $r:X \to Y$ такие, что
$f(x_0+h)-f(x_0)=f'(x_0)[h]+r(h)$ и $f'(x_)$ и будет производной по Фреше.

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение26.12.2017, 01:10 


20/03/14
12041
Aiyyaa в сообщении #1278761 писал(а):
как мне через это определение проверять наличие или отсутствие производной?

Видимо, взять, все аккуратно подставить и посмотреть, существует ли этот предел для любого $h$.

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение26.12.2017, 01:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Aiyyaa в сообщении #1278761 писал(а):
отображение $r:X \to Y$
Это что, совсем произвольное отображение? Или от него что-то требуется?

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение26.12.2017, 09:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Aiyyaa в сообщении #1278761 писал(а):
как мне через это определение проверять наличие или отсутствие производной?

Если есть производная по Лагранжу, то что можно сказать о частных производных?

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение26.12.2017, 10:18 


11/07/16
801
Если обсуждать тему в конструктивном ключе, то производная функции $f(x)$ в направлении вектора $a=(a_1,\dots,a_5)$, нормированного условием $a_1^2+\cdots+a_5^2=1,$ в точке $x_0$ существует и равняется $a_1-a_2-a_3-a_4-a_5,$ если $a_1 >0$, $-a_1-a_2-a_3-a_4-a_5,$ если $a_1 < 0$ и $-a_2-a_3-a_4-a_5,$ если $a_1 =0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение26.12.2017, 11:27 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Aiyyaa
В Вашем первом посте имеются следующие ошибки:
1. потеряно слагаемое $-f(x_0)$ (так что нехорошее 13 в числителе пропадет. И жить станет легко, но...)
2. Есть ошибка в знаке - исправленная Вами в Вашем посте 4 (но не в 3).
3. Надо $\left\lvert h_1\right\rvert$ вместо $h_1$, но -только здесь

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение26.12.2017, 11:44 
Модератор


19/10/15
1196
 !  Markiyan Hirnyk, предупреждение за решение простой учебной задачи

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение26.12.2017, 11:48 


14/04/15
187
DeBill в сообщении #1278819 писал(а):
3. Надо $\left\lvert h_1\right\rvert$ вместо $h_1$, но -только здесь

почему тут нужен модуль?
Brukvalub в сообщении #1278794 писал(а):
Если есть производная по Лагранжу, то что можно сказать о частных производных?

то что все частные производные есть и они непрерывны

Markiyan Hirnyk в сообщении #1278805 писал(а):
то производная функции $f(x)$ в направлении вектора $a=(a_1,\dots,a_5)$, нормированного условием $a_1^2+\cdots+a_5^2=1,$

откуда тут берётся это условие? Почему сумма квадратов $h_i$ должна быть равна 1? И дальше мне не понятно

вот что получается после сокращений:
$\lim\limits_{\lambda \to 0}\frac{f(x_0+\lambda h)-f(x_0)}{\lambda} = \frac{\lambda (|h_1|+h_2+  h_3+ h_4+  h_5)}{\lambda}$
и этот предел равен:
$(|h_1|+h_2+h_3+h_4+h_5)$
что из этого решения этого предела следует? Тут есть дифференцируемость по Лагранжу? И если есть то как дальше проверять есть ли производная по Гато?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gg322


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group