2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение25.12.2017, 21:47 


14/04/15
187
Помогите мне пожалуйста разобраться с заданием
Есть функционал
$f: R^5 \to R, f(x)=\sum\limits_{i=1}^{5}|x_i-i|$, и точка $x_0=(1,0,2,1,-2)$
Необходимо проверить существование в точке $x_0$ производной по направлению, вариацию по Лагранжу и производные по Гато и Фреше.
Проверяем существование функции по направлению:
$\lim\limits_{\lambda \to 0}\frac{f(x_0-\lambda \cdot h)-f(x_0)}{\lambda}=\frac{|x_1-1-\lambda \cdot h_1|+|x_2-0-\lambda \cdot h_2|+|x_3-2-\lambda \cdot h_3|+|x_4-1-\lambda \cdot h_4|+|x_5+2-\lambda \cdot h_5|}{\lambda}=\frac{\lambda \cdot h_1+2 \lambda \cdot h_2+1+\lambda \cdot h_3+3+\lambda \cdot h_4+7+\lambda \cdot h_5}{\lambda}=\frac{\lambda \cdot h_1+2+ \lambda \cdot h_2+1+\lambda \cdot h_3+3+\lambda \cdot h_4+7+\lambda \cdot h_5}{\lambda}=\frac{13+\lambda \cdot h_1+ \lambda \cdot h_2+\lambda \cdot h_3+\lambda \cdot h_4+\lambda \cdot h_5}{\lambda}=\frac{13+\lambda (  h_1+  h_2+  h_3+ h_4+  h_5)}{\lambda}$
мне не понятно, как дальше решать этот предел, подскажите пожалуйста как. Потому что если он равен бесконечности, то дальше проверять не нужно существование вариации по Лагранжу, Гато и Фреше.

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение25.12.2017, 22:00 


20/03/14
12041
Aiyyaa
По какому направлению? По какому-то, может, есть, а по другому нет. Как в задаче?

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение25.12.2017, 22:16 


14/04/15
187
я не знаю, по какому направлению, всё что дано в условии задачи это
$f: R^5 \to R, f(x)=\sum\limits_{i=1}^{5}|x_i-i|$, и точка $x_0=(1,0,2,1,-2)$,
в которой нужно проверить существование производных.

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение25.12.2017, 23:11 


11/07/16
801
Рассматриваемая функция $f(x_1,x_2,x_2,x_4,x_5):=|x_1-1|+|x_2-2|+|x_3-3|+|x_4-4|+|x_5-5|$ сепарабельна.
Ее частная производная по $x_1$ в точке $x_0$ не существует (Остальные частные производные в точке $x_0$ определены.). Следовательно, функция не дифференцируема в $x_0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение26.12.2017, 00:03 


14/04/15
187
а как это показать по определению, но есть через предел
$\lim\limits_{\lambda \to 0}\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{\lambda}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение26.12.2017, 00:09 


20/03/14
12041
Aiyyaa в сообщении #1278748 писал(а):
а как это показать по определению, но есть через предел
$\lim\limits_{\lambda \to 0}\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{\lambda}$?

Aiyyaa
Никак. Во-первых, это вовсе ничье определение, во-вторых оно никак не относится к тому, что писал предыдущий оратор. В-третьих, Вы что сейчас делаете, производную по Гато или по Фреше? в какой точке? Тема точки не раскрыта.
Чтобы
Aiyyaa в сообщении #1278709 писал(а):
проверить существование в точке $x_0$ производной по направлению
, должно быть задано направление, иначе задание звучит... неполно, скажу так.

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение26.12.2017, 00:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Markiyan Hirnyk в сообщении #1278740 писал(а):
Следовательно, функция не дифференцируема в $x_0.$
Самое забавное, что в задаче про дифференцируемость как раз и не спрашивалось. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение26.12.2017, 01:07 


14/04/15
187
точка $x_0 $ задана, а так как конкретное направление $h$ в условии задачи не задано, значит нужно проверять на наличие вариации по Лагранжу?
вот определение вариации по Лагранжу:
если для отображения $f$ в точке $x_0$ существует
$\lim\limits_{\lambda \to 0}\frac{f(x_0+\lambda h)-f(x_0)}{\lambda} $ для любого вектора $h$, то в точке $x_0$ существует вариация по Лагранжу.
как мне через это определение проверять наличие или отсутствие производной?

или тут нужно через производную по Фреше проверять, и если существует производная по Фреше, Если существует производная по Фреше, то и все остальные производные существуют.
определение производной по Фреше:
Отображение $f$ называется дифференцируемым по Фреше в точке $x_0$, если существует линейный непрерывный оператор $f'(x_0):X \to Y$ и отображение $r:X \to Y$ такие, что
$f(x_0+h)-f(x_0)=f'(x_0)[h]+r(h)$ и $f'(x_)$ и будет производной по Фреше.

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение26.12.2017, 01:10 


20/03/14
12041
Aiyyaa в сообщении #1278761 писал(а):
как мне через это определение проверять наличие или отсутствие производной?

Видимо, взять, все аккуратно подставить и посмотреть, существует ли этот предел для любого $h$.

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение26.12.2017, 01:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Aiyyaa в сообщении #1278761 писал(а):
отображение $r:X \to Y$
Это что, совсем произвольное отображение? Или от него что-то требуется?

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение26.12.2017, 09:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Aiyyaa в сообщении #1278761 писал(а):
как мне через это определение проверять наличие или отсутствие производной?

Если есть производная по Лагранжу, то что можно сказать о частных производных?

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение26.12.2017, 10:18 


11/07/16
801
Если обсуждать тему в конструктивном ключе, то производная функции $f(x)$ в направлении вектора $a=(a_1,\dots,a_5)$, нормированного условием $a_1^2+\cdots+a_5^2=1,$ в точке $x_0$ существует и равняется $a_1-a_2-a_3-a_4-a_5,$ если $a_1 >0$, $-a_1-a_2-a_3-a_4-a_5,$ если $a_1 < 0$ и $-a_2-a_3-a_4-a_5,$ если $a_1 =0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение26.12.2017, 11:27 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Aiyyaa
В Вашем первом посте имеются следующие ошибки:
1. потеряно слагаемое $-f(x_0)$ (так что нехорошее 13 в числителе пропадет. И жить станет легко, но...)
2. Есть ошибка в знаке - исправленная Вами в Вашем посте 4 (но не в 3).
3. Надо $\left\lvert h_1\right\rvert$ вместо $h_1$, но -только здесь

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение26.12.2017, 11:44 
Модератор


19/10/15
1196
 !  Markiyan Hirnyk, предупреждение за решение простой учебной задачи

 Профиль  
                  
 
 Re: проверка на дифференцируемость в точке
Сообщение26.12.2017, 11:48 


14/04/15
187
DeBill в сообщении #1278819 писал(а):
3. Надо $\left\lvert h_1\right\rvert$ вместо $h_1$, но -только здесь

почему тут нужен модуль?
Brukvalub в сообщении #1278794 писал(а):
Если есть производная по Лагранжу, то что можно сказать о частных производных?

то что все частные производные есть и они непрерывны

Markiyan Hirnyk в сообщении #1278805 писал(а):
то производная функции $f(x)$ в направлении вектора $a=(a_1,\dots,a_5)$, нормированного условием $a_1^2+\cdots+a_5^2=1,$

откуда тут берётся это условие? Почему сумма квадратов $h_i$ должна быть равна 1? И дальше мне не понятно

вот что получается после сокращений:
$\lim\limits_{\lambda \to 0}\frac{f(x_0+\lambda h)-f(x_0)}{\lambda} = \frac{\lambda (|h_1|+h_2+  h_3+ h_4+  h_5)}{\lambda}$
и этот предел равен:
$(|h_1|+h_2+h_3+h_4+h_5)$
что из этого решения этого предела следует? Тут есть дифференцируемость по Лагранжу? И если есть то как дальше проверять есть ли производная по Гато?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group