Об аффинных пространствах и грудах

[arseniiv]

Давеча я наконец-то решил довести до ума старинную идею задать аффинное пространство аксиоматически как коммутативную груду $A$ (коммутативность означает $[a,b,c] = [c,b,a]$) с дополнительными свойствами, а именно операцией $\langle\;,\;,\;\rangle\colon A\times K\times A\to A$, где $K$ — поле, такой, что выполняются аксиомы, аналогичные последним четырём аксиомам линейного пространства (когда оно задаётся восемью отдельными аксиомами, а не более кратко):

1. $\langle x,\lambda\mu, y\rangle = \langle x,\lambda,\langle x,\mu, y\rangle\rangle$ (аналогична $(\lambda\mu)\mathbf v = \lambda(\mu\mathbf v)$);
2. $\langle x, 1, y\rangle = y$ (аналогична $1\mathbf v = \mathbf v$);
3. $\langle x,\lambda, z\rangle = [\langle x,\lambda, y\rangle,y,\langle y,\lambda, z\rangle]$ (аналогична $\lambda(\mathbf u + \mathbf v) = \lambda\mathbf u + \lambda\mathbf v$);
4. $\langle x,\lambda+\mu, y\rangle = [\langle x,\lambda, y\rangle,x,\langle x,\mu, y\rangle]$ (аналогична $(\lambda + \mu)\mathbf v = \lambda\mathbf v + \mu\mathbf v$).

Это вполне себе красиво, но хочется сделать короче: соответствующие аксиомы векторного пространства можно заменить словами «существует гомоморфизм колец $f\colon K\to\operatorname{End}(V)$» и определить умножение на скаляр так: $\alpha\mathbf v = f(\alpha)(\mathbf v)$. Начал конструировать что-то аналогичное и, например, убедился, что моноид эндоморфизмов груды можно тоже сделать грудой, получив некоторую аналогию кольцу (назовём её, если вдруг понадобится ниже, крыльцом), но это никак не помогло выразить операцию $\langle\ldots\rangle$, т. к. неоткуда брать один из её аргументов (и как я сразу не сообразил, когда начинал). Тогда я глянул на $\operatorname{Hom}(A\oplus A,A)$ ($A\oplus A$ — это $A\times A$ с операцией $[(a,a'),(b,b'),(c,c')] = ([a,b,c],[a',b',c'])$), но сразу понял, что композиции-то тут уже нет, и всякая аналогия с кольцом теряется. В общем, не знаю, можно ли что-то сочинить — может, кто-то знает или придумает. Странно будет, если совершенно никакой аналогии тут построить нельзя.

[arseniiv]

Заметив тогда почти сразу, что написал выше бред про $\operatorname{Hom}(A\oplus A,A)$, полностью вернулся к этому только сейчас. Вместо того надо потребовать, чтобы была функция $f\colon A\to\operatorname{Hom}(K,\operatorname{End}(A))$, от которой ещё кое-что придётся попросить дальше, и определить $\langle x,\lambda,y\rangle = f(x)(\lambda)(y)$.

Сразу же можно получить аксиомы 1 и 2, а при требовании $f(x)(0)(y) = x$ для всех $x,y\in A$ — ещё и 4 (как его описать поестественнее, подумаем потом) из поведения гомоморфизма на произведении, единице кольца и сумме. А вот 3 у меня ни в какую не выходит. По идее, это должно следовать из эндоморфности $f(x)(\lambda)$ — аналогично аксиоме линейного пространства, из которой я получил саму 3. Получается, однако, не вызывающее лично у меня полезных ассоциаций с 3 выражение

$$\langle w,\lambda,[x,y,z]\rangle = [\langle w,\lambda,x\rangle, \langle w,\lambda,y\rangle, \langle w,\lambda,z\rangle],$$

и фантазии не хватает, чтобы увидеть, нужно какое-то ещё добавочное условие наложить, или не хватает каких-то хитрых преобразований. Было бы неплохо, если бы кто-нибудь всё-таки вчитался в это безобразие и что-нибудь предложил.

(Вообще кое-какие соображения, что попробовать, имеются: посмотреть, какие нужны условия, чтобы $f(x)$ порождало тот самый эндоморфизм колец, используемый в определении векторного пространства, которое мы получим, беря $x$ за нейтральный элемент. Если это будет построено, можно будет всё остальное вывести как сделано исходно. Но пока чуть-чуть лень.)

UPD. Эта программа сработала прекрасно для 1, 2 и 4 — условие с нулём появилось естественно — но опять никак для 3, а чего я не учёл, не вижу. Но хотя бы сформулировал эквивалентное 3 (в присутствии остальных) утверждение $[\langle y, \lambda, x\rangle, y, z] = \langle z, \lambda, [x, y, z]\rangle$, чуть более геометрически ясное.

[arseniiv]

Для тех, кому вдруг интересно, оказалось, на nLab альтернативные аксиоматизации тоже рассматривались, но нашёл я ту страницу почему-то только через какой-то из сайтов SE.

[lek]

arseniiv, довольно любопытная конструкция. Внесу свои две копейки. Во-первых, из теоремы Бэра-Вагнера (см. Курош, пар. 5) следует, тернарная операция в груде всегда может быть выражена через групповые операции. В частности, если груда коммутативна, то соответствующая группа абелева и $[xyz]=x-y+z$. И во-вторых, равенства 1-4 (и подобные им) можно получать используя стандартную аксиоматику линейного пространства, если положить $\langle x,\lambda,y\rangle=[x,\lambda x,\lambda y]=x-\lambda x+\lambda y$.

[arseniiv]

О, хорошо, хоть кому-то интересно!

lek в сообщении #1278476 писал(а):

В частности, если груда коммутативна, то соответствующая группа абелева и $[xyz]=x-y+z$.

Угу, для в общем случае неабелевой тоже можно сказать $[x,y,z] = xy^{-1}z$.

lek в сообщении #1278476 писал(а):

И во-вторых, равенства 1-4 (и подобные им) можно получать используя стандартную аксиоматику линейного пространства, если положить $\langle x,\lambda,y\rangle=[x,\lambda x,\lambda y]=x-\lambda x+\lambda y$.

Именно так я их и получил.

[lek]

arseniiv в сообщении #1278483 писал(а):

Именно так я их и получил.

А чем обусловлен такой выбор представления для $\langle x,\lambda,y\rangle$ ? Я то исходил из уже данных тождеств 1-4.

[arseniiv]

А, точно, я в первом посте сокращал-сокращал и забыл написать. Геометрически-то это гомотетия точки $y$ с центром $x$ и коэффициентом растяжения $\lambda$; с другой стороны, это не менее естественная аффинная комбинация $\mu x + \lambda y, \mu+\lambda = 1$, ну и тут только порядок точек выбран произвольно.

[lek]

Понятно.

[arseniiv]

Вернулся сегодня к этой аксиоматизации, добавив евклидовости так:

$\{{\cdot},{\cdot},{\cdot}\}\colon A^3\to K$; по смыслу $\{a, b, c\} = (a-b)\cdot(c-b)$, где $\cdot$ — скалярное произведение;
5. $\{b, a, c\} = \{c, a, b\}$ (симметричность скалярного произведения)
6. $\{[b, a, c], a, d\} = \{b, a, d\} + \{c, a, d\}$ (аддитивность с. п. по первому аргументу)
7. $\{\langle a, \lambda, b\rangle, a, c\} = \lambda\{b, a, c\}$ (однородность с. п. по первому аргументу)
8. $a \ne b \Rightarrow \{b, a, b\} > 0$ (положительная определённость с. п.)
9. $\{b, a, [a, c, d]\} = \{[b, a, c], c, d\}$ — инвариантность относительно параллельного переноса

И тщетно пытался выкинуть 9. Не могу себе прозрачно показать, обязательна она или нет.

-- Чт мар 14, 2019 02:57:27 --

arseniiv в сообщении #1381728 писал(а):

Не могу себе прозрачно показать, обязательна она или нет.

А, хм, теперь я аккуратнее посмотрел, и стало заметно очевиднее, что нужна: 5…8 не позволяют связать значения выражений $\{\ldots,a,\ldots\}$ и $\{\ldots,a',\ldots\}$ с $a\ne a'$. Но вдруг что-то всё равно упустил.

-- Чт мар 14, 2019 03:04:32 --

Ещё можно поискать более компактный эквивалент 9 (меньше переменных, меньше вложенность).

[george66]

Сейчас думаю про груды и торсоры в связи с аксиомами эллиптического пространства. Там есть "левые" и "правые" параллельные переносы, и те, и другие действуют на множестве точек просто транзитивно, причём левые переносы коммутируют с правыми (а между собой нет). Через каждую точку можно провести "левую" и "правую" параллели к данной прямой. Надо как-то радикально упростить, с грудами работать невозможно.

[arseniiv]

Ну раз вы уже выделили параллельные переносы, пусть будет описание с их участием, множество с действиями нескольких групп. То, что я делал в этой теме, интересно скорее со стороны минимализма. (Кстати я решил заменить скалярное произведение метрикой, аксиоматизируя операцию $\{a,b\} = \lVert a-b\rVert$. Мне не совсем понравилось, что нужно делать, чтобы показать свойства восстановленной по ней $\{\cdot,\cdot,\cdot\}$, но в принципе она поближе к классике.)

(Кстати если вдруг напрягает вложение друг в друга кучи квадратных скобок, то внутренние можно не писать, определив $(2n+1)$-местные операции $[\ldots]$ благодаря аналогу ассоциативности. Это довольно очевидно, но может быть кому-то неизвестно, тем более что я не ссылался тут ни на какую литературу, где основные сведения о грудах излагаются по порядку.)

-- Чт мар 21, 2019 00:12:22 --

george66 в сообщении #1383207 писал(а):

просто транзитивно

Мхм…