2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Об аффинных пространствах и грудах
Сообщение05.11.2017, 23:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145
Давеча я наконец-то решил довести до ума старинную идею задать аффинное пространство аксиоматически как коммутативную груду $A$ (коммутативность означает $[a,b,c] = [c,b,a]$) с дополнительными свойствами, а именно операцией $\langle\;,\;,\;\rangle\colon A\times K\times A\to A$, где $K$ — поле, такой, что выполняются аксиомы, аналогичные последним четырём аксиомам линейного пространства (когда оно задаётся восемью отдельными аксиомами, а не более кратко):

1. $\langle x,\lambda\mu, y\rangle = \langle x,\lambda,\langle x,\mu, y\rangle\rangle$ (аналогична $(\lambda\mu)\mathbf v = \lambda(\mu\mathbf v)$);
2. $\langle x, 1, y\rangle = y$ (аналогична $1\mathbf v = \mathbf v$);
3. $\langle x,\lambda, z\rangle = [\langle x,\lambda, y\rangle,y,\langle y,\lambda, z\rangle]$ (аналогична $\lambda(\mathbf u + \mathbf v) = \lambda\mathbf u + \lambda\mathbf v$);
4. $\langle x,\lambda+\mu, y\rangle = [\langle x,\lambda, y\rangle,x,\langle x,\mu, y\rangle]$ (аналогична $(\lambda + \mu)\mathbf v = \lambda\mathbf v + \mu\mathbf v$).

Это вполне себе красиво, но хочется сделать короче: соответствующие аксиомы векторного пространства можно заменить словами «существует гомоморфизм колец $f\colon K\to\operatorname{End}(V)$» и определить умножение на скаляр так: $\alpha\mathbf v = f(\alpha)(\mathbf v)$. Начал конструировать что-то аналогичное и, например, убедился, что моноид эндоморфизмов груды можно тоже сделать грудой, получив некоторую аналогию кольцу (назовём её, если вдруг понадобится ниже, крыльцом), но это никак не помогло выразить операцию $\langle\ldots\rangle$, т. к. неоткуда брать один из её аргументов (и как я сразу не сообразил, когда начинал). Тогда я глянул на $\operatorname{Hom}(A\oplus A,A)$ ($A\oplus A$ — это $A\times A$ с операцией $[(a,a'),(b,b'),(c,c')] = ([a,b,c],[a',b',c'])$), но сразу понял, что композиции-то тут уже нет, и всякая аналогия с кольцом теряется. В общем, не знаю, можно ли что-то сочинить — может, кто-то знает или придумает. Странно будет, если совершенно никакой аналогии тут построить нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об аффинных пространствах и грудах
Сообщение12.12.2017, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145
Заметив тогда почти сразу, что написал выше бред про $\operatorname{Hom}(A\oplus A,A)$, полностью вернулся к этому только сейчас. Вместо того надо потребовать, чтобы была функция $f\colon A\to\operatorname{Hom}(K,\operatorname{End}(A))$, от которой ещё кое-что придётся попросить дальше, и определить $\langle x,\lambda,y\rangle = f(x)(\lambda)(y)$.

Сразу же можно получить аксиомы 1 и 2, а при требовании $f(x)(0)(y) = x$ для всех $x,y\in A$ — ещё и 4 (как его описать поестественнее, подумаем потом) из поведения гомоморфизма на произведении, единице кольца и сумме. А вот 3 у меня ни в какую не выходит. По идее, это должно следовать из эндоморфности $f(x)(\lambda)$ — аналогично аксиоме линейного пространства, из которой я получил саму 3. Получается, однако, не вызывающее лично у меня полезных ассоциаций с 3 выражение $$\langle w,\lambda,[x,y,z]\rangle = [\langle w,\lambda,x\rangle, \langle w,\lambda,y\rangle, \langle w,\lambda,z\rangle],$$и фантазии не хватает, чтобы увидеть, нужно какое-то ещё добавочное условие наложить, или не хватает каких-то хитрых преобразований. Было бы неплохо, если бы кто-нибудь всё-таки вчитался в это безобразие и что-нибудь предложил. :-)

(Вообще кое-какие соображения, что попробовать, имеются: посмотреть, какие нужны условия, чтобы $f(x)$ порождало тот самый эндоморфизм колец, используемый в определении векторного пространства, которое мы получим, беря $x$ за нейтральный элемент. Если это будет построено, можно будет всё остальное вывести как сделано исходно. Но пока чуть-чуть лень.)

UPD. Эта программа сработала прекрасно для 1, 2 и 4 — условие с нулём появилось естественно — но опять никак для 3, а чего я не учёл, не вижу. Но хотя бы сформулировал эквивалентное 3 (в присутствии остальных) утверждение $[\langle y, \lambda, x\rangle, y, z] = \langle z, \lambda, [x, y, z]\rangle$, чуть более геометрически ясное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об аффинных пространствах и грудах
Сообщение21.12.2017, 02:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145
Для тех, кому вдруг интересно, оказалось, на nLab альтернативные аксиоматизации тоже рассматривались, но нашёл я ту страницу почему-то только через какой-то из сайтов SE.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об аффинных пространствах и грудах
Сообщение25.12.2017, 00:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
843
ЦФО, Россия
arseniiv, довольно любопытная конструкция. Внесу свои две копейки. Во-первых, из теоремы Бэра-Вагнера (см. Курош, пар. 5) следует, тернарная операция в груде всегда может быть выражена через групповые операции. В частности, если груда коммутативна, то соответствующая группа абелева и $[xyz]=x-y+z$. И во-вторых, равенства 1-4 (и подобные им) можно получать используя стандартную аксиоматику линейного пространства, если положить $\langle x,\lambda,y\rangle=[x,\lambda x,\lambda y]=x-\lambda x+\lambda y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об аффинных пространствах и грудах
Сообщение25.12.2017, 01:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145
О, хорошо, хоть кому-то интересно!

lek в сообщении #1278476 писал(а):
В частности, если груда коммутативна, то соответствующая группа абелева и $[xyz]=x-y+z$.
Угу, для в общем случае неабелевой тоже можно сказать $[x,y,z] = xy^{-1}z$.

lek в сообщении #1278476 писал(а):
И во-вторых, равенства 1-4 (и подобные им) можно получать используя стандартную аксиоматику линейного пространства, если положить $\langle x,\lambda,y\rangle=[x,\lambda x,\lambda y]=x-\lambda x+\lambda y$.
Именно так я их и получил. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Об аффинных пространствах и грудах
Сообщение25.12.2017, 11:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
843
ЦФО, Россия
arseniiv в сообщении #1278483 писал(а):
Именно так я их и получил.

А чем обусловлен такой выбор представления для $\langle x,\lambda,y\rangle$ ? Я то исходил из уже данных тождеств 1-4.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об аффинных пространствах и грудах
Сообщение25.12.2017, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145
А, точно, я в первом посте сокращал-сокращал и забыл написать. Геометрически-то это гомотетия точки $y$ с центром $x$ и коэффициентом растяжения $\lambda$; с другой стороны, это не менее естественная аффинная комбинация $\mu x + \lambda y, \mu+\lambda = 1$, ну и тут только порядок точек выбран произвольно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об аффинных пространствах и грудах
Сообщение25.12.2017, 19:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
843
ЦФО, Россия
Понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об аффинных пространствах и грудах
Сообщение14.03.2019, 00:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145
Вернулся сегодня к этой аксиоматизации, добавив евклидовости так:

$\{{\cdot},{\cdot},{\cdot}\}\colon A^3\to K$; по смыслу $\{a, b, c\} = (a-b)\cdot(c-b)$, где $\cdot$ — скалярное произведение;
5. $\{b, a, c\} = \{c, a, b\}$ (симметричность скалярного произведения)
6. $\{[b, a, c], a, d\} = \{b, a, d\} + \{c, a, d\}$ (аддитивность с. п. по первому аргументу)
7. $\{\langle a, \lambda, b\rangle, a, c\} = \lambda\{b, a, c\}$ (однородность с. п. по первому аргументу)
8. $a \ne b \Rightarrow \{b, a, b\} > 0$ (положительная определённость с. п.)
9. $\{b, a, [a, c, d]\} = \{[b, a, c], c, d\}$ — инвариантность относительно параллельного переноса

И тщетно пытался выкинуть 9. Не могу себе прозрачно показать, обязательна она или нет.

-- Чт мар 14, 2019 02:57:27 --

arseniiv в сообщении #1381728 писал(а):
Не могу себе прозрачно показать, обязательна она или нет.
А, хм, теперь я аккуратнее посмотрел, и стало заметно очевиднее, что нужна: 5…8 не позволяют связать значения выражений $\{\ldots,a,\ldots\}$ и $\{\ldots,a',\ldots\}$ с $a\ne a'$. Но вдруг что-то всё равно упустил.

-- Чт мар 14, 2019 03:04:32 --

Ещё можно поискать более компактный эквивалент 9 (меньше переменных, меньше вложенность).

 Профиль  
                  
 
 Re: Об аффинных пространствах и грудах
Сообщение20.03.2019, 21:31 
Заслуженный участник


31/12/15
821
Сейчас думаю про груды и торсоры в связи с аксиомами эллиптического пространства. Там есть "левые" и "правые" параллельные переносы, и те, и другие действуют на множестве точек просто транзитивно, причём левые переносы коммутируют с правыми (а между собой нет). Через каждую точку можно провести "левую" и "правую" параллели к данной прямой. Надо как-то радикально упростить, с грудами работать невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об аффинных пространствах и грудах
Сообщение20.03.2019, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145
Ну раз вы уже выделили параллельные переносы, пусть будет описание с их участием, множество с действиями нескольких групп. То, что я делал в этой теме, интересно скорее со стороны минимализма. (Кстати я решил заменить скалярное произведение метрикой, аксиоматизируя операцию $\{a,b\} = \lVert a-b\rVert$. Мне не совсем понравилось, что нужно делать, чтобы показать свойства восстановленной по ней $\{\cdot,\cdot,\cdot\}$, но в принципе она поближе к классике.)

(Кстати если вдруг напрягает вложение друг в друга кучи квадратных скобок, то внутренние можно не писать, определив $(2n+1)$-местные операции $[\ldots]$ благодаря аналогу ассоциативности. Это довольно очевидно, но может быть кому-то неизвестно, тем более что я не ссылался тут ни на какую литературу, где основные сведения о грудах излагаются по порядку.)

-- Чт мар 21, 2019 00:12:22 --

george66 в сообщении #1383207 писал(а):
просто транзитивно
Мхм…

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group