Заметив тогда почти сразу, что написал выше бред про

, полностью вернулся к этому только сейчас. Вместо того надо потребовать, чтобы была функция

, от которой ещё кое-что придётся попросить дальше, и определить

.
Сразу же можно получить аксиомы 1 и 2, а при требовании

для всех

— ещё и 4 (как его описать поестественнее, подумаем потом) из поведения гомоморфизма на произведении, единице кольца и сумме. А вот 3 у меня ни в какую не выходит. По идее, это должно следовать из эндоморфности

— аналогично аксиоме линейного пространства, из которой я получил саму 3. Получается, однако, не вызывающее лично у меня полезных ассоциаций с 3 выражение
![$$\langle w,\lambda,[x,y,z]\rangle = [\langle w,\lambda,x\rangle, \langle w,\lambda,y\rangle, \langle w,\lambda,z\rangle],$$ $$\langle w,\lambda,[x,y,z]\rangle = [\langle w,\lambda,x\rangle, \langle w,\lambda,y\rangle, \langle w,\lambda,z\rangle],$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/5/7c59a673cc5038263f398037b70b5ac082.png)
и фантазии не хватает, чтобы увидеть, нужно какое-то ещё добавочное условие наложить, или не хватает каких-то хитрых преобразований. Было бы неплохо, если бы кто-нибудь всё-таки вчитался в это безобразие и что-нибудь предложил.
(Вообще кое-какие соображения, что попробовать, имеются: посмотреть, какие нужны условия, чтобы

порождало тот самый эндоморфизм колец, используемый в определении
векторного пространства, которое мы получим, беря

за нейтральный элемент. Если это будет построено, можно будет всё остальное вывести как сделано исходно. Но пока чуть-чуть лень.)
UPD. Эта программа сработала прекрасно для 1, 2 и 4 — условие с нулём появилось естественно — но опять никак для 3, а чего я не учёл, не вижу. Но хотя бы сформулировал эквивалентное 3 (в присутствии остальных) утверждение
![$[\langle y, \lambda, x\rangle, y, z] = \langle z, \lambda, [x, y, z]\rangle$ $[\langle y, \lambda, x\rangle, y, z] = \langle z, \lambda, [x, y, z]\rangle$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/f/80fb8eb4e3f875d7e348b27287eb52d782.png)
, чуть более геометрически ясное.