2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Диф.уравнение 1-го порядка с тригонометрическими функциями
Сообщение17.06.2008, 21:20 


29/03/08
19
Друзья! Как можно решить такое уравнение:
\[
\frac{{dy}}
{{dt}} = A\sin \omega t\cos y - B\sin y
\] ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 07:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Сначала отдельно решить уравнения \[ \frac{{dy}} {{dt}} = A\sin \omega t\cos y \] и \[ \frac{{dy}} {{dt}} =  - B\sin y \], а потом сложить решения. При этом второе уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, а в правой части первого я бы разложил произведение триг. функций в сумму и сделал замену.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 07:25 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Brukvalub писал(а):
, а потом сложить решения.

А смысл? уравнение-то нелинейное

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 08:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Да, ewert прав, мой "метод" не пройдет....

 Профиль  
                  
 
 Re: Диф.уравнение 1-го порядка с тригонометрическими функция
Сообщение18.06.2008, 08:45 
Аватара пользователя


02/04/08
742
arkansas писал(а):
Друзья! Как можно решить такое уравнение:
\[
\frac{{dy}}
{{dt}} = A\sin \omega t\cos y - B\sin y
\] ?

$z=\tan (y/2)$ Получаем уравнение Рикати

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 16:22 


29/03/08
19
Спасибо. Решение уравнения Риккати предполагает наличие функции, представляющей собой его частное решение. Существует ли в данном случае какой-нибудь алгоритм нахождения этой функции?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 21:37 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Тангенс икс пополам -- это естественно, но на самого Риккати не похоже. В любом случае: уравнение Риккати явно в элементарных функциях не решается.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.06.2008, 15:27 
Аватара пользователя


02/04/08
742
ewert писал(а):
но на самого Риккати не похоже

$2\dot{z}=A(1-z^2)\sin \omega t-2Bz$
а что тогда называется уравнением Риккати по Вашему?
:)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.06.2008, 21:03 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
вообще-то уравнением Риккати стандартно считается $y'=y^2+ax^b$ (при ненулевых константах, естественно)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.06.2008, 21:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
ewert писал(а):
вообще-то уравнением Риккати стандартно считается $y'=y^2+ax^b$ (при ненулевых константах, естественно)
Не уверен. См. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutions/ode/ode-toc1.htm

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.06.2008, 21:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Brukvalub писал(а):
ewert писал(а):
вообще-то уравнением Риккати стандартно считается $y'=y^2+ax^b$ (при ненулевых константах, естественно)
Не уверен. См. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutions/ode/ode-toc1.htm

Вот под первым пунктом там оно и числится, всё же остальное -- уже вариации на тему.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.06.2008, 21:57 
Аватара пользователя


02/04/08
742
ewert писал(а):
вообще-то уравнением Риккати стандартно считается $y'=y^2+ax^b$ (при ненулевых константах, естественно)

Давайте не будем выдумывать стандартов. Уравнением Риккати стандартно считается уравнение первого порядка с квадратичной правой частью от искомой функции и коэффициентами зависящими от времени.
Стандартные ссылки:
Степанов Курс диф. уравнений
Hartman Ordinary differential equations
а то, что Вы написали это так называемое специальное уравнение Риккати.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.06.2008, 00:06 


29/09/06
4552
arkansas писал(а):
Спасибо. Решение уравнения Риккати предполагает наличие функции, представляющей собой его частное решение. Существует ли в данном случае какой-нибудь алгоритм нахождения этой функции?

$$y'=f(x)y^2+g(x)y+h(x)$$
В справочнике Эриха Камке рассматриваются, если не ошибаюсь, 4 случая "лёгкой разрешимости" (типа $f+g+h\equiv 0$). Если задача учебная, не уверен, что она к ним апеллирует...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.06.2008, 12:42 


29/03/08
19
Алексей К. писал(а):
В справочнике Эриха Камке рассматриваются, если не ошибаюсь, 4 случая "лёгкой разрешимости" (типа $f+g+h\equiv 0$). Если задача учебная, не уверен, что она к ним апеллирует...

Задача, естественно, не учебная. Единственное ограничение на функции - это \[
f\left( x \right) = - h\left( x \right) = - \frac{A}{2}\sin \omega t,\] но постоянные \[A\] и \[B\] одна с другой никак не связаны.
И еще. Мне как неспециалисту в области математики хотелось бы получить вот какой совет: стоит ли продолжать сражаться с этим уравнением, или забить, если оно в принципе неразрешимо?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.06.2008, 13:18 
Аватара пользователя


02/04/08
742
arkansas писал(а):
Алексей К. писал(а):
В справочнике Эриха Камке рассматриваются, если не ошибаюсь, 4 случая "лёгкой разрешимости" (типа $f+g+h\equiv 0$). Если задача учебная, не уверен, что она к ним апеллирует...

Задача, естественно, не учебная. Единственное ограничение на функции - это \[
f\left( x \right) = - h\left( x \right) = - \frac{A}{2}\sin \omega t,\] но постоянные \[A\] и \[B\] одна с другой никак не связаны.
И еще. Мне как неспециалисту в области математики хотелось бы получить вот какой совет: стоит ли продолжать сражаться с этим уравнением, или забить, если оно в принципе неразрешимо?

Во-первых оно разрешимо, просто его решение по-видимому не выражается через квадратуры.
а во-вторых все зависит от того что конкретно Вам от этого уравнения нужно. Есть еще качественный анализ есть численные методы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group