Диф.уравнение 1-го порядка с тригонометрическими функциями

[arkansas]

Желательно точное решение. Хотя точное наверняка будет настолько громоздко, что придется дальше использовать приближенное, апроксимацию в элементарных функциях. У решения этого уравнения должен быть предел:

$$ \mathop {\lim }\limits_{\scriptstyle t \to \infty \hfill \atop \scriptstyle A \to \infty \hfill} y\left( t \right) = 0 $$

[Алексей К.]

arkansas писал(а):

Мне как неспециалисту в области математики...

Тоже не ощущая себя специалистом, хочу указать на терминологическую неточность в Ваших обсуждениях. Вы говорите, что хотите точное решение --- так оно у Вас есть. По сути, есть Риккати, ести начальные условия --- значит есть решение (некой задачи), единственное, и нет особых решений. С ним можно работать, выяснять его свойства и проч., график строить, итд.
На самом деле Вы хотите, не точного решения, а решения, выраженного в явном виде, через элементарные или ("хрен с ним, пусть хоть так") специальные функции. Ибо с таким работать привычнее и вроде как проще.

Соответственно, посоветовать "бросить или нет" почти невозможно, не зная, чего Вам от него надо, и так ли уж нужно решение в явном виде для ответа на изучаемые Вами вопросы.

Насколько я понимаю, специальные функции зачастую так и появляются, --- решения нет, но есть уравнение. Так обзову я решение функцией $\strut^\alpha_\beta\widetilde{\mbox{Я}}^\gamma_\delta(x)$, опишу её, и всё!

[arkansas]

Насколько я понимаю, дифференциальное уравнение можно считать решенным, если есть функция, удовлетворяющая заданному уравнению, а функцию можно определить только тогда, когда известно, какое значение она принимает при каждом значении аргумента. Хоть бы и была она записана неявно. Одного только предела или граничных условий недостаточно. А я не знаю, как ведет себя эта функция, особенно при сравнимых значениях коэффициентов. Если бы знал, давно бы апроксимировал ее чем-нибудь и не тратил ваше время.
Эта функция в явном виде будет введена в формулы в дальнейших расчетах. Коэффициенты А и В в действительности являются параметрами, зависящими от других переменных, и найти численные решения для всего спектра этих переменных не представляется возможным. Потому и хотел найти решение, выраженное через эти параметры.

[V.V.]

Есть книжка

А.И. Егоров. "Уравнение Риккати".

Там много чего собрано. Может, есть и то, что Вам надо.

[Алексей К.]

Даже ещё не приступив к поискам книги --- благодарю за новую (для меня) ссылку.
В последнее время призрак Рикатти меня преследует. Куда ни сунусь --- он уже там!

[zoo]

arkansas писал(а):

Друзья! Как можно решить такое уравнение:

\[ \frac{{dy}} {{dt}} = A\sin \omega t\cos y - B\sin y \]

?

Составить себе представление о качественном поведении этого уравнения можно следующим образом. Пусть $A,B\ne 0$ и не сужая общности можно считать, что $\omega=1$.
Приравняем правую часть уравнения к нулю: $A\sin t\cos y - B\sin y=0$
Решением этого уравнения будут кривые в расширенном фазовом пространстве $(t,y)$,
которые задаются графиками

$y=\arctg(\frac{A}{B}\sin t)+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$ (*)

Эти кривые разделяют расширенное фазовое пространство на области. В каждой из этих областей знак правой части диф. уравнения постоянен, и эти знаки чередуются при переходе через кривую.
Проходя через область со знаком "+" решения диф. уравнения возрастаяют, а проходя через область со знаком "-" -- убывают
Соответственно решения дифференциального уравнения, говоря неформально, будут колебаться около тех из кривых (*), ниже которых расположена область со знаком "+" а выше область со знаком "-". В частности, из этого следует, что существуют $2\pi$-периодические ешения. Думаю, что для того, что понять, как искать решеия, которые Вас интересуют, надо сперва посмотреть, как ведут себя кривые (*) при $A\to \infty$.

[V.V.]

А если взять вторую производную, то можно еще найти и области, где решения выпуклы вверх или вниз...

[zoo]

Ну можно и более формально выразиться.
Например, из сказанного в частности следует, что
если $A,B>0$ то отрезки $[-\arctg(A/B)-\varepsilon+2\pi n,\arctg(A/B)+\varepsilon+2\pi n],\quad n\in \mathbb{Z}$ являются инвариантными множествами для диф. уравнения с любым скольугодно малым $\varepsilon>0$. Можно и области притяжения этих множеств указать. Хотя $\varepsilon$ это перестраховка, наверное и $\varepsilon=0$ можно положить.