Диф.уравнение 1-го порядка с тригонометрическими функциями

[arkansas]

Друзья! Как можно решить такое уравнение:

\[ \frac{{dy}} {{dt}} = A\sin \omega t\cos y - B\sin y \]

?

[Brukvalub]

Сначала отдельно решить уравнения

\[ \frac{{dy}} {{dt}} = A\sin \omega t\cos y \]

и

\[ \frac{{dy}} {{dt}} = - B\sin y \]

, а потом сложить решения. При этом второе уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, а в правой части первого я бы разложил произведение триг. функций в сумму и сделал замену.

[ewert]

Brukvalub писал(а):

, а потом сложить решения.

А смысл? уравнение-то нелинейное

[Brukvalub]

Да, ewert прав, мой "метод" не пройдет....

[zoo]

arkansas писал(а):

Друзья! Как можно решить такое уравнение:

\[ \frac{{dy}} {{dt}} = A\sin \omega t\cos y - B\sin y \]

?

$z=\tan (y/2)$ Получаем уравнение Рикати

[arkansas]

Спасибо. Решение уравнения Риккати предполагает наличие функции, представляющей собой его частное решение. Существует ли в данном случае какой-нибудь алгоритм нахождения этой функции?

[ewert]

Тангенс икс пополам -- это естественно, но на самого Риккати не похоже. В любом случае: уравнение Риккати явно в элементарных функциях не решается.

[zoo]

ewert писал(а):

но на самого Риккати не похоже

$2\dot{z}=A(1-z^2)\sin \omega t-2Bz$
а что тогда называется уравнением Риккати по Вашему?

[ewert]

вообще-то уравнением Риккати стандартно считается $y'=y^2+ax^b$ (при ненулевых константах, естественно)

[Brukvalub]

ewert писал(а):

вообще-то уравнением Риккати стандартно считается $y'=y^2+ax^b$ (при ненулевых константах, естественно)

Не уверен. См. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutions/ode/ode-toc1.htm

[ewert]

Brukvalub писал(а):

ewert писал(а):

вообще-то уравнением Риккати стандартно считается $y'=y^2+ax^b$ (при ненулевых константах, естественно)

Не уверен. См. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutions/ode/ode-toc1.htm

Вот под первым пунктом там оно и числится, всё же остальное -- уже вариации на тему.

[zoo]

ewert писал(а):

вообще-то уравнением Риккати стандартно считается $y'=y^2+ax^b$ (при ненулевых константах, естественно)

Давайте не будем выдумывать стандартов. Уравнением Риккати стандартно считается уравнение первого порядка с квадратичной правой частью от искомой функции и коэффициентами зависящими от времени.
Стандартные ссылки:
Степанов Курс диф. уравнений
Hartman Ordinary differential equations
а то, что Вы написали это так называемое специальное уравнение Риккати.

[Алексей К.]

arkansas писал(а):

Спасибо. Решение уравнения Риккати предполагает наличие функции, представляющей собой его частное решение. Существует ли в данном случае какой-нибудь алгоритм нахождения этой функции?

$$y'=f(x)y^2+g(x)y+h(x)$$

В справочнике Эриха Камке рассматриваются, если не ошибаюсь, 4 случая "лёгкой разрешимости" (типа $f+g+h\equiv 0$). Если задача учебная, не уверен, что она к ним апеллирует...

[arkansas]

Алексей К. писал(а):

В справочнике Эриха Камке рассматриваются, если не ошибаюсь, 4 случая "лёгкой разрешимости" (типа $f+g+h\equiv 0$). Если задача учебная, не уверен, что она к ним апеллирует...

Задача, естественно, не учебная. Единственное ограничение на функции - это

\[ f\left( x \right) = - h\left( x \right) = - \frac{A}{2}\sin \omega t,\]

но постоянные

\[A\]

и

\[B\]

одна с другой никак не связаны.
И еще. Мне как неспециалисту в области математики хотелось бы получить вот какой совет: стоит ли продолжать сражаться с этим уравнением, или забить, если оно в принципе неразрешимо?

[zoo]

arkansas писал(а):

Алексей К. писал(а):

В справочнике Эриха Камке рассматриваются, если не ошибаюсь, 4 случая "лёгкой разрешимости" (типа $f+g+h\equiv 0$). Если задача учебная, не уверен, что она к ним апеллирует...

Задача, естественно, не учебная. Единственное ограничение на функции - это

\[ f\left( x \right) = - h\left( x \right) = - \frac{A}{2}\sin \omega t,\]

но постоянные

\[A\]

и

\[B\]

одна с другой никак не связаны.
И еще. Мне как неспециалисту в области математики хотелось бы получить вот какой совет: стоит ли продолжать сражаться с этим уравнением, или забить, если оно в принципе неразрешимо?

Во-первых оно разрешимо, просто его решение по-видимому не выражается через квадратуры.
а во-вторых все зависит от того что конкретно Вам от этого уравнения нужно. Есть еще качественный анализ есть численные методы.