Найти отображения

[arseniiv]

gogoshik в сообщении #1277858 писал(а):

Спасибо Всем. Разобрался.
Будет восемь отображений. Мономорфизмов ноль. Эпиморфизмов шесть. Это верно?
А как называются (терминологически) два оставшихся отображения -- эндоморфизмы?

Эндоморфизмы — ровно когда $f\colon A\to A$. Если $f\colon A\to B$ и $B\ne A$, то даже если образ $f$ всё-таки подмножество $A$, это не считается.

[gogoshik]

arseniiv, спасибо. Подскажите, плиз, еще такой момент. Верно ли что множество всех отображений (гомоморфизмов) разбивается всего на три класса: эпиморфизмы, мономорфизмы и изоморфизмы?

[Someone]

gogoshik в сообщении #1277951 писал(а):

Верно ли что множество всех отображений (гомоморфизмов) разбивается всего на три класса: эпиморфизмы, мономорфизмы и изоморфизмы?

Я правильно понял, что Вы изучаете теорию множеств? Тогда меня, скажем так, несколько удивляет употребление Вами данных терминов. Всякие …морфизмы — это отображения, согласованные с алгебраическими операциями. Вовсе не произвольные. Вы же рассматриваете просто множества, не имеющие вообще никакой структуры, и произвольные отображения. Поэтому речь идёт просто отображениях. В этом случае употребляются термины "сюръекция" (или "сюръективное отображение"), "инъекция" (или "инъективное отображение"), "взаимно однозначное отображение" и т.п. Соответствующими …морфизмами они могут быть (или не быть) только при наличии алгебраических операций.

И нет, класс всех гомоморфизмов не разбивается на эти классы, потому что класс изоморфизмов есть пересечение классов эпиморфизмов и мономорфизмов. Не говоря уже о том, что существуют гомоморфизмы, которые не являются ни эпиморфизмами, ни мономорфизмами.

[arseniiv]

В дополнение, пример такой несюръекции и неинъекции для упоминавшихся уже функций $\{0, 1, 2\}\to\{0, 1\}$ — любая константа (например, $0\mapsto0,1\mapsto0,2\mapsto0$). Константа, очевидно, инъективна только для области определения с ${}\leqslant1$ элементами, и сюръективна для области значений с ${}\leqslant1$ элементами, а тут и там, и там больше. Единственные биективные константы — из одноэлементного в одноэлементное и из пустого в пустое (пустая функция; может быть полезно разобраться с функциями, у которых область определения или область значения пусты: когда они существуют, какие, сколько их).

Заодно, кстати, раз уж исходный вопрос закрылся, попробуйте его обобщение:

arseniiv в сообщении #1277734 писал(а):

А смогли бы вы насчитать, сколько отображений из $A$ в $B$, не зная конкретные мощности множеств, а только то, что они конечны? Как-то выразить через $|A|$ и $|B|$.

В том курсе, который вы изучаете, это наверняка будет где-то дальше и скоро, но открыть самому может быть приятнее.

[gogoshik]

Someone, arseniiv, спасибо. Я изучаю курс алгебры по учебнику Городенцева А.Л. Автор со второй страницы (раздел 1.2 Отображения) употребляет термины ...морфизмов, просто как другие наименования (синонимы) видов отображений - сюръекций (наложений), инъекций (вложений) и биекций (одновременно и вложений и наложений). Может быть автор думает, что читатель уже что то знает более того и допустим знаком с теорией категорий.

-- 23.12.2017, 22:41 --

arseniiv в сообщении #1278056 писал(а):

В том курсе, который вы изучаете, это наверняка будет где-то дальше и скоро, но открыть самому может быть приятнее.

Правда. Это в учебнике Предложение 1.1., которое Автор доказывает. Но я решаю упражнения до этого.

[Someone]

Ну, для алгебры такая терминология стандартна и существовала ещё до появления теории категорий, но я не встречал её применения к произвольным отображениям. Гомоморфизмом называется отображение, согласованное с алгебраическими операциями. Например, определение из Википедии:

Гомоморфизм групп писал(а):

В математике, если заданы две группы $(G,*)$ и $(H,\cdot)$, гомоморфизм групп из $(G,*)$ в $(H,\cdot)$ — это функция $h\colon G\to H$, такая, что для всех $u$ и $v$ из $G$ выполняется

$$h(u*v)=h(u)\cdot h(v),$$

где групповая операция слева от знака "$=$" относится к группе $G$, а операция справа относится к группе $H$.

Отсюда можно вывести, что $h$ отображает нейтральный элемент $e_G$ группы $G$ в нейтральный элемент $e_H$ группы $H$, а также отображает обратные элементы в обратные в том смысле, что

$$h(u^{-1})=h(u)^{-1}.$$

Впрочем, если алгебраическая структура пустая (не содержит никаких операций и отношений), то формально употребление термина "…морфизм" законно.

[gogoshik]

Прошу проверить, плиз, новое упражнение.
Какие из отображений:
1. $\mathbb{Z} \xrightarrow{x \mapsto x^2} \mathbb{Z}$;
2. $\mathbb{N} \xrightarrow{x \mapsto x^2} \mathbb{N}$;
3. $\mathbb{Z} \xrightarrow{x \mapsto 7x} \mathbb{Z}$;
4. $\mathbb{R} \xrightarrow{x \mapsto 7x} \mathbb{R}$
являются: a) биекциями; б) инъекциями; в) сюръекциями?
Ответ: 2 и 3 - инъекции, 4 - биекция.

[vpb]

Да, всё верно. Похвально, что Вы самостоятельно правильно решили задачу. А у учебника Городенцева, по моему, есть тот недостаток, что автор чересчур быстро переходит от одного вопроса к другому, как-то так, из-за этого в голове мало остается. По моему, Кострикин лучше идти должен.

[gogoshik]

vpb, спасибо. Приятно ).
Кострикин А.И. - это на мой взгляд ультраклассика. Хардкорчик более по душе.

[DeBill]

gogoshik в сообщении #1277858 писал(а):

А как называются (терминологически) два оставшихся отображения -- эндоморфизмы?

Недоморфизмы?