Найти отображения

[gogoshik]

Проверьте, плиз.
Задача. Перечислить все отображения $\left\lbrace 0, 1, 2\right\rbrace \to \left\lbrace 0, 1 \right\rbrace$. Сколько среди них инъекций (мономорфизмов) и сюръекций (эпиморфизмов)?
Ответ. Семь отображений (выписывать каких именно не буду). Мономорфизмов ноль. Эпиморфизмов пять.

[Dan B-Yallay]

gogoshik в сообщении #1277716 писал(а):

Ответ. Семь отображений (выписывать каких именно не буду).

Неверно.

[gogoshik]

Я еще думал над вариантом ответа: пять отображений. Но решил, что он неверен. Могу объяснить почему.

[Dan B-Yallay]

gogoshik в сообщении #1277720 писал(а):

Но решил, что он неверен. Могу объяснить почему.

Я тоже думаю, что ответ 5 неверен. Но объясните.

-- Пт дек 22, 2017 10:58:53 --

gogoshik
Сколько у Вас возможных отображений $\{0\} \to \{0,1\}$?

[gogoshik]

У нас есть как минимум два отображения: первое - переводит каждую точку первого множества в ноль второго множества, второе - переводит каждую точку первого множества в единицу второго множества. Плюс к этому я насчитал пять отображений. В итоге получил семь.

-- 22.12.2017, 20:03 --

gogoshik в сообщении #1277732 писал(а):

Сколько у Вас возможных отображений $\{0\} \to \{0,1\}$?

Два.

[arseniiv]

А смогли бы вы насчитать, сколько отображений из $A$ в $B$, не зная конкретные мощности множеств, а только то, что они конечны? Как-то выразить через $|A|$ и $|B|$.

-- Пт дек 22, 2017 22:06:45 --

Dan B-Yallay в сообщении #1277724 писал(а):

Сколько у Вас возможных отображений $\{0\} \to \{0,1\}$?

gogoshik в сообщении #1277732 писал(а):

Два.

А вот тут всё правильно!

[Dan B-Yallay]

gogoshik в сообщении #1277732 писал(а):

Два

Хорошо. Теперь возьмём еще один элемент: $\{1\}$. Сколько существует отображений из {0,1} в {0,1}?

[gogoshik]

Я думаю, что их пять (если выписать все). Но если просто перемножить мощности множеств, то получаем четыре.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1277734 писал(а):

А смогли бы вы насчитать, сколько отображений из $A$ в $B$, не зная конкретные мощности множеств, а только то, что они конечны? Как-то выразить через $|A|$ и $|B|$.

Думаю, если бы ТС мог, то не приводил бы цифры 7 или 5.

-- Пт дек 22, 2017 11:15:04 --

gogoshik в сообщении #1277738 писал(а):

Я думаю, что их пять (если выписать все).

Выпишите их все 5 тут, пожалуйста.

[arseniiv]

Да, это прояснит ситуацию.

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #1277739 писал(а):

Думаю, если бы ТС мог, то не приводил бы цифры 7 или 5.

Давайте понадеемся. Иногда общий случай наводит на идеи, которые не приходят от частных (хотя, конечно, это и должно быть аномалией).

[gogoshik]

(1) $\{0\} \mapsto \{0\}$, $\{1\} \mapsto \{0\}$;
(2) $\{0\} \mapsto \{1\}$, $\{1\} \mapsto \{1\}$;
(3) $\{0\} \mapsto \{1\}$, $\{1\} \mapsto \{0\}$;
(4) $\{0\} \mapsto \{0\}$, $\{1\} \mapsto \{1\}$.
Я ошибся, их четыре.

[arseniiv]

Запись, честно говоря, страшная и в других случаях потенциально запутывающая. Или описывайте отображение как $0\mapsto1,1\mapsto1$, или как $\{(0,1),(1,1)\}$. Ещё специальный случай отображений из какого-то конечного линейно упорядоченного множества, типа целочисленного отрезка, включая рассматриваемые $\{0,\ldots,n\}$, можно записывать $n$-элементными кортежами, для той же функции это был бы кортеж $(1, 1)$ — 0 идёт первым и отображается в 1, потом идёт 1 и тоже отображается в 1.

Какие у вас теперь идеи насчёт отображений из $\{0,1,2\}$ в $\{0,1\}$?

[Dan B-Yallay]

gogoshik в сообщении #1277746 писал(а):

Я ошибся, их четыре.

Верно. Теперь для каждого варианта, посмотрите сколько есть отображений элемента $\{2\}$ в $\{0,1\}$

-- Пт дек 22, 2017 11:38:17 --

arseniiv опередил :)

[arseniiv]

arseniiv в сообщении #1277749 писал(а):

идеи

А если их не будет, давайте ещё вот что заметим. Пусть $\mathcal P$ — разбиение* $A$. Тогда любой функции $f\colon A\to B$ взаимно однозначно сопоставляется множество функций $\{f\mid C\in\mathcal P\wedge f\colon C\to B\}$ (если это не очевидно, стоит доказать).

Например, $\{\{0,1\},\{2\}\}$ — одно из разбиений $\{0,1,2\}$. Значит, каждой функции $f\colon\{0,1,2\}\to B$ взаимно однозначно соответствует пара функций $f_1\colon\{0,1\}\to B$ и $f_2\colon\{2\}\to B$. Что это может сказать о количествах функций этих трёх видов?

* Т. е. для всех $C,C'\in\mathcal P$ пересечения $C\cap C'$ пусты, а объединение всех элементов $\mathcal P$ равно $A$. Обычно ещё накладывают условие, что каждое $B\in\mathcal P$ непусто, но здесь сгодятся любые.

[gogoshik]

Спасибо Всем. Разобрался.
Будет восемь отображений. Мономорфизмов ноль. Эпиморфизмов шесть. Это верно?
А как называются (терминологически) два оставшихся отображения -- эндоморфизмы?