Бесконечность и пара вопросов о ней

[Someone]

Hamson писал(а):

Возник тут вопрос, а чему равно:
00 + 1 =, где 00 - это бесконечность

Поскольку Вы явно не являетесь специалистом в области математики (не в обиду Вам будь сказано; я, например, не являюсь специалистом в области физики), то с символом $\infty$ Вы встречались, скорее всего, в теории пределов при изучении начал математического анализа. Если быть совсем аккуратным, то имеются три символа бесконечности: $\infty$, $+\infty$ и $-\infty$. Первый из них называется проективной бесконечностью, а второй и третий - аффинными бесконечностями. Очень часто вместо $+\infty$ пишут $\infty$, поскольку все привыкли не писать знак "плюс" при записи положительного числа (пишут $5$, а не $+5$), однако это может иногда привести к недоразумениям.
Аффинные бесконечности можно представлять себе как дополнительные точки, присоединённые к концам числовой прямой $\mathbb R$, так что для любого действительного числа $x\in\mathbb R$ выполняются неравенства $-\infty<x<+\infty$. Проективная бесконечность получается "склеиванием" аффинных бесконечностей в одну точку, при этом числовая прямая превращается в окружность. Для проективной бесконечности нельзя писать неравенства типа $x<\infty$ или $x>\infty$, поскольку к $\infty$ можно прийти от $x\in\mathbb R$ как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения.

Эти бесконечности не являются числами, и арифметические операции на них, вообще говоря, не распространяются. Однако частично их определить всё-таки можно, и это делается с помощью пределов. Например, $(+\infty)+(+\infty)=+\infty$, так как если $\lim\limits_{x\to a}f(x)=+\infty$ и $\lim\limits_{x\to a}g(x)=+\infty$, то $\lim\limits_{x\to a}(f(x)+g(x))=+\infty$; более того, вообще утверждение "$(+\infty)+(+\infty)=+\infty$" нужно понимать как символическую запись указанного свойства предела, и никак иначе. Аналогичный смысл имеет запись $(-\infty)+(-\infty)=-\infty$.
А вот сумму $(+\infty)+(-\infty)$ определить нельзя: если $\lim\limits_{x\to a}f(x)=+\infty$, а $\lim\limits_{x\to a}g(x)=-\infty$, то $\lim\limits_{x\to a}(f(x)+g(x))$ может быть равен чему угодно или вообще не существовать. Аналогично нельзя определить сумму или разность двух проективных бесконечностей $\infty\pm\infty$. Не определены также и многие другие комбинации бесконечностей.
Если мы хотим выяснить, чему равна сумма $\infty+1$, то мы должны рассмотреть две такие функции $f(x)$ и $g(x)$, что $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty$, а $\lim\limits_{x\to a}g(x)=1$. Тогда получим $\lim\limits_{x\to a}(f(x)+g(x))=\infty$, поэтому $\infty+1=\infty$. Аналогично $(+\infty)+1=+\infty$ и $(-\infty)+1=-\infty$.

[PAV]

Ключевой в предыдущем пояснении является фраза

Someone писал(а):

Эти бесконечности не являются числами, и арифметические операции на них, вообще говоря, не распространяются.

Т.е. если понимать бесконечности именно так, как написал Someone, то всякого рода выражения с ними являются всего лишь сокращенными записями некоторых более длинных свойств, в которых фигурируют только обычные числа. Даже в упомянутой записи $\lim f(x)=+\infty$ на самом деле никакой "бесконечности" нет, это также сокращенная запись некоторого свойства, в котором в конечном итоге фигурируют также только обычные числа.

Можно вводить всякие разные другие множества, в которых некоторые элементы обозначать значком $\infty$, а также вводить на этих множествах разные операции, используя для их записи привычные значки $+$ и другие. Нам никто это не запрещает делать. Но к обычным числам и обычным операциям над ними, которым учат в начальной школе, это уже отношения иметь не будет.

[MGM]

Someone писал(а):

Проективная бесконечность получается "склеиванием" аффинных бесконечностей в одну точку, при этом числовая прямая превращается в окружность. Для проективной бесконечности нельзя писать неравенства типа $x<\infty$ или $x>\infty$, поскольку к $\infty$ можно прийти от $x\in\mathbb R$ как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения.

А скажите тогда, в чём польза проективной бесконечности?
В каких случаях без неё ну никак. Или, по крайней мере, упрощает обьяснение чего либо. Хоть один пример.

[Someone]

Ну, например, вместо двух утверждений $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\frac 1x\right)^x=e$ и $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(1+\frac 1x\right)^x=e$ можно написать одно: $\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac 1x\right)^x=e$.

Другой пример: $\lim\limits_{x\to+\infty}(-1)^{[x]}x=\infty$, но $\lim\limits_{x\to+\infty}(-1)^{[x]}x\neq+\infty$ и $\lim\limits_{x\to+\infty}(-1)^{[x]}x\neq-\infty$ (здесь $[x]$ - целая часть $x$, то есть, наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

[PAV]

Я бы просто сказал, что числовая прямая с двумя бесконечными концами и с одним - это просто два разных математических объекта. Они топологически различны. Вот и все.

[MGM]

Someone писал(а):

Ну, например, вместо двух утверждений $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\frac 1x\right)^x=e$ и $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(1+\frac 1x\right)^x=e$ можно написать одно: $\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac 1x\right)^x=e$.

Другой пример: $\lim\limits_{x\to+\infty}(-1)^{[x]}x=\infty$, но $\lim\limits_{x\to+\infty}(-1)^{[x]}x\neq+\infty$ и $\lim\limits_{x\to+\infty}(-1)^{[x]}x\neq-\infty$ (здесь $[x]$ - целая часть $x$, то есть, наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

Второй пример понравился, спасибо. А вот в первом Вы просто ошиблись: 1/е при минус бесконечности.

[Someone]

Нет, не ошибся. Там ведь не только показатель степени отрицательный, но и основание степени меньше $1$ (при $x<-1$). Поэтому степень всё равно больше $1$.

[MGM]

Someone писал(а):

Нет, не ошибся. Там ведь не только показатель степени отрицательный, но и основание степени меньше $1$ (при $x<-1$). Поэтому степень всё равно больше $1$.

А, ну да.

[sergmirdin]

Цитата:

Я бы просто сказал, что числовая прямая с двумя бесконечными концами и с одним - это просто два разных математических объекта. Они топологически различны. Вот и все.

А мне кажется это одно и то же....

Что такое точка отсчета - 0 ? Если я принимаю Москву за 0 точку -то двигаясь в Питер мои координаты стали - 600 ед., а двигаясь в Киев +1200 ед. Но если точка отсчета находиться в Париже , то обе координаты положительны....Так и с бесконечность....
Это вроде понятия обсолютного времени - пусть во всех системах отсутствует движение, но всегда можно представить точку в пространстве, в которой можно сказать , все системы находились в покое n время.
Так в чем же "потологическое" различие? Можно конкретизировать?

[Someone]

sergmirdin, скажите, отрезок и окружность - это одно и то же, или они чем-то отличаются?

[sergmirdin]

Если радиус окружности бесконечен, то отрезок это лишь часть окружности.....
Кстати - две окружности, с одним центром, радиус одной меньше другой....-это вплоскости радиусы различны, а представте что одна (меньшая) находиться в удалении.....каждой точке "меньшей" окружности соответствует точка "большей".Плоскость -лишь проекция...Бесконечность -лишь неограниченность мысли....

[PAV]

Это растекание мысли по древу, а не ответ на вопрос Someone. Вы понимаете или нет, чем топологически отличаются отрезок и окружность? Если нет (или если непонятен вопрос), то просто напишите об этом и Вам объяснят.

[sergmirdin]

1, Отрезок и окружность в конечном их представлении "потологически" отличаются , спору нет.Но тут вроде речь зашла о бесконечности...
Тогда Вы объясните , чем "потологически" отличаются окружность с бесконечным радиусом и прямая?
Кстати -Вы сначало определитесь -что такое -"БЕСКОНЕЧНОСТЬ"...

[PAV]

Не надо, пожалуйста, коверкать слово "топологически", это математический термин. Вы не написали, чем именно с точки зрения топологии отличаются отрезок и окружность. А это и будет ответ на Ваш же вопрос, потому что с точки зрения топологии отрезок ничем не отличается от прямой с двумя бесконечно удаленными точками, а окружность - прямой с одной точкой (проективной бесконечностью).

Добавлено спустя 1 минуту 31 секунду:

sergmirdin писал(а):

Кстати -Вы сначало определитесь -что такое -"БЕСКОНЕЧНОСТЬ"...

Это одна из точек того пространства, которое тут обсуждается. У нее такое название.

[Someone]

sergmirdin писал(а):

Тогда Вы объясните , чем "потологически" отличаются окружность с бесконечным радиусом и прямая?

Что такое "окружность с бесконечным радиусом"?