Непрерывность функции (Давидович)

[irod]

Я упорно продолжаю прорешивать задачи из книжки Давидовича и ко http://www.mccme.ru/free-books/57/davidovich.pdf.
В этой теме - листок 16.
Прошу уважаемых форумчан проверить мои доказательства, как и в моих предыдущих темах. Помимо всего прочего, буду благодарен за замечания по стилистике доказательств.

Определение 1.
Функция $f$, определенная на множестве $M$, называется непрерывной в точке $a\in M$, если $a$ -- изолированная точка множества $M$ или $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$.

Определение 2.
Функция $f$, определенная на множестве $M$, называется непрерывной в точке $a\in M$, если для любой последовательности $(x_n)$ элементов $M$, сходящейся к $a$, выполняется условие $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(a)$.

Определение 3.
Функция $f$, определенная на множестве $M$, называется непрерывной в точке $a\in M$, если $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$ такое, что для любого $x\in U_\delta(a)\cap M$ выполняется условие $f(x)\in U_\varepsilon(f(a))$.


Задача 1.
Определения 1, 2 и 3 эквивалентны.

Доказательство.

Пусть функция $f$, определенная на $M$, непрерывна в точке $a$ по определению 1.

Если $a$ является изолированной точкой $M$, то:
а) сходящихся к $a$ последовательностей из элементов $M$ не существует, и значит любое утверждение для таких последовательностей истинно (включая утверждение из определения 2);
б) $\exists\delta>0$ такое, что $U_\delta(a)\cap M=\varnothing$, и значит любое утверждение для $x\in U_\delta(a)\cap M$ истинно (включая утверждение из определения 3).
И обратно, определениям 2 и 3 не противоречит отсутствие сходящихся к $a$ последовательностей из элементов $M$ и отсутствие элементов $M$ в некоторой окрестности точки $a$ соответственно; в этих случаях $a$ по определению является изолированной точкой $M$.

Пусть теперь $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$.
Здесь подразумевается, что $a$ -- предельная точка $M$. Тогда для числа $f(a)$ выполнены определения 2 и 3 листка 15 (определения предела функции через предел последовательности и на языке $\varepsilon$-$\delta$), дословно повторяющие в этом случае определения 2 и 3 текущего листка соответственно. Из эквивалентности определений 2 и 3 листка 15 (задача 1 листка 15) следует эквивалентность определений 2 и 3 текущего листка.

-- 19.12.2017, 18:54 --

Дальше пара совсем легких задачек.

Задача 2.
Дать определение функции, непрерывной справа (слева) в точке.

Ответ.
Функция $f$, определенная на множестве $M$, называется непрерывной в точке $a\in M$ справа (слева), если выполнено одно из следующих определений.

Определение через предел функции (в стиле определения 1).
Не существует сходящейся к $a$ последовательности элементов множества $M\cap\{x>a\}$ ($M\cap\{x<a\}$) или $\lim\limits_{x\to a+0}f(x)=f(a)$ ($\lim\limits_{x\to a-0}f(x)=f(a)$).

Определение через предел последовательности (в стиле определения 2).
Для любой последовательности $(x_n)$ элементов $M\cap\{x\mid x>a\}$ ($M\cap\{x\mid x<a\}$), сходящейся к $a$, выполняется условие $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(a)$.

Определение на языке $\varepsilon$-$\delta$ (в стиле определения 3).
$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$ такое, что для любого $x\in [a,a+\delta[\cap M$ ($x\in ]a-\delta,a]\cap M$) выполняется условие $f(x)\in U_\varepsilon(f(a))$.


Определение 4.
Функция, определенная на множестве $M$, называется непрерывной на множестве $M$, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Определение 5.
Функция $f$, определенная на множестве $M$, называется разрывной в точке $a\in M$, если она не является непрерывной в $a$.


Задача 3.
Сформулировать определение разрывности функции в точке на языке $\varepsilon$-$\delta$.

Ответ.
Функция $f$, определенная на множестве $M$, называется разрывной в точке $a\in M$, если

$$ \neg\left(\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in U_\delta(a)\cap M\ f(x)\in U_\varepsilon(f(a))\right) \Leftrightarrow $$

$$ \exists\varepsilon>0\ \forall\delta>0\ \exists x\in U_\delta(a)\cap M\ f(x)\not\in U_\varepsilon(f(a)). $$

[grizzly]

irod в сообщении #1276558 писал(а):

Если $a$ является изолированной точкой $M$, то:
а) сходящихся к $a$ последовательностей из элементов $M$ не существует

Существует такая последовательность: $\{a,a,a,...\}$. А ещё много других с таким же "хвостом": $\{x_1,x_2,\ldots, x_k,a,a,a,...\}$.

irod в сообщении #1276558 писал(а):

Для любой последовательности $(x_n)$ элементов $M\cap\{x\mid x>a\}$ ($M\cap\{x\mid x<a\}$), сходящейся к $a$, выполняется условие $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(a)$.

Вот здесь по тем же причинам лучше нестрогое неравенство $M\cap\{x\mid x\ge a\}$.

В общем, этот пункт зацепил несколько мест, которые легко исправить. Остальное нормально.

[irod]

grizzly в сообщении #1276600 писал(а):

irod в сообщении #1276558 писал(а):

Если $a$ является изолированной точкой $M$, то:
а) сходящихся к $a$ последовательностей из элементов $M$ не существует

Существует такая последовательность: $\{a,a,a,...\}$. А ещё много других с таким же "хвостом": $\{x_1,x_2,\ldots, x_k,a,a,a,...\}$.

Да, точно. Тогда так: сходиться к $a$ будут только последовательности, почти все члены которых равны $a$. Для таких последовательностей определение 2 очевидно выполнено.

grizzly в сообщении #1276600 писал(а):

irod в сообщении #1276558 писал(а):

Для любой последовательности $(x_n)$ элементов $M\cap\{x\mid x>a\}$ ($M\cap\{x\mid x<a\}$), сходящейся к $a$, выполняется условие $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(a)$.

Вот здесь по тем же причинам лучше нестрогое неравенство $M\cap\{x\mid x\ge a\}$.

Ок.

grizzly в сообщении #1276600 писал(а):

В общем, этот пункт зацепил несколько мест, которые легко исправить. Остальное нормально.

Вообще я думал что замечания будут по этому куску:

irod в сообщении #1276558 писал(а):

Тогда для числа $f(a)$ выполнены определения 2 и 3 листка 15 (определения предела функции через предел последовательности и на языке $\varepsilon$-$\delta$), дословно повторяющие в этом случае определения 2 и 3 текущего листка соответственно. Из эквивалентности определений 2 и 3 листка 15 (задача 1 листка 15) следует эквивалентность определений 2 и 3 текущего листка.

Я долго думал как лучше написать про связь этих определений непрерывности и предела функции. Думал просто назвать их эквивалентными (в случае предельности $a$). Но судя по всему и так хорошо получилось.

[grizzly]

irod в сообщении #1276702 писал(а):

Но судя по всему и так хорошо получилось.

Ну, в данном случае к вещам, которые очевидно верны, придраться не особо хочется. Но я скажу, как принято доказывать взаимную равносильность нескольких условий / определений. Для трёх определений не нужно выписывать все 6 доказательств попарной равносильности, а только половину (надеюсь, понятно, почему): достаточно показать, что из 1) следует 2), из 2) -- 3), из 3) -- 1). Но эту работу лучше, конечно, проделывать более формально, чем общими словами.

[irod]

grizzly в сообщении #1276705 писал(а):

Ну, в данном случае к вещам, которые очевидно верны, придраться не особо хочется.

Ок.

grizzly в сообщении #1276705 писал(а):

Но я скажу, как принято доказывать взаимную равносильность нескольких условий / определений.

Это я знаю Столкнулся с этим еще в задаче 5 листка 7.

-- 21.12.2017, 17:37 --

Иду дальше.

Задача 4.
Доказать, что следующие функции непрерывны:

а) $f(x)=c$

Доказательство.
В этом и во всех остальных пунктах докажем, что $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$ для любого $a$ из области определения $f$ (т.к. ни в каком пункте область определения не содержит изолированных точек). Это будет по определению означать непрерывность $f$ (на всей области определения).
Доказательство $\lim\limits_{x\to a}c=c$ тривиально.

б) $f(x)=|x|$

Доказательство.
Область определения: $\mathbb{R}$.
Возьмем произвольные $\varepsilon>0,a\in\mathbb{R}$. Тогда для любого $x\in\dot{U}_\varepsilon(a)$ выполнено $||x|-|a||\leq|x-a|<\varepsilon$ (согласно свойствам модуля из Википедии), т.е. $f(x)\in U_\varepsilon(f(a))$, что по определению означает $\lim\limits_{x\to a}f(x)=|a|=f(a)$.

[irod]

4.г) $f(x)=\frac{1}{x-2}$

Доказательство.
Область определения: $\mathbb{R}\setminus\{2\}$.
Пусть $a\neq 2$. Применим задачу 10 листка 15:

$$ \lim\limits_{x\to a}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{a-2}\right)= \frac{1}{a-2}\frac{\lim\limits_{x\to a}(a-x)}{\lim\limits_{x\to a}(x-2)}= 0. $$

Отсюда по задаче 9 листка 15, $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\frac{1}{a-2}=f(a)$.

Пункт в) будет позже.

[grizzly]

irod в сообщении #1277277 писал(а):

Тогда для любого $x\in\dot{U}_\varepsilon(a)$

Нужно рассматривать непроколотые окрестности. А то так можно доказать непрерывность в нуле функции $f(x)=0, x\ne 0; f(0)=1$.

[irod]

grizzly в сообщении #1277653 писал(а):

Нужно рассматривать непроколотые окрестности.

Да, ок.

-- 26.12.2017, 12:10 --

4.в) $f(x)=\sqrt{x}$

Доказательство.
Область определения: неотрицательные числа.
Возьмем произвольный $\varepsilon>0$.
Пусть $|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\varepsilon$. Тогда $\sqrt{x}<\varepsilon+\sqrt{a}$ (здесь и далее знаки модуля опущены в виду неотрицательности арифметического квадратного корня). Согласно неравенству треугольника, $|\sqrt{x}+\sqrt{a}|\leq \sqrt{x}+\sqrt{a}<\varepsilon+2\sqrt{a}$. Отсюда по свойству модуля, $|x-a|=|\sqrt{x}-\sqrt{a}||\sqrt{x}+\sqrt{a}|<\varepsilon(\varepsilon+2\sqrt{a})=\delta$, что по определению 3 означает непрерывность $f$ в точке $a$.

-- 26.12.2017, 12:11 --

Задача 5.
Привести пример функции на $\mathbb{R}$, которая

а) разрывна ровно в одной точке

Пример:
$f(x)=\begin{cases} 1 & \mbox{при } x>a, \\ 0 & \mbox{при } x\leq a. \end{cases}$
Здесь $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ не существует, т.к. $\lim\limits_{x\to a-0}f(x)=0\neq 1=\lim\limits_{x\to a+0}f(x)$.

б) всюду разрывна

Пример:
$f(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{при } x\in\mathbb{Q}, \\ 1 & \mbox{при } x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \end{cases}$
В любой окрестности произвольной действительной точки содержатся как рациональные, так и иррациональные числа. Следовательно, ни в какой точке предела $f$ не существует.

-- 26.12.2017, 12:13 --

г) разрывна в точках вида $1/n$, где $n\in\mathbb{N}$, и только в них

Пример:
$f(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{при } 1/x\in\mathbb{N}, \\ x & \mbox{иначе.} \end{cases}$
Здесь $\lim\limits_{x\to 1/n}f(x)=\frac{1}{n}\neq 0=f\left(\frac{1}{n}\right)$.

в) непрерывна ровно в одной точке

Над этим пунктом еще думаю.

[grizzly]

irod в сообщении #1278832 писал(а):

г) разрывна в точках вида $1/n$, где $n\in\mathbb{N}$, и только в них

Пример:
$f(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{при } 1/x\in\mathbb{N}, \\ x & \mbox{иначе.} \end{cases}$
Здесь $\lim\limits_{x\to 1/n}f(x)=\frac{1}{n}\neq 0=f\left(\frac{1}{n}\right)$.

А что скажете по поводу такой функции?
$f(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{при } 1/x\in\mathbb{N}, \\ \pi & \mbox{иначе.} \end{cases}$

[irod]

grizzly
скажу то же самое - разрывна в точках вида $1/n$:
$\lim\limits_{x\to 1/n}f(x)=\pi\neq 0=f\left(\frac{1}{n}\right)$.

-- 27.12.2017, 11:59 --

Пока не придумал 5.в, выложу следующие готовые задачи.

Задача 6.
Пусть функция непрерывна и положительна (отрицательна) в точке $a$. Тогда она положительна (отрицательна) в некоторой окрестности точки $a$.

Доказательство.
(Наверное, тут подразумевается функция, определенная на $\mathbb{R}$, т.е. область определения не содержит изолированных точек.)
Пусть функция $f$, определенная на $\mathbb{R}$, непрерывна и положительна (отрицательна) в точке $a$.
Возьмем $\varepsilon$ такой, что $0<\varepsilon<|f(a)|$. Тогда $U_\varepsilon(f(a))$ целиком положительна (отрицательна). По определению непрерывности, $\exists\delta>0$ такое, что $\forall x\in U_\delta(a)$ выполнено $f(x)\in U_\varepsilon(f(a))$ и, следовательно, $f(x)>0$ ($f(x)<0$).

[grizzly]

irod в сообщении #1279120 писал(а):

скажу то же самое

Вот я Вас и подловил
Теперь Ваша задача -- думать, почему я задал этот вопрос и почему мне не совсем понравилось Ваше решение. (Подсказка: думать нужно в другом направлении; для начала внимательно прочитайте, что требовалось в задаче.)

-- 27.12.2017, 12:11 --

Кстати, ответ на вопрос выше даст Вам идею недостающего пункта в), я надеюсь.

irod в сообщении #1279120 писал(а):

(Наверное, тут подразумевается функция, определенная на $\mathbb{R}$, т.е. область определения не содержит изолированных точек.)

Хорошее замечание.

[irod]

grizzly
про Ваш вопрос и 5.в и г буду думать.
Выложу еще сделанное.

Задача 7.
Пусть функции $f:M\to\mathbb{R}$ и $g:M\to\mathbb{R}$ непрерывны в точке $a$. Тогда функции $f\pm g$, $fg$ и $f/g$ ($g(a)\neq 0$) также непрерывны в $a$.

Доказательство.
Пусть $a$ -- изолированная точка $M$. Функции $f\pm g$ и $fg$ определены на $M$; область определения функции $f/g$ является подмножеством $M$ и может не совпадать с $M$ (в случае существования нулевых значений $g$). В любом случае, $a$ остается изолированной точкой областей определения функций $f\pm g$, $fg$ и $f/g$, и значит все эти функции по определению непрерывны в $a$.
Пусть теперь $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a),\lim\limits_{x\to a}g(x)=g(a)$. Тогда доказательство всех утверждений следует из задачи 10 листка 15:

$$ \lim\limits_{x\to a}(f\pm g)(x)=\lim\limits_{x\to a}(f(x)\pm g(x))=f(a)\pm g(a)=(f\pm g)(a), $$

$$ \lim\limits_{x\to a}(fg)(x)=\lim\limits_{x\to a}(f(x)g(x))=f(a)g(a)=(fg)(a), $$

$$ \lim\limits_{x\to a}\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(a)}{g(a)}=\left(\frac{f}{g}\right)(a). $$

Эти равенства по определению означают непрерывность искомых функций в точке $a$.

[irod]

grizzly в сообщении #1278850 писал(а):

А что скажете по поводу такой функции?
$f(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{при } 1/x\in\mathbb{N}, \\ \pi & \mbox{иначе.} \end{cases}$

grizzly в сообщении #1279121 писал(а):

irod в сообщении #1279120 писал(а):

скажу то же самое

Вот я Вас и подловил
Теперь Ваша задача -- думать, почему я задал этот вопрос и почему мне не совсем понравилось Ваше решение. (Подсказка: думать нужно в другом направлении; для начала внимательно прочитайте, что требовалось в задаче.)

Я понял, эта функция разрывна в нуле, ведь последовательность $\frac{1}{n}$ сходится к нулю.

Вот новый вариант пункта 5.г:
$f(x)=\begin{cases} x & \mbox{при } 1/x\in\mathbb{N}, \\ 0 & \mbox{иначе.} \end{cases}$
Здесь $\lim\limits_{x\to 1/n}f(x)=0\neq\frac{1}{n}=f\left(\frac{1}{n}\right)$.
В нуле функция непрерывна (при стремлении аргументов вида $\frac{1}{n}$ к нулю соответствующая последовательность значений также стремится к нулю).

[grizzly]

irod
Да, Вы всё поняли правильно. Более того, если в условии явно что-то требуется от решения, нужно в решении хоть как-то пояснять, что Вы это требование учли. То есть даже к Вашему последнему варианту решения нужно добавить хотя бы одно "очевидно": "очевидно, что в любой другой точке функция непрерывна". Впрочем, и подробно расписать это "очевидно" заняло бы всего несколько слов. Например: "..., поскольку в достаточно малой окрестности этой точки она постоянна". Вот это и будет джентльменский минимум (заниматься вычислением размера окрестности было бы уже лишним).

[irod]

grizzly
Ок.
Ровно эту же фразу - про очевидность непрерывности в любой другой точке кроме $a$ - можно добавить к моему примеру 5.а.

-- 28.12.2017, 15:41 --

Придумал вроде 5.в.

в) непрерывна ровно в одной точке

Пример:
$f(x)=\begin{cases} x & \mbox{при } x\in\mathbb{Q}, \\ -x & \mbox{при } x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \end{cases}$
Здесь $f(0)=0$ и $\forall\varepsilon>0\ \forall x\in U_\varepsilon(0)\ f(x)\in U_\varepsilon(0)$, что по определению означает непрерывность в нуле.
В любой другой точке $a\neq 0$ функция разрывна, т.к. в любой окрестности $a$ значения функции не попадают в некоторую окрестность точки $f(a)$, т.е. предела не существует.