Найти все неподвижные точки отображения (eng)

[sasa]

If $ f : (0,\infty)\to (0,\infty) $ is derivable such that $ \begin{array}{|c|} \hline f^{\prime}\left(f(x)\right)=x\; ,\; \; \forall x\in (0,\infty) \\ \hline \end{array} \; , $
find all fixed points of $ f $ .




Source: inspired by Problem E2105 proposed by H.L. Nelson , Amer.Math.Monthly 76(1969) .

[Руст]

Легко доказывается, что функция монотонно растущая и неограниченная. Для стационарной точки выполняется соотношение $f(x_0)=x_0$. Отсюда следует, что имеется не более одного стационарного значения при $х<1$ и не более одного стационарного значения при $x>1$. Соотношение на производную однозначно определяет функцию как решение дифференциального уравнения, если задать его значение в точке 1. Сама задача напоминает определение функции совпадающей со своим преобразованием Лежандра, и по видимому имеется общее решение. Приведу только простое решение в виде:
$f(x)=f(1)x^a$, $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, $f(1)=1/a$, $x_0=a^a$. Но мне кажется, что это единственно возможное значение $х_0$.

[sasa]

Цитата:

$ f(x)=f(1)x^a, a=\frac{1+\sqrt 5}{2}\; ,\; f(1)=1/a\; ,\; x_0=a^a ... (??)$.
........ это единственно возможное значение $ x_{0} $ .

Thanks ! ... But ...prove it !