2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти все неподвижные точки отображения (eng)
Сообщение10.03.2006, 07:51 
If $ f : (0,\infty)\to (0,\infty) $ is derivable such that $  \begin{array}{|c|}
\hline
 f^{\prime}\left(f(x)\right)=x\;  ,\; \; \forall x\in (0,\infty) \\
\hline
\end{array} \; ,  $
find all fixed points of $  f $ .





Source: inspired by Problem E2105 proposed by H.L. Nelson , Amer.Math.Monthly 76(1969) .

 
 
 
 
Сообщение10.03.2006, 10:40 
Легко доказывается, что функция монотонно растущая и неограниченная. Для стационарной точки выполняется соотношение $f(x_0)=x_0$. Отсюда следует, что имеется не более одного стационарного значения при $х<1$ и не более одного стационарного значения при $x>1$. Соотношение на производную однозначно определяет функцию как решение дифференциального уравнения, если задать его значение в точке 1. Сама задача напоминает определение функции совпадающей со своим преобразованием Лежандра, и по видимому имеется общее решение. Приведу только простое решение в виде:
$f(x)=f(1)x^a$, $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, $f(1)=1/a$, $x_0=a^a$. Но мне кажется, что это единственно возможное значение $х_0$.

 
 
 
 
Сообщение10.03.2006, 10:58 
Цитата:
$ f(x)=f(1)x^a, a=\frac{1+\sqrt 5}{2}\; ,\; f(1)=1/a\; ,\; x_0=a^a ... (??)$.
........ это единственно возможное значение $ x_{0}  $ .

Thanks ! ... But ...prove it !

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group