Asymptotic development...

[sasa]

Let $ e $ be Napier's constant . Find (if exists) all coefficients $ L, a_1,a_2,... $ from the asymptotic development

$ \begin{array}{|c|} \hline \\ \displaystyle n\cdot\sin{\left( 2\pi e n!\right) }= \displaystyle L+\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{a_k}{n^k}\\ \\ \hline \end{array} \; . $

[незваный гость]

The formula is supposed to be:
$n\cdot\sin{\left( 2\pi {\rm e} n!\right) }= \displaystyle L+\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{a_k}{n^k}$

[sasa]

незванный гость писал(а):

:evil: The formula is supposed to be......

Indeed, thank you very much ,/ proposer=Sasa:=Alexandru:=Alex

[Руст]

Пусть функция y(n) определяется как:
$y(n)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac {1}{(n+1)\dots(n+k)}$.
Тогда $n\sin{(2\pi e n!)}=n\sin{(2\pi y(n))}$. Отсюда легко получается асимптотическое разложение (о сходимости которой надо исследовать отдельно) с членами:
$L=2\pi,a_1=0,a_2=-(2\pi)-(2\pi)^3/6,a_3=2\pi, \dots$.