Для интереса решил найти первые интегралы системы (см. оффтоп).
(Оффтоп)
Перейдём к переменным
![$X, Y, Z$ $X, Y, Z$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/0/1704a85d42304b6494a0780df8bc461482.png)
по формулам
![$\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\frac 1 2&\frac 1 2\\0&\frac 3 2&-\frac 1 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\frac 1 2&\frac 1 2\\0&\frac 3 2&-\frac 1 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/0/f6031bf76cce8d045a58ec0109964d6482.png)
В новых переменных система примет вид:
![$\begin{bmatrix}\dot X\\\dot Y\\\dot Z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-2&0\\2&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}\dot X\\\dot Y\\\dot Z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-2&0\\2&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/c/06cd726dbb12121a855ce297d2748b7382.png)
Решение:
![$\begin{array}{l}X=e^t(X_0 \cos 2t - Y_0 \sin 2t)\\Y=e^t(X_0 \sin 2t + Y_0 \cos 2t)\\Z=e^t Z_0\end{array}$ $\begin{array}{l}X=e^t(X_0 \cos 2t - Y_0 \sin 2t)\\Y=e^t(X_0 \sin 2t + Y_0 \cos 2t)\\Z=e^t Z_0\end{array}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/a/bba42123ec03f3e75518d2a9af02895d82.png)
Индекс
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
обозначает начальное значение переменной (при
![$t=0$ $t=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/8/1c899e1c767eb4eac89facb5d1f2cb0d82.png)
).
Трактуя
![$X, Y, Z$ $X, Y, Z$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/0/1704a85d42304b6494a0780df8bc461482.png)
как декартовы координаты, перейдём стандартным образом к цилиндрическим
![$\rho, \varphi, Z$ $\rho, \varphi, Z$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/a/0eae86d122f18130a86c47cae6cf110d82.png)
:
![$\begin{array}{l}\rho\cos\varphi=e^t(\rho_0\cos\varphi_0\cos 2t-\rho_0\sin\varphi_0\sin 2t)=\rho_0 e^t \cos(\varphi_0+2t)\\\rho\sin\varphi=e^t(\rho_0\cos\varphi_0\sin 2t+\rho_0\sin\varphi_0\cos 2t)=\rho_0 e^t \sin(\varphi_0+2t)\end{array}$ $\begin{array}{l}\rho\cos\varphi=e^t(\rho_0\cos\varphi_0\cos 2t-\rho_0\sin\varphi_0\sin 2t)=\rho_0 e^t \cos(\varphi_0+2t)\\\rho\sin\varphi=e^t(\rho_0\cos\varphi_0\sin 2t+\rho_0\sin\varphi_0\cos 2t)=\rho_0 e^t \sin(\varphi_0+2t)\end{array}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/7/1270297f66c13a5dd87470a9f01cbc2682.png)
Отсюда следует
![$\rho=\rho_0 e^t, \;\varphi=\varphi_0+2t$ $\rho=\rho_0 e^t, \;\varphi=\varphi_0+2t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/9/8c9f988efe4be3f142d78ddbe8387f8282.png)
, что вместе с
![$Z=e^t Z_0$ $Z=e^t Z_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/1/18164090f40db7133cdc74f7ec341a7382.png)
даёт решение в цилиндрических координатах.
Перепишем решение в виде
![$\begin{array}{l}\rho=\rho_0 \,e^t\\e^{\varphi/2}=e^{\varphi_0/2}e^t\\Z=Z_0 e^t\end{array}$ $\begin{array}{l}\rho=\rho_0 \,e^t\\e^{\varphi/2}=e^{\varphi_0/2}e^t\\Z=Z_0 e^t\end{array}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/8/478beecfdec8b967e27e3f2deabe7b5a82.png)
Будем считать, что в правых частях множители перед
![$e^t$ $e^t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/e/48efbff8c70936e629ce05e60ff216d482.png)
не равны нулю (случай равенства нулю надо рассмотреть отдельно). Тогда отношение любых двух левых частей — константа, так что получаем три первых интеграла. Конечно, они не являются функционально независимыми. Им соответствуют три семейства поверхностей (
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
— произвольная ненулевая константа):
![$\rho=CZ$ $\rho=CZ$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/8/278b3e01201bd4c72ffe400d0522645f82.png)
— конусы
![$\rho=Ce^{\varphi/2}$ $\rho=Ce^{\varphi/2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/4/9943ad8cb9b9c94c76c8a99f8c31dd1682.png)
— «логарифмически-спиральные цилиндры»
![$Z=Ce^{\varphi/2}$ $Z=Ce^{\varphi/2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/6/a36bc2d3c3a60036828ebe422c5672e082.png)
— «логарифмические винтовые поверхности»
Совершая обратные преобразования координат, можно выразить первые интегралы через
![$x,y,z$ $x,y,z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/4/244be3c7db382d3e1400c7c4caa1023a82.png)
.