Фазовая кривая системы

[Nickspa]

Нарисовать фазовую кривую системы $\dot{x}=x-y-z, \dot{y}=x+y, \dot{z}=3x+z$, проходящую через точку (1,0,0).

Правильно ли делаю я? Прежде всего, нашел решение системы. Взял матрицу системы, нашёл собственные значения. $1, 1+2i, 1-2i$. Дальше определил решения:
$x=-2C_2e^tsin(2t)+2C_3e^tcos(2t)$
$y=C_1e^t+C_2e^tcos(2t)+C_3e^tsin(2t)$
$z=-C_1e^t+3C_2e^tcos(2t)+3C_3sin(2t)$

Теперь надо найти константы интегрирования. Есть точка, то есть x, y, z. Но для какого $t$? $t=0$?

И другой вопрос. Могу ли я попытаться привести это к диф. уравнению третьей степени? Ведь должно получиться уравнение с характеристическим уравнением с теми же корнями, так ведь? Но у меня что-то не выходит.

[Someone]

Nickspa в сообщении #1274969 писал(а):

Но для какого t? t=0?

Всё равно. Удобно взять $t=0$. (Формулы неправильно пишете, правила нарушаете. Кстати, синусы-косинусы и многие другие стандартные функции кодируются как \sin, \cos и т.п.)

Nickspa в сообщении #1274969 писал(а):

Могу ли я попытаться привести это к диф. уравнению третьей степени?

Можете.
Процедура следующая.
1) Находите $\ddot x$ и $\dddot x$, причём, после каждого дифференцирования подставляете выражения $\dot x$, $\dot y$, $\dot z$ из системы.
2) Из уравнений $\dot x=\ldots$ и $\ddot x=\ldots$ выражаете $y$ и $z$ через $x$, $\dot x$ и $\ddot x$.
3) полученные выражения подставляете в в уравнение $\dddot x=\ldots$.

Для некоторых систем метод не срабатывает, так как получается уравнение порядка $<3$. Тогда процедура несколько усложняется и вместо одного уравнения получается цепочка последовательно решаемых уравнений. Подробнее можно посмотреть в главе четвёртой, § 1, пункт 112 книги
Н. М. Матвеев. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. "Высшая школа", Москва, 1967.

[Nickspa]

Тогда при $t=0$ нахожу константы. И получаю
$x=e^tcos(2t); y=\frac{1}{2}e^tsin(2t); z=\frac{3}{2}e^tsin(2t)$
Как это построить?
Вижу, что $x^2+(y+z)^2=e^{2t}$, и $x^2+(2y)^2=e^{2t}$, и $z=3y$. Но что это за поверхность?

[ИСН]

Это не поверхность.

[Red_Herring]

Nickspa в сообщении #1274983 писал(а):

Вижу, что

 По крайней мере в одном уравнении ошибка, и одно из них лишнее.

Это кривая, и из последнего уравнения, если оно верное, следует, что это плоская кривая

[Nickspa]

Red_Herring в сообщении #1275017 писал(а):

Nickspa в сообщении #1274983 писал(а):

Вижу, что

 По крайней мере в одном уравнении ошибка, и одно из них лишнее.

Это кривая, и из последнего уравнения, если оно верное, следует, что это плоская кривая

Первое, конечно, поспешил: $x^2+(z-y)^2=e^{2t}$. Второе, видимо лишнее. Откуда вообще видно, что это кривая? Из того, что все три координаты параметризованы? Последнее уравнение - почему оно показывает, что кривая плоская? И в какой плоскости находится?

[Red_Herring]

Nickspa в сообщении #1275036 писал(а):

Последнее уравнение - почему оно показывает, что кривая плоская? И в какой плоскости находится?

Nickspa в сообщении #1274983 писал(а):

$z=3y$

А теперь что описывает на плоскости $x,y$ эта система

Nickspa в сообщении #1274983 писал(а):

$x=e^t\cos(2t); y=\frac{1}{2}e^t\sin(2t);$

?

[Someone]

Nickspa в сообщении #1275036 писал(а):

Откуда вообще видно, что это кривая?

Хм. А название "фазовая кривая" не намекает?

Nickspa в сообщении #1275036 писал(а):

Из того, что все три координаты параметризованы?

Термин "параметризованная кривая" Вам знаком?

Nickspa в сообщении #1275036 писал(а):

Последнее уравнение - почему оно показывает, что кривая плоская? И в какой плоскости находится?

Последнее уравнение какую поверхность задаёт?

[Nickspa]

Someone в сообщении #1275047 писал(а):

Nickspa в сообщении #1275036 писал(а):

Откуда вообще видно, что это кривая?

Хм. А название "фазовая кривая" не намекает?

Nickspa в сообщении #1275036 писал(а):

Из того, что все три координаты параметризованы?

Термин "параметризованная кривая" Вам знаком?

Nickspa в сообщении #1275036 писал(а):

Последнее уравнение - почему оно показывает, что кривая плоская? И в какой плоскости находится?

Последнее уравнение какую поверхность задаёт?

Плоскость, параллельную оси OX?

-- 15.12.2017, 12:53 --

В этой плоскости и находится наша кривая?

[Someone]

Nickspa в сообщении #1275057 писал(а):

В этой плоскости и находится наша кривая?

А как проверить, находится или не находится?

[Nickspa]

Someone в сообщении #1275198 писал(а):

Nickspa в сообщении #1275057 писал(а):

В этой плоскости и находится наша кривая?

А как проверить, находится или не находится?

Ну получается, что при любом $t$ выполняется равенство $z=3y$, значит все точки в этой плоскости. Или неверное рассуждение?

[Someone]

Верное.

[Nickspa]

Someone в сообщении #1275207 писал(а):

Верное.

Дальше что? Заменяя в уравнении $x^2+(z-y)^2=e^{2t}$ $z$ на $3y$ как раз и переходим в нашу плоскость? Получаем уравнение $x^2+(2y)^2=e^{2t}$. Это и есть наша кривая?

[Someone]

Nickspa в сообщении #1275236 писал(а):

Получаем уравнение $x^2+(2y)^2=e^{2t}$. Это и есть наша кривая?

А что, это похоже на уравнение кривой? Как вообще задаётся кривая в пространстве? Какие Вы знаете способы?

[Nickspa]

Someone в сообщении #1275250 писал(а):

Nickspa в сообщении #1275236 писал(а):

Получаем уравнение $x^2+(2y)^2=e^{2t}$. Это и есть наша кривая?

А что, это похоже на уравнение кривой? Как вообще задаётся кривая в пространстве? Какие Вы знаете способы?

Наверное, задается параметризуя каждую координату. То есть у нас вот что: $x=e^tcos(2t), y=\frac{1}{2}e^tsin(2t)$. Посмотрел в википедии, похоже на логарифмическую спираль. Кривых у меня ещё не было, готовлюсь к диффурам.