Фазовая кривая системы

[Someone]

Nickspa в сообщении #1275257 писал(а):

Наверное, задается параметризуя каждую координату.

Это один из способов (называется "параметризованная кривая"). Но есть и другие способы.

Nickspa в сообщении #1275257 писал(а):

То есть у нас вот что: $x=e^tcos(2t), y=\frac{1}{2}e^tsin(2t)$

У Вас же три координаты, а не две.

[Nickspa]

Someone в сообщении #1275260 писал(а):

Nickspa в сообщении #1275257 писал(а):

Наверное, задается параметризуя каждую координату.

Это один из способов (называется "параметризованная кривая"). Но есть и другие способы.

Nickspa в сообщении #1275257 писал(а):

То есть у нас вот что: $x=e^tcos(2t), y=\frac{1}{2}e^tsin(2t)$

У Вас же три координаты, а не две.

Третья $z=\frac{3}{2}e^tsin(2t)$. Мне ведь надо как-то прийти к плоской кривой. Заменой координат? Повернуть систему относительно $OX$?

[Someone]

Ну, "плоская" — это означает, что лежит в (какой-нибудь) плоскости. Не обязательно в координатной.

Nickspa в сообщении #1275262 писал(а):

Повернуть систему относительно $OX$?

Попробуйте. Так, чтобы плоскость $z=3y$ стала координатной.

[Nickspa]

Ну повернул, вроде. Получилось
$\tilde{x}=e^tcos(2t)$
$\tilde{y}=\frac{\sqrt{10}}{2}e^tsin(2t)$
$\tilde{z}=0$
Похоже логарифмическую спираль. Прав ли я?

[svv]

Для интереса решил найти первые интегралы системы (см. оффтоп).

(Оффтоп)

Перейдём к переменным $X, Y, Z$ по формулам
$\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\frac 1 2&\frac 1 2\\0&\frac 3 2&-\frac 1 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}$
В новых переменных система примет вид:
$\begin{bmatrix}\dot X\\\dot Y\\\dot Z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-2&0\\2&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}$
Решение:
$\begin{array}{l}X=e^t(X_0 \cos 2t - Y_0 \sin 2t)\\Y=e^t(X_0 \sin 2t + Y_0 \cos 2t)\\Z=e^t Z_0\end{array}$
Индекс $0$ обозначает начальное значение переменной (при $t=0$).

Трактуя $X, Y, Z$ как декартовы координаты, перейдём стандартным образом к цилиндрическим $\rho, \varphi, Z$:
$\begin{array}{l}\rho\cos\varphi=e^t(\rho_0\cos\varphi_0\cos 2t-\rho_0\sin\varphi_0\sin 2t)=\rho_0 e^t \cos(\varphi_0+2t)\\\rho\sin\varphi=e^t(\rho_0\cos\varphi_0\sin 2t+\rho_0\sin\varphi_0\cos 2t)=\rho_0 e^t \sin(\varphi_0+2t)\end{array}$
Отсюда следует $\rho=\rho_0 e^t, \;\varphi=\varphi_0+2t$, что вместе с $Z=e^t Z_0$ даёт решение в цилиндрических координатах.

Перепишем решение в виде
$\begin{array}{l}\rho=\rho_0 \,e^t\\e^{\varphi/2}=e^{\varphi_0/2}e^t\\Z=Z_0 e^t\end{array}$
Будем считать, что в правых частях множители перед $e^t$ не равны нулю (случай равенства нулю надо рассмотреть отдельно). Тогда отношение любых двух левых частей — константа, так что получаем три первых интеграла. Конечно, они не являются функционально независимыми. Им соответствуют три семейства поверхностей ($C$ — произвольная ненулевая константа):
$\rho=CZ$ — конусы
$\rho=Ce^{\varphi/2}$ — «логарифмически-спиральные цилиндры»
$Z=Ce^{\varphi/2}$ — «логарифмические винтовые поверхности»

Совершая обратные преобразования координат, можно выразить первые интегралы через $x,y,z$.

[Nickspa]

Red_Herring в сообщении #1275044 писал(а):

Nickspa в сообщении #1275036 писал(а):

Последнее уравнение - почему оно показывает, что кривая плоская? И в какой плоскости находится?

Nickspa в сообщении #1274983 писал(а):

$z=3y$

А теперь что описывает на плоскости $x,y$ эта система

Nickspa в сообщении #1274983 писал(а):

$x=e^t\cos(2t); y=\frac{1}{2}e^t\sin(2t);$

?

Пропустил этот Ваш пост. Уже, вроде, перешёл в плоскость $z=3y$ несколько выше. Там получилась похожая вещь. Я думаю, что это логарифмическая спираль, если масштаб по $y$ поменять. Или не она?

[Red_Herring]

Nickspa в сообщении #1275537 писал(а):

Или не она?

она

[Lia]

Nickspa
Повторяю:

Someone в сообщении #1274974 писал(а):

синусы-косинусы и многие другие стандартные функции кодируются как \sin, \cos и т.п.

И замечание в связи с избыточным цитированием. Цитируйте только если необходимо и только нужное. Для этого, например, можно пользоваться кнопкой "Вставка". Выделили требуемое - нажали.