Очередное "лже"-доказательство теоремы Ферма для n=3

[Vadim44]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Будем натуральные числа, которые удовлетворяют уравнению (1),
называть корнями уравнения Ферма и обозначать их $ x_F$ , $ y_F$ , $ z_F$ и $ n_F$
$\ x^n+y^n=z^n. \ (1)$ .
Если искать решения уравнения (1) во множестве целых чисел,
то уравнение (1) является диофантовым уравнением Ферма,
решениями которого будут натуральными числа $ x_F$ , $ y_F$ , $ z_F$ и $ n_F$ .
Теорема Ферма гласит: нет таких натуральных чисел $ x$ , $ y$ и $ z$ ,
которые бы при целой степени $ n > 2$ удовлетворяли уравнению (1).
Можно считать, что натуральные числа $ x$ , $ y$ и $ z$
являются попарно взаимно простыми числами,
так в противном случае общий множитель можно сократить.
Рассмотрим вещественное уравнение с вещественными переменными $ x$ , $ y$ , $ z$ и $ n$
$ \sin^2(\pi a z)\ +\ \sin^2(\pi a x)+\sin^2(\pi a y)+\sin^2(\pi a n) = 0 , \ (2)$
где $ z = \sqrt[n]{x^n+y^n} $ ; $ \max ( x , y ) < z < x + y $.
Графики зависимостей $ z ( n )$ при различных фиксированных значениях $ x$ и $ y$ показаны на Рис. 1.
Приведенные графики показывают, что при фиксированных значениях $ x$ и $ y$ функции $ z ( n )$
являются однозначными и монотонно убывающими.



Очевидно, что при $ a=1 $ корни уравнения Ферма являются и корнями уравнения (2).
Следует заметить, что при $ a=1 $ других корней уравнение (2) не имеет,
то есть множества корней диофантова уравнения Ферма и уравнения (2) совпадают,
то есть уравнение (2) и диофантово уравнение Ферма эквивалентны при $ a=1 $.
Рассмотрим непрерывную и гладкую вещественную функцию
вещественных переменных $ x $ , $ y $ , $ n $ и $ a $ (левая часть уравнения (2)).
$ F(x,y,n,a)=\sin^2(\pi a z)\ +\ \sin^2(\pi a x)+\sin^2(\pi a y)+\sin^2(\pi a n) \geq 0 , \ (3)$
где $ z = \sqrt[n]{x^n+y^n} $ ; $ x , y , n > 1$ ; $ a \in { ( 1-\Delta; 1+\Delta )}$ и $ \Delta$ - достаточно малое число.
Функция (3) непрерывная и гладкая, имеющая непрерывные производные всех порядков и
имеющая непрерывные производные на всем множестве определения.
Очевидно, что при $ a=1 $ корни уравнения Ферма обращают функцию (3) в ноль,
то есть в этих точках функция (3) имеет локальные минимумы.
Таким образом, задачу решения диофантового уравнения Ферма (1) свели к решению
тригонометрического уравнения (2) и задаче нахождения экстремумов функции (3)
при $ a = 1$.
Очевидно, что при $ a=1 $ и целых $ x$ , $ y$ , $ z$ и $ n$ функция $ F(x,y,n,a) = 0$.
Так же очевидно, что при $ a \neq 1 $ и целых $ x$ , $ y$ , $ z$ и $ n$ функция $ F(x,y,n,a) > 0$.
Запишем необходимые условия существования экстремума функции (3):
$\frac{\partial F}{\partial x}=\pi a \ x^{n-1} \ z^{1-n}\ \sin(2 \pi a z)+\pi a\sin(2\pi a x) = 0 ,\ (4)$
$\frac{\partial F}{\partial y}=\pi a \ y^{n-1} \ z^{1-n}\ \sin(2 \pi a z)+\pi a\sin(2\pi a y) = 0 ,\ (5)$
где $ z = \sqrt[n]{x^n+y^n} $ или $\ x^n+y^n=z^n \ (6)$.
Так как в три уравнения (4), (5) и (6) входят пять переменных, то три переменные будут независимыми
(их значения можно задавать произвольно), а две зависимыми (их значения определяются из полученной
системы уравнений). Поскольку между переменными $z$ и $n$ имеет место однозначная зависимость,
то из пяти переменных $ x$ , $ y$ , $ z$, $ n$ и $ a$ в качестве независимых можно принять $ x$ , $ y$ , $ z$ ,
а переменные $ n ( x , y , z )$ и $ a$ считать зависимыми.
Будем искать координаты минимума функции (3) во множестве целых координат,
поэтому запишем необходимые условия существования экстремума функции (3) в точках
с целыми координатами $ x_0$ , $ y_0$ и $ z_0$ , для чего фиксированные координаты $ x_0$ , $ y_0$ и $ z_0$
произвольной точки подставим в уравнения (4), (5) и (6).
Тогда получим следующую систему уравнений
$\pi a \ x_0^{n-1} \ z_0^{1-n}\ \sin(2 \pi a z_0)+\pi a\sin(2\pi a x_0) = 0 ,\ (7)$
$\pi a \ y_0^{n-1} \ z_0^{1-n}\ \sin(2 \pi a z_0)+\pi a\sin(2\pi a y_0) = 0 .\ (8)$
где $ z_0 = \sqrt[n]{x_0^n+y_0^n} $ или $\ x_0^n+y_0^n=z_0^n \ (9)$ ,
здесь $ n ( x_0 , y_0 , z_0 )$ определяется из уравнений (9).
Таким образом, получили два уравнения (7) и (8) с переменными $ n ( x_0 , y_0 , z_0 )$ и $ a $ и
постоянными коэффициентами $ x_0$ , $ y_0$ и $ z_0$.
Перепишем уравнения (7) и (8) в следующем виде
$\frac{\sin(2\pi a z_0)}{z_0^{n-1} } - \frac{\sin(2\pi a x_0)}{x_0^{n-1} } = 0\ (10)$
$\frac{\sin(2\pi a z_0)}{z_0^{n-1} } - \frac{\sin(2\pi a y_0)}{y_0^{n-1} } = 0\ (11)$ .
Следует заметить, что уравнения (10) и (11) являются необходимыми условиями существования экстремума функции (3).
Любое уравнение с двумя переменными вида $\Phi ( u , v ) = 0$ можно считать заданием неявной функции $ u ( v )$.
Поэтому уравнения (10) и (11) можно рассматривать как неявные функции
переменной $ n $ от переменной $ a $, то есть как функции $ n ( a )$ .
Таким образом, уравнения (10) и (11) позволяют найти две функции $ n ( a ) $, в которых
коофициенты $ x_0$ , $ y_0$ и $ z_0$ постоянны и не зависят от переменной $ a $.
Выразим из уравнений (10) и (11) функции $ n ( a )$ в явном виде:
$ \ n ( a ) = n 1 ( a ) = 1 + \frac{\ln\frac{\sin(2\pi a z_0) }{\sin(2\pi a x_0) }}{\ln\frac{\ z_0}{\ x_0}}\ (12)$ ,
$ \ n ( a ) = n 2 ( a )= 1 + \frac{\ln\frac{\sin(2\pi a z_0) }{\sin(2\pi a y_0) }}{\ln\frac{\ z_0}{\ y_0}}\ (13)$ .
Предположим, что диофантово уравнение Ферма имеет решение $ x_F$ , $ y_F$ , $ z_F$ и $ n_F$.
Графики функций (12) и (13) при различных $ x_0 = x_F$ , $ y_0 = y_F$ и $ z_0 = z_F$ показаны на рис. 2.



Функции (12) и (13) это неявные функции, полученные в явном виде из уравнений (10) и (11),
которые являются необходимыми условиями существования экстремумов функции (3).
Функции (12) и (13) непрерывные и гладкие в окрестности точки $a = 1$ ,
а в самой точке $a = 1$ функции не определены.
Функция (3) может иметь экстремумы не при любых целых координатах $ x_0$ , $ y_0$ и $z_0$ ,
а только когда координаты $ x_0 = x_F$ , $ y_0 = y_F$ и $z_0 = z_F$ .
Этим и обусловлен тот факт, что функции (12) и (13) не определенны в точке $a = 1$ .
Функции (12) и (13) в точке $ a = 1$ не определены, так как в числителе дробей при $ a = 1$
имеют место неопределенности типа 0/0 .
Раскроем неопределенности по правилу Лопиталя и найдем пределы функций (12) и (13) когда $ a \to 1$.
Эти пределы равны $ n_{\lim} = \lim\limits_{a\to 1} n 1 ( a ) = \lim\limits_{a\to 1} n 2 ( a )= 2 $.
Пределы функций (12) и (13) $ n_\lim$ не зависяn от значений $ x_0$ , $ y_0$ и $z_0$ и равны 2,
то есть $ n_{\lim} = 2$ при любых значениях $ x_0$ , $ y_0$ и $z_0$ .
Функции (12) и (13) в точке $a = 1$
имеют разрыв I-го рода, который может быть устранен. Поскольку функции (12) и (13) имеют
пределы $ n_{\lim} = \lim\limits_{a\to 1} n 1 ( a ) = \lim\limits_{a\to 1} n 2 ( a )= 2 $ при $ a \to 1$ ,
то функции (12) и (13) могут быть превращены в непрерывные и гладкие
на всем множестве их определения, если их в точке $a = 1$ до определить
их пределами $ n_{\lim} = \lim\limits_{a\to 1} n 1 ( a ) = \lim\limits_{a\to 1} n 2 ( a )= 2 $.

Производные функций (12) и (13) по переменной $a$ определяются следующими функциями

$n 1' ( a ) = 2 \pi \frac{z_0 \cos(2 \pi a z_0)\sin(2 \pi a x_0) - x_0\cos(2 \pi a x_0)\sin(2 \pi a z_0)}{\ln\frac{z_0}{x_0}\sin(2 \pi a x_0)\sin(2 \pi a x_0)} \ ( 1 4)$ ,

$n 1' ( a ) = 2 \pi \frac{z_0 \cos(2 \pi a z_0)\sin(2 \pi a y_0) - x_0\cos(2 \pi a y_0)\sin(2 \pi a z_0)}{\ln\frac{z_0}{y_0}\sin(2 \pi a y_0)\sin(2 \pi a y_0)} \ ( 1 5)$ .

Очень важно, что в точке $a = 1$ производные функций (14) и (15) по $a$ не определенны,
но имеют пределы равные нулю, то есть в точке $a = 1$ производные $n 1 ' ( a ) = n 2 ' ( a ) = 0$ .
Это подтверждает, что функции (12) и (13), до определенные при $a = 1$ значениями $n = n_{\lim}$ ,
будут и гладкими.
Предположим, что диофантово уравнение Ферма имеет целочисленное решение $x_F$ , $y_F$ , z_F$ и n_F$ ,
тогда функция (3) в этих точках обращается в ноль, а поэтому в этих точках она имеет минимумы.
Поскольку функции (12) и (13) справедливы при целых значениях $ x_0$ , $ y_0$ и $z_0$,
то они будут справедливы и при $ x_0 = x_F$ , $ y_0 = y_F$ , $z_0 = z_F$ и $n = n_F$ .
Поэтому функции (12) и (13) могут переписаны в виде
$ \ n ( a ) = n 3 ( a ) = 1 + \frac{\ln\frac{\sin(2\pi a z_F) }{\sin(2\pi a x_F) }}{\ln\frac{\ z_F}{\ x_F}}\ (16)$ ,
$ \ n ( a ) = n 4 ( a )= 1 + \frac{\ln\frac{\sin(2\pi a z_F) }{\sin(2\pi a y_F) }}{\ln\frac{\ z_F}{\ y_F}}\ (17)$ .
Следует заметить, что функции (16) и (17) не определены при $a = 1$ , но достоверно известно,
что при $a = 1$ в точках с координатами $ x_F$ , $y_F$ , $z_F$ и $n_F$ имеют место экстремумы,
поэтому функции (16) и (17) должны быть до определены значениями $n_F$ при $a = 1$ .
На Рис. 2. показано до определение функций (12), (13), (17) и (17) значениями $n = n_F = 2$ и $n = n_F = 3$ .
Координаты точек экстремумов функции (3) могут быть найдены, как точки
пересечения до определенных функций (16) и (17), что дает координаты $n = n_F$ и $a = 1$
для точки экстремума функции (3).
Графическое решение системы уравнений (10) и (11) проиллюстрировано на Рис. 2. ,
где координата $n$ экстремума функции (3) находится как точка пересечения
до определенных функций (16) и (17).
Следует заметить, что если до определить функции (16) и (17) значением $n = n_F = n_{\lim} = 2$ ,
то функции (16) и (17) будут непрерывными и гладкими,
а если функции (16) и (17) до определить значением $n = n_F = 3$ , то функции (16) и (17)
будут иметь разрыв при $a = 1$.
Для того, чтобы установить, может ли функция (3) иметь минимумы при том или ином значении $n_F$
надо воспользоваться свойствами непрерывных и гладких функций, для которых функции (16) и (17),
получаемые из необходимых условий существования экстремума (10) и (11), непрерывны.

Непрерывные и гладкие функции обладают следующими свойствами:

1. В области определения эти функции не только непрерывны сами, но непрерывны и их производные по координатам;

2. При непрерывном изменении переменных координаты экстремумов непрерывных и гладких функций непрерывным
образом изменяются, а сами экстремумы функций смещаются в пространстве;

3. При непрерывном изменении переменных координаты экстремумов непрерывных и гладких функций не должны
иметь разрывов».

4. Для непрерывных и гладких функций, функции, получаемые из необходимых условий существования
экстремума, непрерывны.

Если функция (3) имеет минимумы в точках $ x = x_F$ , $ y = y_F$ , $z = z_F$ и $n = n_F$
при $a = 1$ , то функция (3) будет иметь минимумы и в точках $ x = x_F / a$ , $ y = y_F / a$ , $z = z_F / a$ и $n = n_F / a$
при любых значениях $a$, причем при непрерывном изменении $a$ координаты точек минимумов
изменяются непрерывным образом.
Из свойств непрерывных и гладких функций следует, что функции (16) и (17) должны быть непрерывными,
поэтому функция (3) может иметь минимумы только при $n = n_{\lim} = 2$,
а при других значениях $n > 2$ функция (3) минимумов не имеет.
Таким образом получили, что при $n = n_F = n_{\lim} = 2$
непрерывность функций (16) и (17) не нарушается , а при $n = n_F > n_{\lim} = 2$
нарушается непрерывность функций (16) и (17).
Поскольку функция (3) не имеет минимума при $n = 3$,
то и диофантово уравнение Ферма не имеет целочисленных решений при $n = 3$ .

Таким образом доказали, что при $n = 3$ диофанотово уравнение Ферма не имеет целочисленных решений.

Следует заметить, что доказательство теоремы Ферма выполнено методом, основанном
на сведении решения диофантового уравнения Ферма к решению
эквивалентного тригонометрического уравнения, нахождению минимумов функции,
получаемой из тригонометрического уравнения и использовании свойств экстремумов
непрерывных и гладких функций. Метод не позволяет находить решения диофанотовых уравнений,
но в ряде случаев позволяет установить, когда диофантово уравнение не имеет решений.

[Lia]

Vadim44
Блокировка две недели за повторное размещение закрытой ранее темы.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Пургаторий (М)»

[DeBill]

Че то я не понимаю: посмотрел 11-страничные попытки убедить чела в неправоте - в предыдущей теме,
и везде производная от $\sin^2x$ равна $2\sin x$. С чего бы это?

[Lia]

DeBill
Погоды это не меняет, конечно, но вроде $\sin 2x$ везде, не?

[DeBill]

Аааа, два то я и не заметил....