2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Очередное "лже"-доказательство теоремы Ферма для n=3
Сообщение15.12.2017, 10:00 


05/11/17

53
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Будем натуральные числа, которые удовлетворяют уравнению (1),
называть корнями уравнения Ферма и обозначать их $ x_F$ , $ y_F$ , $ z_F$ и $ n_F$
$\ x^n+y^n=z^n. \ (1)$ .
Если искать решения уравнения (1) во множестве целых чисел,
то уравнение (1) является диофантовым уравнением Ферма,
решениями которого будут натуральными числа $ x_F$ , $ y_F$ , $ z_F$ и $ n_F$ .
Теорема Ферма гласит: нет таких натуральных чисел $ x$ , $ y$ и $ z$ ,
которые бы при целой степени $ n > 2$ удовлетворяли уравнению (1).
Можно считать, что натуральные числа $ x$ , $ y$ и $ z$
являются попарно взаимно простыми числами,
так в противном случае общий множитель можно сократить.
Рассмотрим вещественное уравнение с вещественными переменными $ x$ , $ y$ , $ z$ и $ n$
$ \sin^2(\pi a z)\ +\ \sin^2(\pi a x)+\sin^2(\pi a y)+\sin^2(\pi a n) = 0 , \ (2)$
где $ z = \sqrt[n]{x^n+y^n} $ ; $ \max ( x , y ) < z < x + y $.
Графики зависимостей $ z ( n )$ при различных фиксированных значениях $ x$ и $ y$ показаны на Рис. 1.
Приведенные графики показывают, что при фиксированных значениях $ x$ и $ y$ функции $ z ( n )$
являются однозначными и монотонно убывающими.

Изображение

Очевидно, что при $ a=1 $ корни уравнения Ферма являются и корнями уравнения (2).
Следует заметить, что при $ a=1 $ других корней уравнение (2) не имеет,
то есть множества корней диофантова уравнения Ферма и уравнения (2) совпадают,
то есть уравнение (2) и диофантово уравнение Ферма эквивалентны при $ a=1 $.
Рассмотрим непрерывную и гладкую вещественную функцию
вещественных переменных $ x $ , $ y $ , $ n $ и $ a $ (левая часть уравнения (2)).
$ F(x,y,n,a)=\sin^2(\pi a z)\ +\ \sin^2(\pi a x)+\sin^2(\pi a y)+\sin^2(\pi a n) \geq 0 , \ (3)$
где $ z = \sqrt[n]{x^n+y^n} $ ; $ x , y , n > 1$ ; $ a \in { ( 1-\Delta; 1+\Delta )}$ и $ \Delta$ - достаточно малое число.
Функция (3) непрерывная и гладкая, имеющая непрерывные производные всех порядков и
имеющая непрерывные производные на всем множестве определения.
Очевидно, что при $ a=1 $ корни уравнения Ферма обращают функцию (3) в ноль,
то есть в этих точках функция (3) имеет локальные минимумы.
Таким образом, задачу решения диофантового уравнения Ферма (1) свели к решению
тригонометрического уравнения (2) и задаче нахождения экстремумов функции (3)
при $ a = 1$.
Очевидно, что при $ a=1 $ и целых $ x$ , $ y$ , $ z$ и $ n$ функция $ F(x,y,n,a) = 0$.
Так же очевидно, что при $ a \neq 1 $ и целых $ x$ , $ y$ , $ z$ и $ n$ функция $ F(x,y,n,a) > 0$.
Запишем необходимые условия существования экстремума функции (3):
$\frac{\partial F}{\partial x}=\pi a \ x^{n-1} \ z^{1-n}\ \sin(2 \pi a z)+\pi a\sin(2\pi a x) = 0 ,\ (4)$
$\frac{\partial F}{\partial y}=\pi a \ y^{n-1} \ z^{1-n}\ \sin(2 \pi a z)+\pi a\sin(2\pi a y) = 0 ,\ (5)$
где $ z = \sqrt[n]{x^n+y^n} $ или $\ x^n+y^n=z^n \ (6)$.
Так как в три уравнения (4), (5) и (6) входят пять переменных, то три переменные будут независимыми
(их значения можно задавать произвольно), а две зависимыми (их значения определяются из полученной
системы уравнений). Поскольку между переменными $z$ и $n$ имеет место однозначная зависимость,
то из пяти переменных $ x$ , $ y$ , $ z$, $ n$ и $ a$ в качестве независимых можно принять $ x$ , $ y$ , $ z$ ,
а переменные $ n ( x , y , z )$ и $ a$ считать зависимыми.
Будем искать координаты минимума функции (3) во множестве целых координат,
поэтому запишем необходимые условия существования экстремума функции (3) в точках
с целыми координатами $ x_0$ , $ y_0$ и $ z_0$ , для чего фиксированные координаты $ x_0$ , $ y_0$ и $ z_0$
произвольной точки подставим в уравнения (4), (5) и (6).
Тогда получим следующую систему уравнений
$\pi a \ x_0^{n-1} \ z_0^{1-n}\ \sin(2 \pi a z_0)+\pi a\sin(2\pi a x_0) = 0 ,\ (7)$
$\pi a \ y_0^{n-1} \ z_0^{1-n}\ \sin(2 \pi a z_0)+\pi a\sin(2\pi a y_0) = 0 .\ (8)$
где $ z_0 = \sqrt[n]{x_0^n+y_0^n} $ или $\ x_0^n+y_0^n=z_0^n \ (9)$ ,
здесь $ n ( x_0 , y_0 , z_0 )$ определяется из уравнений (9).
Таким образом, получили два уравнения (7) и (8) с переменными $ n ( x_0 , y_0 , z_0 )$ и $ a $ и
постоянными коэффициентами $ x_0$ , $ y_0$ и $ z_0$.
Перепишем уравнения (7) и (8) в следующем виде
$\frac{\sin(2\pi a z_0)}{z_0^{n-1} } - \frac{\sin(2\pi a x_0)}{x_0^{n-1} } = 0\ (10)$
$\frac{\sin(2\pi a z_0)}{z_0^{n-1} } - \frac{\sin(2\pi a y_0)}{y_0^{n-1} } = 0\ (11)$ .
Следует заметить, что уравнения (10) и (11) являются необходимыми условиями существования экстремума функции (3).
Любое уравнение с двумя переменными вида $\Phi ( u , v ) = 0$ можно считать заданием неявной функции $ u ( v )$.
Поэтому уравнения (10) и (11) можно рассматривать как неявные функции
переменной $ n $ от переменной $ a $, то есть как функции $ n ( a )$ .
Таким образом, уравнения (10) и (11) позволяют найти две функции $ n ( a ) $, в которых
коофициенты $ x_0$ , $ y_0$ и $ z_0$ постоянны и не зависят от переменной $ a $.
Выразим из уравнений (10) и (11) функции $ n ( a )$ в явном виде:
$ \ n ( a ) = n 1 ( a ) = 1 + \frac{\ln\frac{\sin(2\pi a z_0) }{\sin(2\pi a x_0) }}{\ln\frac{\ z_0}{\ x_0}}\ (12)$ ,
$ \ n ( a ) = n 2 ( a )= 1 + \frac{\ln\frac{\sin(2\pi a z_0) }{\sin(2\pi a y_0) }}{\ln\frac{\ z_0}{\ y_0}}\ (13)$ .
Предположим, что диофантово уравнение Ферма имеет решение $ x_F$ , $ y_F$ , $ z_F$ и $ n_F$.
Графики функций (12) и (13) при различных $ x_0 = x_F$ , $ y_0 = y_F$ и $ z_0 = z_F$ показаны на рис. 2.

Изображение

Функции (12) и (13) это неявные функции, полученные в явном виде из уравнений (10) и (11),
которые являются необходимыми условиями существования экстремумов функции (3).
Функции (12) и (13) непрерывные и гладкие в окрестности точки $a = 1$ ,
а в самой точке $a = 1$ функции не определены.
Функция (3) может иметь экстремумы не при любых целых координатах $ x_0$ , $ y_0$ и $z_0$ ,
а только когда координаты $ x_0 = x_F$ , $ y_0 = y_F$ и $z_0 = z_F$ .
Этим и обусловлен тот факт, что функции (12) и (13) не определенны в точке $a = 1$ .
Функции (12) и (13) в точке $ a = 1$ не определены, так как в числителе дробей при $ a = 1$
имеют место неопределенности типа 0/0 .
Раскроем неопределенности по правилу Лопиталя и найдем пределы функций (12) и (13) когда $ a \to 1$.
Эти пределы равны $ n_{\lim} = \lim\limits_{a\to 1} n 1 ( a ) = \lim\limits_{a\to 1} n 2 ( a )= 2 $.
Пределы функций (12) и (13) $ n_\lim$ не зависяn от значений $ x_0$ , $ y_0$ и $z_0$ и равны 2,
то есть $ n_{\lim} = 2$ при любых значениях $ x_0$ , $ y_0$ и $z_0$ .
Функции (12) и (13) в точке $a = 1$
имеют разрыв I-го рода, который может быть устранен. Поскольку функции (12) и (13) имеют
пределы $ n_{\lim} = \lim\limits_{a\to 1} n 1 ( a ) = \lim\limits_{a\to 1} n 2 ( a )= 2 $ при $ a \to 1$ ,
то функции (12) и (13) могут быть превращены в непрерывные и гладкие
на всем множестве их определения, если их в точке $a = 1$ до определить
их пределами $ n_{\lim} = \lim\limits_{a\to 1} n 1 ( a ) = \lim\limits_{a\to 1} n 2 ( a )= 2 $.

Производные функций (12) и (13) по переменной $a$ определяются следующими функциями

$n 1' ( a ) = 2 \pi \frac{z_0 \cos(2 \pi a z_0)\sin(2 \pi a x_0) - x_0\cos(2 \pi a x_0)\sin(2 \pi a z_0)}{\ln\frac{z_0}{x_0}\sin(2 \pi a x_0)\sin(2 \pi a x_0)} \ ( 1 4)$ ,

$n 1' ( a ) = 2 \pi \frac{z_0 \cos(2 \pi a z_0)\sin(2 \pi a y_0) - x_0\cos(2 \pi a y_0)\sin(2 \pi a z_0)}{\ln\frac{z_0}{y_0}\sin(2 \pi a y_0)\sin(2 \pi a y_0)} \ ( 1 5)$ .

Очень важно, что в точке $a = 1$ производные функций (14) и (15) по $a$ не определенны,
но имеют пределы равные нулю, то есть в точке $a = 1$ производные $n 1 ' ( a ) = n 2 ' ( a ) = 0$ .
Это подтверждает, что функции (12) и (13), до определенные при $a = 1$ значениями $n = n_{\lim}$ ,
будут и гладкими.
Предположим, что диофантово уравнение Ферма имеет целочисленное решение $x_F$ , $y_F$ , z_F$ и n_F$ ,
тогда функция (3) в этих точках обращается в ноль, а поэтому в этих точках она имеет минимумы.
Поскольку функции (12) и (13) справедливы при целых значениях $ x_0$ , $ y_0$ и $z_0$,
то они будут справедливы и при $ x_0 = x_F$ , $ y_0 = y_F$ , $z_0 = z_F$ и $n = n_F$ .
Поэтому функции (12) и (13) могут переписаны в виде
$ \ n ( a ) = n 3 ( a ) = 1 + \frac{\ln\frac{\sin(2\pi a z_F) }{\sin(2\pi a x_F) }}{\ln\frac{\ z_F}{\ x_F}}\ (16)$ ,
$ \ n ( a ) = n 4 ( a )= 1 + \frac{\ln\frac{\sin(2\pi a z_F) }{\sin(2\pi a y_F) }}{\ln\frac{\ z_F}{\ y_F}}\ (17)$ .
Следует заметить, что функции (16) и (17) не определены при $a = 1$ , но достоверно известно,
что при $a = 1$ в точках с координатами $ x_F$ , $y_F$ , $z_F$ и $n_F$ имеют место экстремумы,
поэтому функции (16) и (17) должны быть до определены значениями $n_F$ при $a = 1$ .
На Рис. 2. показано до определение функций (12), (13), (17) и (17) значениями $n = n_F = 2$ и $n = n_F = 3$ .
Координаты точек экстремумов функции (3) могут быть найдены, как точки
пересечения до определенных функций (16) и (17), что дает координаты $n = n_F$ и $a = 1$
для точки экстремума функции (3).
Графическое решение системы уравнений (10) и (11) проиллюстрировано на Рис. 2. ,
где координата $n$ экстремума функции (3) находится как точка пересечения
до определенных функций (16) и (17).
Следует заметить, что если до определить функции (16) и (17) значением $n = n_F = n_{\lim} = 2$ ,
то функции (16) и (17) будут непрерывными и гладкими,
а если функции (16) и (17) до определить значением $n = n_F = 3$ , то функции (16) и (17)
будут иметь разрыв при $a = 1$.
Для того, чтобы установить, может ли функция (3) иметь минимумы при том или ином значении $n_F$
надо воспользоваться свойствами непрерывных и гладких функций, для которых функции (16) и (17),
получаемые из необходимых условий существования экстремума (10) и (11), непрерывны.

Непрерывные и гладкие функции обладают следующими свойствами:

1. В области определения эти функции не только непрерывны сами, но непрерывны и их производные по координатам;

2. При непрерывном изменении переменных координаты экстремумов непрерывных и гладких функций непрерывным
образом изменяются, а сами экстремумы функций смещаются в пространстве;

3. При непрерывном изменении переменных координаты экстремумов непрерывных и гладких функций не должны
иметь разрывов».

4. Для непрерывных и гладких функций, функции, получаемые из необходимых условий существования
экстремума, непрерывны.

Если функция (3) имеет минимумы в точках $ x = x_F$ , $ y = y_F$ , $z = z_F$ и $n = n_F$
при $a = 1$ , то функция (3) будет иметь минимумы и в точках $ x = x_F / a$ , $ y = y_F / a$ , $z = z_F / a$ и $n = n_F / a$
при любых значениях $a$, причем при непрерывном изменении $a$ координаты точек минимумов
изменяются непрерывным образом.
Из свойств непрерывных и гладких функций следует, что функции (16) и (17) должны быть непрерывными,
поэтому функция (3) может иметь минимумы только при $n = n_{\lim} = 2$,
а при других значениях $n > 2$ функция (3) минимумов не имеет.
Таким образом получили, что при $n = n_F = n_{\lim} = 2$
непрерывность функций (16) и (17) не нарушается , а при $n = n_F >  n_{\lim} = 2$
нарушается непрерывность функций (16) и (17).
Поскольку функция (3) не имеет минимума при $n = 3$,
то и диофантово уравнение Ферма не имеет целочисленных решений при $n = 3$ .

Таким образом доказали, что при $n = 3$ диофанотово уравнение Ферма не имеет целочисленных решений.

Следует заметить, что доказательство теоремы Ферма выполнено методом, основанном
на сведении решения диофантового уравнения Ферма к решению
эквивалентного тригонометрического уравнения, нахождению минимумов функции,
получаемой из тригонометрического уравнения и использовании свойств экстремумов
непрерывных и гладких функций. Метод не позволяет находить решения диофанотовых уравнений,
но в ряде случаев позволяет установить, когда диофантово уравнение не имеет решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередное "лже"-доказательство теоремы Ферма для n=3
Сообщение15.12.2017, 10:38 


20/03/14
12041
 !  Vadim44
Блокировка две недели за повторное размещение закрытой ранее темы.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение15.12.2017, 10:41 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Пургаторий (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередное "лже"-доказательство теоремы Ферма для n=3
Сообщение24.12.2017, 01:18 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Че то я не понимаю: посмотрел 11-страничные попытки убедить чела в неправоте - в предыдущей теме,
и везде производная от $\sin^2x$ равна $2\sin x$. С чего бы это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередное "лже"-доказательство теоремы Ферма для n=3
Сообщение24.12.2017, 01:57 


20/03/14
12041
DeBill
Погоды это не меняет, конечно, но вроде $\sin 2x$ везде, не?

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередное "лже"-доказательство теоремы Ферма для n=3
Сообщение24.12.2017, 09:54 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Аааа, два то я и не заметил....

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group