Доказать равномощность множеств

[Sdy]

Задача : "Покажите, что квадрат (с внутренностью) и треугольник (с внутренностью) равномощны".
Никак не понимаю, как строго доказать это утверждение. Я видел схожую тему про доказательства без внутренностей, но к истине она меня не приблизила. Я понимаю, как доказать равномощность окружностей, так как ясно вижу биекцию при переходе в полярные координаты. В этой задаче хотелось бы радостно сказать, что придадим квадрату форму треугольника и получим биекцию. Но я ее не вижу, а хочется строго установить биекцию. Ответа/решения не имею, буду благодарен за мысли по поводу этой задачи.
В курсе лекций она дается еще до знакомства с счетными/несчетными множествами, поэтому, видимо, ее можно решить без привлечения "высоких материй".

[arseniiv]

Ну, для начала,

Sdy в сообщении #1274107 писал(а):

Я понимаю, как доказать равномощность окружностей, так как ясно вижу биекцию при переходе в полярные координаты.

Имеется в виду, равномощность квадрата и круга и равномощность круга и треугольника? Тогда в чём проблема взять композицию двух соответствующих биекций? Если обязательно нужна формула, то зачем?

UPD. Хотя, жаждая формул, можно ещё вот так делать.

[Anton_Peplov]

Кстати, для того, чтобы доказать равномощность двух множеств, не обязательно строить между ними биекцию.
В данном случае достаточно доказать, что оба множества имеют мощность континуума.

[Dan B-Yallay]

Sdy в сообщении #1274107 писал(а):

Никак не понимаю, как строго доказать это утверждение.

Теорема Кантора-Бернштейна недостаточно строга, oбязательна биекция?

[Sdy]

Dan B-Yallay в сообщении #1274122 писал(а):

Sdy в сообщении #1274107 писал(а):

Никак не понимаю, как строго доказать это утверждение.

Теорема Кантора-Бернштейна недостаточно строга, oбязательна биекция?

Да мне главное "увидеть", то есть полностью понять. Обычно без биекции не вижу. Вот вижу аналитическое выражение и становится понятно. Поясните, пожалуйста, что вы имеете ввиду на другом примере, чтобы я мог на этом порассуждать.

-- 12.12.2017, 03:08 --

Anton_Peplov в сообщении #1274112 писал(а):

Кстати, для того, чтобы доказать равномощность двух множеств, не обязательно строить между ними биекцию.
В данном случае достаточно доказать, что оба множества имеют мощность континуума.

Да, я это знаю. Одно равномощно R, второе равномощно R, значит по транзитивности заключаем, что и между собой равномощны. Но мне это не кажется строгим доказательством. Точнее, я знаю, что оно строго, но "не вижу".

-- 12.12.2017, 03:12 --

arseniiv в сообщении #1274109 писал(а):

Ну, для начала,

Sdy в сообщении #1274107 писал(а):

Я понимаю, как доказать равномощность окружностей, так как ясно вижу биекцию при переходе в полярные координаты.

Имеется в виду, равномощность квадрата и круга и равномощность круга и треугольника? Тогда в чём проблема взять композицию двух соответствующих биекций? Если обязательно нужна формула, то зачем?

UPD. Хотя, жаждая формул, можно ещё вот так делать.

Да нет, пока не понимаю, как явно установить биекцию круг <-> квадрат, круг <-> треугольник.
Про окружности сказал, потому что это пока что самый сложный пример мною разобранный и "понятый". Перейдем в полярные координаты, зададим одну как y=ar, вторую как br, радостно увидим, что биекция есть.
А вот при появлении внутренностей такой финт не работает.

[arseniiv]

Sdy в сообщении #1274123 писал(а):

А вот при появлении внутренностей такой финт не работает.

Почему не работает? Берёте точку первой, берёте её координаты, что-то там хитрое делаете, смотрите точку по полученным координатам. Проверяете, что это отображение одного круга в другой, проверяете биективность. Аналогично можно будет сделать с другими правильными многоугольниками, хотя лучше будет использовать не полярную систему, а нечто похожее, где вместо $r$ будет расстояние от центра многоугольника до точки, делённое на расстояние от центра по тому же лучу до пересечения со стороной.

[svv]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #1274122 писал(а):

Теорема Кантора-Бернштейна недостаточно строга, oбязательна биекция?

Да строга она, но... как-то недостаточно убедительна, пощупать нельзя.

[Anton_Peplov]

Sdy в сообщении #1274123 писал(а):

Но мне это не кажется строгим доказательством. Точнее, я знаю, что оно строго, но "не вижу".

svv в сообщении #1274144 писал(а):

Да строга она, но... как-то недостаточно убедительна, пощупать нельзя.

Погоня за призраком - увлекательный, но весьма трудоёмкий спорт. В математике таких призраков много - "строгость", "ясность", "естественность". Какая-то личная польза от бега за ними есть, но вот превышает ли она пользу от новой темы, который можно было разобрать вместо того, чтобы идти семь вёрст пешком, потому что такси недостаточно строго, метро недостаточно ясно, а велосипед недостаточно естествен... Не знаю. По моему горькому опыту, скорее нет. Впрочем, это дело личное.

[g______d]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1274144 писал(а):

Да строга она, но... как-то недостаточно убедительна, пощупать нельзя.

Вы (или ТС) слишком привередливы :)

В теореме Кантора-Бернштейна биекция строится достаточно явно, и это одна из важнейших теорем существования, не опирающихся на аксиому выбора по этой причине.

[Sdy]

arseniiv в сообщении #1274134 писал(а):

Sdy в сообщении #1274123 писал(а):

А вот при появлении внутренностей такой финт не работает.

Почему не работает? Берёте точку первой, берёте её координаты, что-то там хитрое делаете, смотрите точку по полученным координатам. Проверяете, что это отображение одного круга в другой, проверяете биективность. Аналогично можно будет сделать с другими правильными многоугольниками, хотя лучше будет использовать не полярную систему, а нечто похожее, где вместо $r$ будет расстояние от центра многоугольника до точки, делённое на расстояние от центра по тому же лучу до пересечения со стороной.

Беру первый круг y1, кладу в центр полярных координат. Пусть y1 = {r <= a}. Беру второй круг y2, мысленно туда же. Пусть y2 = {r <= b}. Положим для определенности a > 0, b > 0, a < b, a, b - real numbers. (Случай, когда a = b вроде бы тривиален, биекцию можно установить тождественным преобразованием). Тогда биекция из y1 в y2 установится с помощью оператора, увеличивающего координаты каждой точки первого круга в b/a раз.
Это то или нет? Туда ли думаю?

[arseniiv]

Да. Только если «координаты», это о декартовых координатах, и про полярные вообще можно было не говорить, а только о том, что центры кругов совпадают с началом координат; если же о полярных, умножается только $r$. И ещё условие

Sdy в сообщении #1274662 писал(а):

a < b

лишнее, как и условие

Sdy в сообщении #1274662 писал(а):

a, b - real numbers

раз уж $r$ вещественная и мы, к тому же, с ней сравниваем — на комплексные числа этот порядок не переносится.

[Dan B-Yallay]

Sdy в сообщении #1274123 писал(а):

Да мне главное "увидеть", то есть полностью понять. Обычно без биекции не вижу.

Ну, если Вам нужно обязательно видеть, то графическая подсказка под оффтопом. Биекцию между полученным треугольником и произвольным предлагается построить самостоятельно.

(Оффтоп)

Вложение:

rect4886.jpg [ 28.14 Кб | Просмотров: 0 ]

[Booker48]

Есть такая задачка на разрезания - доказать, что из любого треугольника можно сложить прямоугольник. А из любого прямоугольника можно сложить квадрат.
Ну, а биекцию между двумя квадратами уж как-нибудь можно установить.

[Someone]

Booker48 в сообщении #1274678 писал(а):

Есть такая задачка на разрезания

В задачах на разрезания не обращают внимания на границы частей. А в теории множеств за этими границами придётся тщательно следить, и обеспечить биекцию будет не совсем просто (кстати). Но построение биекции между двумя ограниченными замкнутыми выпуклыми множествами, имеющими внутренние точки — задача совсем пустяковая.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1274693 писал(а):

Но построение биекции между двумя ограниченными замкнутыми выпуклыми множествами, имеющими внутренние точки — задача совсем пустяковая.

Наверное, можно даже усилить: между замкнутыми звёздными областями.