Все однозначные числа - четырьмя пятёрками

[slavav]

Числа составленные из пятёрок (не более четырёх пятёрок всего), бинарные операции (+, -, *, /), унарный минус, корень квадратный.

[slavav]

Программа порождает формулы этого и похожих типов: $5 + 5 - \sqrt{5 - \sqrt{\sqrt{\cdots\sqrt{\sqrt{5}}}}}$. То есть $8$ - предельная точка последовательности формул.

-- 21.11.2017, 18:14 --

Без корней восьмёрка не строится никак - множество значений формул конечно. Можно проверить полным перебором.

[Dmitriy40]

От скобок можно отказаться переведя запись выражения в постфиксную или инфисную форму. Тут кажется даже и перебор меньше будет. Если решение найдётся - перевести обратно тривиально.
Или можно ограничить глубину просмотра, не более трёх-четырёх (или двух если одинаковые) операций подряд (у каждой цифры). Даже две - уже перебор, достаточно и одной, два корня можно проверить руками что не дают решения никогда, а остальные удваивать смысла нет.

[slavav]

Я делал похожим образом - создавал деревья выражений с ограниченным числом узлов. Скобок там нет. При числе узлов не более 32 решения для восьмёрки нет.
Без корней мы имеем только конечное число существенно различных формул. Перечислим их все. Для каждой построим дерево. На каждый узел дерева можно надеть произвольное количество корней. Я верю что таким образом построить восьмёрку нельзя, но не знаю как это доказать строго.

[Dmitriy40]

То что корень от иррационального числа есть число иррациональное разве не поможет? Как только у нас появился хоть один неизвлекаемый корень - он или останется в результате (как иррациональность, возможно с каким-то рациональным коэффициентом, который факта иррациональности не отменит) или должен будет сократиться ровно с таким же корнем (тоже разумеется с рациональным коэффициентом). Красивое домножение иррационального корня на $0$ отбросим как бессмысленное. Так что никаких (почти) бесконечных корней, я бы вообще ограничился одним корнем при каждой цифре. Отсутствие решений с двумя корнями можно проверить и руками, там вариантов-то несколько десятков кажется, и большинство (или даже все) сразу отпадают (как с иррациональным результатом).

[slavav]

Ваши рассуждения кажутся недостаточно строгими. Например произведение двух иррациональностей приводит к целому результату: $(5 - \sqrt{5})(5 + \sqrt{5}) = 20$. Требуется показать что такие трюки невозможны с вложенными корнями.

[Dmitriy40]

Произведение (как и квадрат и вообще степень) да, а вот корень из иррациональности рациональным быть ну никак не может - тогда в обратную сторону, квадрат рационального был бы иррациональным?! Он же всегда рациональный!
Потому иррациональность может или сократиться с собой же, или домножиться на $0$, ну или домножиться на другую иррациональность (да, это пропустил). Но вложенные корни от иррациональности не избавят.

[Dmitriy40]

Ktina
Пора наверное узнать и авторское решения для числа $8$? Энтузиазм схлынул, решения не придумали. Итак, правильный ответ?

[slavav]

У меня вариантов нет. Даже со степенной функцией. Ожидаю или трюк в авторском решении или ошибку у себя.

[Ktina]

Dmitriy40 в сообщении #1273993 писал(а):

Ktina
Пора наверное узнать и авторское решения для числа $8$? Энтузиазм схлынул, решения не придумали. Итак, правильный ответ?

Подсказка:
Запрета на группировку цифр не было, а флорные скобки - это тоже скобки!
(Пишу "флорные скобки" вместо "половые скобки", дабы не вышло пошло. Ещё можно было написать: "скобные Флорки"...)

[wrest]

Ktina в сообщении #1274029 писал(а):

а флорные скобки - это тоже скобки!

Так с ними про восьмерку же был ответ:

wrest в сообщении #1267478 писал(а):

Не хватает скобок. Вот:
$\lfloor \sqrt{55+5+5}\rfloor = 8$

[kotenok gav]

И еще:

PETIKANTROP в сообщении #1267465 писал(а):

[$\sqrt{5}$]+[$\sqrt{5}$]+[$\sqrt{5}$]+[$\sqrt{5}$]=8

А без корней не получится.

[Dmitriy40]

Операция округления вниз и рядом не лежала с группировкой выражений обычными скобками. Даже если операция обозначается символом похожим на скобки. Более того, это именно операция, как и квадратный корень, в списке же операций она обозначена не была.
Разачарован.

-- 11.12.2017, 16:37 --

Тогда вот вам ещё: $\left\lceil\sqrt{55}\,\right\rceil+5-5=8$, $\left\lceil\sqrt{5}\,\right\rceil \cdot \left\lceil\sqrt{5}\,\right\rceil-5/5=8$, $\left(\left\lceil\sqrt{5}\,\right\rceil+5\right)\cdot5/5=8$.

[Heart-Shaped Glasses]

Опять какие-то дурацкие искусственные ухищрения с терминами в условии исходной задачи.

[gris]

Ну можно ещё в калькулятор-стайл: $(5-5:5):.5=8$
Проверено!