Две карты

[kotenok gav]

Ну решать подробно я пока не пробовал, но навскидку несложно решается.

-- 07 дек 2017, 01:22 --

Кстати, карты в вашей задаче - прямоугольные или квадратные?

[fred1996]

kotenok gav в сообщении #1272635 писал(а):

Ну решать подробно я пока не пробовал, но навскидку несложно решается.

-- 07 дек 2017, 01:22 --

Кстати, карты в вашей задаче - прямоугольные или квадратные?

Это роли не играет. Кстати, задачка весьма школьного уровня.
И я бы сказал более для физического ума. Скажем так. Математик может доказать, что такая точка существует и она одна. А физик предложит процедуру построения. Хотя, не буду обижать математиков. Это ведь вполне геометрическая задача.

[wrest]

fred1996 в сообщении #1272627 писал(а):

Типа пришел сержант и приказал посторить.

А ну если так, то пожалста.
Строим прямые проходящие через "одноименные" вершины. 4 прямых образуют четырехугольник. Строим диагонали этому четырехугольнику и на их пересечении как раз и будет искомая точка.

(Как-то так:)

[fred1996]

(Оффтоп)

Не, ну я все-таки имею ввиду не совсем тупого сержанта.
Сержант приказал, а пользоваться будут рядовые. Представьте, что у вас есть выгребная яма и нужно построить сортир. Ведь желательно построить сортир над выгребной ямой, а не абы где. Ваша формулировка красивая, но не рабочая

[arseniiv]

fred1996 в сообщении #1272627 писал(а):

Без всякой афинности. :)

Так с ней же всё проще — это же геометрия, в отличие от каких-то там координат. Даже если точное построение, начинающееся отсюда, никто не укажет, у нас с самого начала есть сколь угодно точное итеративное: будем повторять преобразование большой карты в маленькую столько раз, сколько хочется, уменьшая область, вне которой неподвижной точки гарантированно нет.

[fred1996]

arseniiv
Забавено, что я, пока думал, чем это чертеж wrest
является доказательством, тоже додумался до предела последовательности.
Видимо у этой задачки есть несколько типов доказательств.
Хотя, чем этот чертеж доказательство, я так и не понял.

[wrest]

fred1996 в сообщении #1272746 писал(а):

Хотя, чем этот чертеж доказательство, я так и не понял.

Да неправильный он, с поворотом не справляется :(
Пока что правильный чертеж не выходит, и так и сяк пробую.

[arseniiv]

Как уже говорил, правильный должен и для подобных треугольников сработать, так что можно ничего не делать с одной вершиной каждого квадрата — и если в кандидате на решение это приходится, время сомнениям. Тоже ничего в голову не приходит, надо засесть с ручкой…

Можно попробовать такой план, если кто-то захочет: вот у нас аффинное преобразование $X\mapsto O + A(X-O) - \mathbf b$, и пусть мы можем по трём точкам и их образам получить какой-нибудь из эквивалентных наборов $(O, A,\mathbf b)$, его задающих, в каком-то виде, который можно построить. Уравнение неподвижной точки $(A - 1)(X-O) = \mathbf b$ после этого можно бы решить: $X = O + (A-1)^{-1}\mathbf b$. Можем ли мы обратить линейный оператор? Резонно ли его представить набором из некоторого базиса и его образа (а сами эти векторы — точками, получающимися при действии их на $O$)?

Наверняка этот план трудноподъёмный, но если подъёмный, это должно дать решение гарантированно (ничего не упустил?).

-- Чт дек 07, 2017 03:02:39 --

Часть ответов, разворачивающихся натурально по мере записи вопросов, вдогонку. Во-первых, $O$ мы свободны выбрать как угодно. Далее, у нас есть набор $(K,L,M,\mathcal AK,\mathcal AL,\mathcal AM)$, примем же $O=K$. Имеем $K - \mathcal AK = \mathbf b$ и имеем способ нарисовать $A(L-K)$ и $A(M-K)$ — образы базисных векторов $L-K, M-K$. Всё, мы можем применить преобразование $\mathcal A$ к чему угодно и имеем представление об отдельных $O, A,\mathbf b$. Представляющие $A-1$ образы базисных векторов получаются элементарно. Как его обратить? Просто: поменяем роли векторов в представлении местами. Задача решена, можно идти спать.

UPD. Некоторое время proof of concept (для лентяев ) будет вот тут.

[fred1996]

Ладно, тогда и я опишу ход своих мыслей. По мере того, как они поступали в мою голову.
1. Выбираем на большой карте точку, которая находится под малой картой. Отмечаем ее и находим на малой карте ей соответствующую. Проводим прямую между ними, и устремляемся из первой точки во вторую с постоянной скоростью $v_1$. Очевидно на малой карте соответствующая скорость $v_2$ будет меньше. То есть получается обычная задача преследования, когда скорость хищника больше скорости жертвы, а хищник все время нацелен на жертву. Понятно, что скорость сближения этих двух точек в любой момент будет $v_1-v_2\cos\alpha$, где $\alpha$ - угол поворота одной карты относительно другой. То есть хищник настигнет жертву в искомой точке за конечное время. И можно даже посчитать форму траектории в полярных координатах.
2. Решив задачку таким образом, я вспомнил, что хищник ведь может подобрать и оптимальную стратегию. А оптимальная стратегия - это движение по прямой.
То есть на самом деле задача просто сводится к построению треугольника при заданном основании, заданном угле напротив основания и известном соотношении длин примыкающих сторон.
3. Ну а третий тип мы уже тут arseniiv
Обсудили. Делаем предельный переход в виде конструирования последующей карты в пропорциональном соотношении масштабов, развороте ее на тот же куол относительно предыдущей карты и киданием ее в соответствующее место. Предел карт и даст нам искомую точку.

[amon]

Преобразование комплексной плоскости, соответствующее задаче, имеет вид $w=z_0z+z_1.$ Уравнение $z=z_0z+z_1$ всегда имеет единственное решение при $z_0\ne0.$

[fred1996]

amon в сообщении #1272781 писал(а):

Преобразование комплексной плоскости, соответствующее задаче, имеет вид $w=z_0z+z_1.$ Уравнение $z=z_0z+z_1$ всегда имеет единственное решение при $z_0\ne0.$

Хорошо, что напомнили про комплексные числа. У меня где-то завалялись задачки по геометрии, которые красиво решаются как раз с их использованием.

[wrest]

fred1996 в сообщении #1272774 писал(а):

То есть на самом деле задача просто сводится к построению треугольника при заданном основании, заданном угле напротив основания и известном соотношении длин примыкающих сторон.

Можете указать конкретный способ построения? Вот есть два квадрата $ABCD$ и $A'B'C'D'$, один внутри другого - куда прикладывать линейку и циркуль?

[provincialka]

Действительно, вы сетовали на математиков за неконструктивность решения... А сами предлагаете осуществить предельный переход! В то время как изначально задача звучала как

fred1996 в сообщении #1272500 писал(а):

Доказать, что найдется единственная точка местности, которая пространственно совпадет на обеих картах в данном положении.

Доказать! А отнюдь не "найти"!

[wrest]

(Оффтоп)

fred1996 в сообщении #1272774 писал(а):

То есть хищник настигнет жертву в искомой точке за конечное время.

М-да, догонит ли Ахиллес Черепаху?

[fred1996]

provincialka
Извините, я ведь и отметил, что математики смогут доказать единственность, что и было проделано.
Ну а потом уже расширил задачу на конструктивность.
Во всех приведенных мной вариантах я изложил конструктивный алгоритм. Мне кажется этого достаточно. Я не гарантировал пользования только циркулем и линейкой.
Тем более в задачах с произвольными углами и масштабированиями это невозможно.
Кстати, в постановке задачи в виде преследования хищник-жертва можно вычислить формы кривых аналитически и выдать окончательный ответ в формульном виде. Неплохая задачка на построение и решение простеньких дифуров.