2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Построить функцию Лагранжа механической системы
Сообщение06.12.2017, 22:31 


06/12/17
2
Доброго времени суток!
Спасите мою душу, помогите разобаться с заданием.

Необходимо найти функцию Лагранжа механической системы и исследовать эту стстему на интегрируемость:
Изображение

Мои попытки решить задание.
Движение волчка можно представить как комбинацию движения его вершины в плоскости $xOy$ и вращательного движения. Распишем угловые скорости через углы Эйлера и получим:
$$T=M \frac {\dot {x^2}+\dot {y^2}}{2}+I \frac {{\dot{\theta}}^2+\dot {\varphi }{\sin {\theta}}^2}{2}+I_{3} \frac {(\dot{\psi}+\dot {\varphi }{\cos {\theta}})^2}{2}$$
$$U=Mgl {\cos {\theta}}$$
Для подвешенного тела:
$$t=2Ml^2 (\dot {\theta }+ \dot {{\varphi }^2} {\sin {\theta}}^2)$$
$$U=-Mgz$$
Тогда Лагранжиан равен:
$$L=M \frac {\dot {x^2}+\dot {y^2}}{2}+I \frac {{\dot{\theta}}^2+\dot {\varphi }{\sin {\theta}}^2}{2}+I_{3} \frac {(\dot{\psi}+\dot {\varphi }{\cos {\theta}})^2}{2}+2Ml^2 (\dot {\theta }+ \dot {{\varphi }^2} {\sin {\theta}}^2)+Mgz-Mgl {\cos {\theta}}- \frac {q {\dot {\varphi }}^2 B_{0}l^2 {\sin {\theta }}^2}{2}$$

Сомневаюсь насчёт того, правильно ли составлено уравнение, не нужно ли выражать как-нибудь $x$ и $y$ через углы?

Дальше интегрируемость в квадратурах. Нашёл в лекции формулу: $N=2f-2c-1$. Если $N=1$, то система интегрируема. $f$ - степени свободы, $c$ - количество циклических координат. Проблема в том, что мне непонятно, каков смысл этого $N$. Что это за величина? Может ли она принимать отрицательные значения? Пересмотрел всю литературу по механике, что имею, нигде такой формулки не нашёл. Буду благодарен, если поможете разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построить функцию Лагранжа механической системы
Сообщение06.12.2017, 22:34 
Аватара пользователя


22/06/12
1056

(Оффтоп)

mugs_of_hugs в сообщении #1272719 писал(а):
плоскости Хоу

Хоу - один из трёх основоположников аналитической геометрии, пионеров в исследовании декартовой системы координат. Остальные два были Зох и Зоу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построить функцию Лагранжа механической системы
Сообщение06.12.2017, 22:49 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
437
mugs_of_hugs
Я на первый раз подправил формулы в Вашем сообщении - посмотрите, что изменилось, чтобы потом не повторять ошибок. В частности, все формулы - даже переменные $x$ и $y$ - нужно набирать с помощью тега math. А картиночку можно было бы для вставки и поменьше взять.

Кроме того, проверьте расстановку квадратов в кинетической энергии. Там что-то не в порядке.

И ещё. Лагранж - это был человек. Даже не так - Человек, его имя с большой буквы пишется. А лагранжиан - это название некоторой величины. Хотя и важной, но его с большой буквы не пишут :-) Это исправлять не стал. Пусть останется для истории.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построить функцию Лагранжа механической системы
Сообщение06.12.2017, 23:22 


06/12/17
2
Eule_A в сообщении #1272729 писал(а):
mugs_of_hugs
Я на первый раз подправил формулы в Вашем сообщении - посмотрите, что изменилось, чтобы потом не повторять ошибок. В частности, все формулы - даже переменные $x$ и $y$ - нужно набирать с помощью тега math. А картиночку можно было бы для вставки и поменьше взять.

Кроме того, проверьте расстановку квадратов в кинетической энергии. Там что-то не в порядке.

И ещё. Лагранж - это был человек. Даже не так - Человек, его имя с большой буквы пишется. А лагранжиан - это название некоторой величины. Хотя и важной, но его с большой буквы не пишут :-) Это исправлять не стал. Пусть останется для истории.


Спасибо, буду учиться на ошибках :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group