2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 ВТФ и дискретная динамика
Сообщение03.12.2017, 13:51 
Аватара пользователя


25/02/07
753
Симферополь
Знакомая всем запись ВТФ $ x^n+y^n \neq z^n,\ x,y,z\in N $ разбивает множество степеней на три случая: $ n=1,\ n=2,\ n>2 $, первый из которых малоинформативен, а третий требует доказательства. Второй же позволяет явно увидеть условия выполнения равенства $ x^n+y^n=z^n $. Получим их.
Договоримся, что $ x<y $.
Первое условие - равенство ($ n $-мерных) объёмов, оно очевидно: $ x^n=z^n-y^n $.
Второе условие - равенство путей. Чтобы получить его представим величины $ x^n $ и $ z^n-y^n $ трапециями (криволинейными в случае $ n>2 $) с основаниями $ x $ и $ z-y $ соответственно.
Пусть имеется начальный (дискретный) треугольник площадью $$ x^2=\sum\limits_{k=1}^x 2k-1 $$
с основанием $ x $.
Очевидно, что если пошагово двигать это основание в положительном направлении сохраняя его величину, то площадь опирающейся на него трапеции (в которую перейдёт треугольник уже на первом шаге) будет неограниченно увеличиваться. Но это запрещено равенством объёмов (в данном случае - площадей) – площадь начального треугольника должна равняться площади конечной трапеции. Таким образом, для соблюдения этого условия основание конечной трапеции должно быть меньше основания начального треугольника, что и выполняется в любой пифагоровой тройке: при $ x^2+y^2=z^2 $ всегда $ x>z-y $. Это значит, что при движении основание начального треугольника пошагово сокращается до тех пор, пока не сравняется с основанием конечной трапеции.
Однако, число шагов одинаково для обоих (левого и правого) краёв начального основания $ x $. Это число – тактовое (дискретное) время $ t $ за которое площадь начального треугольника, сначала возрастая и потом убывая, возвращается к своему исходному значению. Из этого следует, что пути, которые проходят левый и правый края начального основания, имеют общий делитель и тактовое время равно их НОД: $ t=gcd(y,z-x) $. Это действительно выполняется в любой пифагоровой тройке. Соответственно, скорости левого и правого краёв начального основания имеют значения $ v_{l}=y/t,\ v_{r}=z-x/t $. При этом, на шаге $ t+1 $ левый край начального основания догонит его правый край.
Сделаем следующие замены:

$ b_{s}=x $ - начальное основание (треугольника),
$ b_{f}=z-y $ - конечное основание (трапеции),
$ d_{l}=y $ - путь левого края начального основания (левый путь),
$ d_{r}=z-x $ - путь правого края начального основания (правый путь),
$ v_{l}=d_{l}/t $ - скорость левого края начального основания (левая скорость),
$ v_{r}=d_{r}/t $ - скорость правого края начального основания (правая скорость),
$ t=gcd(y,z-x) $ - тактовое время (наибольший общий делитель левого и правого путей).

Теперь мы можем явно указать второе условие - равенство путей:

$ b_{s}+v_{r}t=b_{f}+v_{l}t $

Далее, пользуясь полученными условиями, - условием равенства объёмов и условием равенства путей - можно получить общее условие существования пифагоровой тройки. Оно таково:
$$ \begin{vmatrix} b_{s}^2 & b_{s}^2 \\ v_{r}^2 & v_{l}^2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_{f}^2 & b_{f}^2 \\ v_{l}^2 & v_{r}^2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2b_{s}b_{f} & 0 \\ 0 & 2v_{l}v_{r} \end{vmatrix}$$
и должно выполняться в натуральных числах.
В случае первой степени скорости левого и правого краёв начального основания одинаковы и его величина сохраняется при любом времени движения.
Сравнение поведения скоростей в случаях $ n=1 $ и $ n=2 $ заставляет предположить, что в случае $ n=3 $ к тактовым скоростям добавятся тактовые ускорения $ a_{l} $ и $ a_{r} $. ВТФ утверждает, что при этом выполнение условия равенства объёмов невозможно. Как ускорения $ a_{l} $ и $ a_{r} $ повлияют на условие равенства путей я пока не вполне понимаю.

P.S. Условие равенства путей $ \Delta b = \Delta v\cdot t $ можно интерпретировать иначе считая НОД $ (d_{l},d_{r}) $ не временем, а скоростью. Тогда края начального основания будут проходить свои пути с одинаковой скоростью, но за разное время и условие примет вид $ \Delta b = v\cdot \Delta t $. Его смысл в этом контексте не ясен, но любопытна аналогия с локальными временами в специальной теории относительности.

P.P.S. Удалось привести некоторые степенные выражения к матричному виду. Пусть

$ P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $ - матрица показателя степени,
и
$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ a(a-1)/2 & a & 1 \end{pmatrix} $ - матрица основания степени (для числа $ b $ - аналогично),

$ e_{1},\ e^{1} = . $ - ко- и контравариантные первые орты (вырезают из матрицы левый верхний элемент).

Тогда

$ a^2 = .PA. $

$ 3a^2 = .A^{T}PA. $

$ -a^2 = .(A^{-1})^{T}PA. $

$ b^2 + a^2 = .PAB. $

$ b^2 + 2ab = .A^{T}PB. $

$ b^2 - 2ab = .(A^{-1})^{T}PB. $

$ b^2 - a^2 = .(A^{-1})^{T}PAB. $

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная динамика
Сообщение03.12.2017, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15162
Новомосковск
serval в сообщении #1271397 писал(а):
равенство путей
Что такое "пути"? И почему они должны быть равны?

serval в сообщении #1271397 писал(а):
(дискретный) треугольник
Что такое "дискретный треугольник"?

serval в сообщении #1271397 писал(а):
$$ x^2=\sum\limits_{k=1}^x 2k-1 $$
Это неверное равенство. Правая часть равна $x^2+x-1\neq x^2$.

serval в сообщении #1271397 писал(а):
$$ \begin{vmatrix} b_{s}^2 & b_{s}^2 \\ v_{r}^2 & v_{l}^2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_{f}^2 & b_{f}^2 \\ v_{l}^2 & v_{r}^2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2b_{s}b_{f} & 0 \\ 0 & 2v_{l}v_{r} \end{vmatrix}$$
Это определители? Откуда взялось такое равенство?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная динамика
Сообщение03.12.2017, 22:24 
Аватара пользователя


25/02/07
753
Симферополь
1. Рисуем числовую положительную полуось и отмечаем на ней целые числа, поскольку мы будем сдвигать начальное основание вправо на целое число за один шаг (такт). Откладывает на нём основание исходного треугольника. Двигаем его края вправо - каждый край со своей скоростью.
На примере корневой примитивной пифагоровой тройки это будет так:

$3^2+4^2=5^2$

$ b_{s}=3 $ - начальное основание (треугольника),
$ b_{f}=5-4=1 $ - конечное основание (трапеции),
$ d_{l}=4 $ - путь левого края начального основания (левый путь),
$ d_{r}=5-3=2 $ - путь правого края начального основания (правый путь),
$ v_{l}=4/2=2 $ - скорость левого края начального основания (левая скорость),
$ v_{r}=2/2=1 $ - скорость правого края начального основания (правая скорость),
$ t=gcd(4,2)=2 $ - тактовое время (наибольший общий делитель левого и правого путей).

Тогда по тактам края начального основания движутся так:

$t=0$: левый край находится в точке $0$, правый - в точке $3$,
$t=1$: левый край достигает точки $2$, правый - точки $4$,
$t=2$: левый край достигает точки $4$, правый - точки $5$ - здесь площадь исходного треугольника становится равной площади конечной трапеции.

{ $t=3$: левый край достигает точки $6$, правый - той же точки $6$ - здесь левый край догоняет правый, площадь конечной трапеции обращается в $0$ }

Я неверно сформулировал. Конечно, пути краёв не равны. Равны расстояния: начальное основание + правый путь = левый путь + конечное основание. Оба расстояния равны $z$.

2. Это треугольник составленный "столбиками" с основаниями равными $1$ и нечётными высотами - $1,3,5\ldots$
Подставим в это равенство, к примеру, $x=5$ Получим: $$ \sum\limits_{k=1}^5 = 1+3+5+7+9=25 $$
Или я не так считаю?

3. Да, это определители. Это равенство получается при подстановке второго условия (равенства расстояний) в первое (равенство площадей) после соответствующих преобразований. Конечная формула компактно сворачивается в эти определители. Я решил не перегружать стартовый пост её выводом, но проверил аналитически - после обратных подстановок она обращается в $0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная динамика
Сообщение03.12.2017, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11483
Казань
serval в сообщении #1271641 писал(а):
Или я не так считаю?

Вы скобки под знаком суммы не поставили

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная динамика
Сообщение03.12.2017, 22:39 
Аватара пользователя


25/02/07
753
Симферополь
Точно, не поставил. Даже не подумал, что это меняет смысл. Спасибо. А как теперь исправить?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная динамика
Сообщение03.12.2017, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11483
Казань
serval
Ну, вы же сказали.. считайте это исправлением.
На самом деле это все мелочи. По сравнению с полной невразумительностью последующего текста... Какие-то непонятные треугольники и трапеции, которым не дано явного определения. Какие-то "пути"...

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная динамика
Сообщение03.12.2017, 22:55 
Аватара пользователя


25/02/07
753
Симферополь
На картинке это было бы тривиально. Попробую сделать.
Про треугольник я объяснил. Если два составленных таким образом треугольника разной величины наложить друг на друга так, чтобы совпал один из углов, то их разница образует трапецию.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная динамика
Сообщение03.12.2017, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15162
Новомосковск
serval в сообщении #1271670 писал(а):
Про треугольник я объяснил.
Где?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная динамика
Сообщение03.12.2017, 23:36 
Аватара пользователя


25/02/07
753
Симферополь
Чтобы не тратить время, сделал эскиз.

Изображение

После загрузки в облако картинку почему-то развернуло. Это пояснительный набросок, позже сделаю аккуратно. Надеюсь, теперь будет понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная динамика
Сообщение04.12.2017, 10:39 
Аватара пользователя


25/02/07
753
Симферополь
Исправление ошибок

1. В формуле площади дискретного треугольника $ x^2=\sum\limits_{k=1}^x 2k-1 $ пропущены скобки под знаком суммы, её следует читать так: $ x^2=\sum\limits_{k=1}^x (2k-1) $ .

2. "Второе условие - равенство путей" - в формулировке второго условия допущена ошибка, равны не пути, а расстояния. Везде в тексте его следует читать так: "Второе условие - равенство расстояний".

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная динамика
Сообщение06.12.2017, 20:13 
Аватара пользователя


25/02/07
753
Симферополь
Иллюстрация

Рассмотрим дискретную динамику на примере примитивной пифагоровой тройки $ 28^2 + 45^2 = 53^2 $ , где $ x = 28 $ .
Тогда:

$ b_{s}=x=28 $ - начальное основание (треугольника),
$ b_{f}=z-y=8 $ - конечное основание (трапеции),
$ d_{l}=y=45 $ - путь левого края начального основания (левый путь),
$ d_{r}=z-x=25 $ - путь правого края начального основания (правый путь),
$ t=gcd(y,z-x)=gcd(d_{l}, d_{r})=5 $ - тактовое время (наибольший общий делитель левого и правого путей),
$ v_{l}=d_{l}/t=9 $ - скорость левого края начального основания (левая скорость),
$ v_{r}=d_{r}/t=5 $ - скорость правого края начального основания (правая скорость).

По тактам это выглядит так:
t=0: левый край основания дискретного треугольника площадью $ 28^2=\sum\limits_{k=1}^{28} (2k-1) $ находится в точке $0$ , правый - в точке $28$ ,
Изображение

t=1: левый край основания дискретной (уже) трапеции находится в точке $9$ , правый - в точке $33$ ,
Изображение

t=2: левый край основания дискретной трапеции находится в точке $18$ , правый - в точке $38$ ,
Изображение

t=3: левый край основания дискретной трапеции находится в точке $27$ , правый - в точке $43$ ,
Изображение

t=4: левый край основания дискретной трапеции находится в точке $36$ , правый - в точке $48$ ,
Изображение

t=5: левый край основания дискретной трапеции находится в точке $45$ , правый - в точке $53$ , а её площадь принимает значение равное площади исходного треугольника.
Изображение

Предположение о том, что на следующем такте левый край начального основания догонит его правый край и площадь трапеции обратится в $0$ в общем случае оказалось неверным.

Таким образом, за время $t$ равное $5$ тактам треугольник переходит в равную по площади трапецию оставаясь на каждом шаге разностью квадратов. При этом, площади синих фигур по тактам таковы: $784$ (исходный треугольник), $1008$ , $1120$ , $1120$ , $1008$ , $784$ (конечная трапеция).

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная динамика
Сообщение09.12.2017, 12:42 
Аватара пользователя


25/02/07
753
Симферополь
Иллюстрация дискретной динамики пифагоровых троек на примере задачи про двух пассажиров.

Все величины в задаче принимают только натуральные значения.

У перрона стоит вагон имеющий длину $ l $ .
В разных концах вагона находятся два пассажира: пассажир А – в левом конце с координатой $ 0 $ , а пассажир Б – в правом конце с координатой $ l $ .
В момент времени $ t=0 $ каждый пассажир имеет банковскую карточку количество денег на которой равно квадрату его расстояния от начала координат: пассажир А имеет счет равный $ 0 $ , а пассажир Б – равный $ l^2 $ .
Вагон начинает движение вправо со скоростью $ v_1 $ и в тот же момент пассажир Б начинает движение к пассажиру А со скоростью $ v_2 $ .

Варианты вопроса:
- через какое время $ t $ разность счетов на карточках пассажиров А и Б станет той же, что была вначале?
или
- каким будет расстояние $ r $ между пассажирами А и Б когда разность счетов на их карточках станет той же, что была вначале?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная динамика
Сообщение10.12.2017, 09:26 
Аватара пользователя


25/02/07
753
Симферополь
Полагаю, что все, кому задача была интересна, решили её.

Итак, искомое время таково: $ t = \frac{l}{v_2} - \frac{l}{2v_1 - v_2} $ .

Для существования пифагоровой тройки нужно чтобы уравнение выполнялось в натуральных числах.

Для записи в исходных обозначениях нужно сделать следующие замены:

$ l = b_{s} $ - длина вагона,
$ v_1 = v_{l} $ - скорость вагона,
$ v_2 = v_{l} - v_{r} - скорость пассажира Б относительно вагона против его движения.

После решения задачи я сообразил, что она выглядела бы проще, если бы пассажир Б был неподвижен, а пассажир А двигался к нему по направлению движения вагона. Для кубов попробую решить в таком виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная динамика
Сообщение11.12.2017, 00:36 
Аватара пользователя


25/02/07
753
Симферополь
Учитывая, что искомое расстояние равно $ r = l-v_{2}t $ и перейдя к исходным обозначениям, получим выражение для левой скорости:
$$ v_l = \frac{b_{s}^2 - b_{f}^2}{2 b_{f} t} $$
Из него видно, что разность квадратов начального и конечного оснований должна быть чётным числом кратным самому конечному основанию.

P.S. Верна первоначальная формулировка задачи. Если же двигать пассажира А к пассажиру Б, то вообще ничего не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная динамика
Сообщение23.12.2017, 17:57 
Аватара пользователя


25/02/07
753
Симферополь
Аналогичная задача для кубов приводит к квадратному уравнению относительно времени $t$ :

$b_s^3 = ( b_s + (v_l - v_r) t )^3 - v_l^3 t^3$

которое имеет два решения:

$t_1 = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{(v_l - v_r) b_s^2(7 (v_l - v_r)^3 -  4 v_l^3)} + 3 (v_l - v_r)^2 b_s}{2 ({v_l}^3 - (v_l - v_r)^3)}$

$t_2 =   \frac{\sqrt{3} \sqrt{(v_l - v_r) b_s^2(7 (v_l - v_r)^3 -  4 v_l^3)} - 3 (v_l - v_r)^2 b_s}{2 ({v_l}^3 - (v_l - v_r)^3)}$

каждое из которых содержит множитель $\sqrt{3}$ .

Следует ли из этого, что время $t$ не может иметь целых значений?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group