ВТФ и дискретная динамика

[serval]

Итак, замена переменных в пифагоровой тройке $x^2+y^2=z^2$

$x=b_s,\ t=gcd(y,z-x),\ v_l=y/t,\ v_r=(z-x)/t$

даёт уравнение содержащее дискретное время $t$ :

$b_s^2=(b_s+v_{r}t)^2-v_{l}^{2}t^2 \ ,\ (1)$

смысл которого в том, что через $t$ шагов выполняется исходное равенство.

Вместе с этим, ещё через $k$ шагов разность квадратов обращается в ноль $z^2-y^2=0$ что выражается уравнением:

$v_{l}^{2}(t+k)^2=(b_s+v_{r}(t+k))^2$ , из которого следует, что

$v_{l}(t+k)=(b_s+v_{r}(t+k)) \ ,\ (2)$

Решение системы уравнений $(1)$ и $(2)$ даёт условие существования пифагоровой тройки:

${t}/{v_r}=(2k+t)/{v_l}=1$ - в случае нечётного $t$

${t}/{v_r}=(2k+t)/{v_l}=2$ - в случае чётного $t$

Далее я попробую вычислить аналогичное условие существования тройки $x^3+y^3=z^3$ .

[serval]

Ночью сообразил, что каждая пифагорова тройка должна иметь сопряжённую ей - по другую сторону точки равенства старших квадратов $v_{l}(t+k)=(b_s+v_{r}(t+k))$ . Позже проверю.

P.S. Система условий

$\begin{cases} b_s^n=(b_s+v_{r}t)^n-v_{l}^{n}t^n \\ v_{l}(t+k)=(b_s+v_{r}(t+k)) \end{cases}$

дополненная условием на сопряжённую тройку, является универсальной и должна выполняться при любой степени $n$ для тройки $x^n+y^n=z^n$ .